专题勾股定理培优版(综合)

专题勾股定理在动态几何中的应用

.勾股定理与对称变换

(一)动点证明题

1. 如图，在△ ABC中，AB=AC

(1) 若P为边BC上的中点，连结AP,求证：BP X CPAB^A P;

(2) 若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由;

(3) 若P是BC边延长线上一点，线段AB AP BP CP之间有什么样的关系？请证明你的结论

(二)最值问题

2. 如图，E为正方形ABCD勺边AB上一点，AE=3，BE=1, P为AC上的动点，贝U PB F PE的最小值

是

3. 如图，四边形ABCD1正方形，△ ABE是等边三角形,

B P

P

M为对角线

将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN连接EN AM CM.

(1) 求证：△ AMB2A ENB

②当M点在何处时，AW BWCM的值最小，并说明理由;

(3)当AW BWCM的最小值为,3 1时，求正方形的边长

4. 问题：如图①，在△ ABC中，D是BC边上的一点，若/ BA[=Z C=2Z DA(=45°, DC=2.求BD的长•小明同学的解题思路是：利用轴对称，把厶ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决.

(1) 请你回答：图中BD的长为_;

(2)①当M点在何处时，AW CM的值最小;

C

C

C

(2) 参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ ABC中，D是BC边上的一点，若/ BAD=

/ C=2Z DAC=30，DC=2 求BD和AB的长.

图①

二.勾股定理与旋转

5•阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1,在厶ABC(其中/ BAC是一个可以变化的角)中，AB=2 AC=4以BC为边在BC的下方作等边△ PBC求AP的最大值。

图②

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合. 他的方法是以点B为旋转中

心将△ ABP逆时针旋转60°得到△ A BC,连接A'A,当点A落在A'C上时，此题可解（如图2）.

请你回答：AP的最大值是_________ .

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3,等腰Rt△ ABC边AB=4,PABC内部一点，则AP+BP+C的最小值是（结果可以不化简）

6. 如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3 BP=4 CP=5求/ APB的度数.

变式1: ? ABC中, / ACB=90 , AC=BC 点P是？ ABC内一点，且PA=6 PB=2 PC=4 求/ BPC 的度数

变式2:问题：如图1, P为正方形ABCD内一点，且PA: PB: PC=1 : 2 : 3,求/ APB的度数.

小娜同学的想法是：不妨设PA=1, PB=2, PC=3,设法把PA PB PC相对集中，于是他将

△ BCP绕点B顺时针旋转90°得到△ BAE(如图2),然后连结PE问题得以解决. 请你回答：图2中/APB的度数为 __________________________ .

请你参考小娜同学的思路，解决下列问题：

如图3, P是等边三角形ABC内一点，已知/ APB=15°,Z BPC=25°.

(1) 在图3中画出并指明以PA PB PC的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；

(2) 求出以PAPBPC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于_________________

A

C

图1

7. 已知Rt△ ABC中, / AC民90。，CA=CB有一个圆心角为45，半径的长等于CA的扇形CEF绕点

C旋转，且直线CE CF分别与直线AB交于点M N

(1)当扇形CEF绕点C在/ACE的内部旋转时，如图①，求证：MN2 AM 2 BN2；

变式 1:如图，在 Rt ABC 中， BAC 90 ,AC AB, DAE 45

变式2:如图，在Rt △ ABC 中，AB AC , D E 是斜边BC 上两点，且/ DA 匡45°，将△ ADC 绕 点A 顺时针旋转90后，得到△ AFB ，连接EF ，下列结论: ① 厶 AED ◎△ AEF ; ② 厶 ABE

ACD ;

③ BE DC DE ;

④ BE 2 DC 2 DE 2其中正确的是（ ）

A.②④；B •①④； C •②③； D.①③

（三）其它应用

7.在厶ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为

小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的 「边长为1），再在网 格中画出格点△ ABC （即△ ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示•这样不需求 △ ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将△ ABC 的面积直接填写在横线上 __________________ ；

（2）当扇形CEF 绕点C 旋转至图②的位置时，关系式 MN 2 AM 请证明；若不成立，请说明理由.

BN 2是否仍然成立？若成立,

且 BD 3, CE 4,贝U DE = ____________

思维拓展：

(2)我们把上述求△ ABC面积的方法叫做构图法•若△ ABC三边的长分别为、屈a、、/17a

(a 0)，请利用图2的正方形网格(每个小正方形的边长为 a )画出相应的△ ABC，并求出它的

面积填写在横线上_

探索创新：

(3) 若厶ABC中有两边的长分别为亚a、“0a( a 0 )，且厶ABC的面积为2 a2，试运用构图法在

图3的正方形网格(每个小正方形的边长为a )中画出所有符合题意的△ ABC(全等的

图1 图2 图3

8. 已知/ AB(=90°,点P为射线BC上任意一点(点P与点B不重合)，分别以AB AP为边在 / ABC的内部作等边△ ABE^H^ APQ连结QE并延长交BP于点F.

(1)如图1,若AB=2 3，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长(直接写出结果)；

(2)如图2,当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等(不能添加辅助线产

生新的线段)，并加以证明；

(3)若AB=2 3，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的关系式.