《线性代数与解析几何》教学大纲

《线性代数与解析几何》

教学大纲

一、课程基本信息

二、课程简介

《工程数学基础(1)(代数与几何)》是大学阶段最重要的数学基础课程之一。本课程依据教育部数学基础课程教学指导委员会对工科院校相关课程教学的基本要求开展教学。课程着重介绍线性代数与空间解析几何的基本知识，包括行列式、矩阵与线性方程组的理论、二次型、向量代数、空间坐标系、平面与空间直线的方程、常见二次曲面的标准方程及其图形等基础知识，并以矩阵为基本工具，围绕矩阵间的等价、相似、合同关系，介绍线性代数的基本理论和基本方法。

作为大学生数学知识结构的重要组成部分，本课程着重培养学生严密的逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力，为今后学习其它学科知识打下基础；同时，该课程的理论和方法在科学研究与工程技术领域等都有着广泛的应用；此外，该课程对于培养学生的抽象思维能力、空间想象能力也具有重要的作用。

考虑到线性代数与空间解析几何的内在联系，将线性代数与空间解析几何作为一门课程来教学，但基本要求的具体内容还是相对独立的，并且不要求所有专业都遵循这一模式。

三、课程教学目标

线性代数与空间解析几何是高等学校非数学类专业理工科类本科生的重要工程数学课程之一，是学生必修的重要基础理论课。通过该课程的学习，应使学生获得向量代数与空间解析几何、线性代数等方面的基本知识、基本概念、基本理论、基本方法，并接受基本运算技能的训练，为今后学习相关后继课程奠定必要的数学基础，培养学生自主学习、综合运用所学知识分析与解决问题的能力。此外，在该课程中开设与理论教学相配套的数学实验，培养学生利用数学软件解决实际问题的能力。

（一）具体目标

目标1：掌握行列式、矩阵与线性方程组的理论、二次型、向量代数、空间坐标系、平面与空间直线的方程、常见二次曲面的标准方程及其图形等基础知识，掌握矩阵间的等价、相似、合同关系等线性代数的基本理论和基本方法，为今后学习相关后继课程奠定必要的数学基础。

目标2：培养学生严密的逻辑推理能力、抽象思维能力和空间想象能力能以向量代数矩阵为基本工具，具有一定的分析和解决问题的能力

目标3：了解数学软件Matlab的基本功能与使用方法，具备利用该软件求解线性代数与解析几何的基本计算和绘图的能力。

目标4：使学生了解代数与几何学科发生、发展的规律和文化内涵，拓展学生系统思维能力和与时俱进的创新精神，落实价值引领，博大人文情怀。同时，通过本课程的学习，为学生自主学习和终身学习提供数学基础。

四、课程主要教学内容和基本要求、重点难点

(一)行列式

1.内容

二阶、三阶行列式；排列和对换；n阶行列式的定义；n阶行列式的性质；行列式按行（列）展开定理；行列式的计算；克莱姆（Gramer）法则。

2.基本要求

(1)掌握二阶、三阶行列式的计算；

(2)了解排列、逆序、逆序数及奇偶排列的定义，排列的奇偶性与对换的关系；

(3)理解n阶行列式的定义；

(4)会用行列式的性质及行列式按行(列)展开定理计算行列式；

(5)能用克拉默法则解线性方程组。

(6)了解Matlab的基本功能和基本使用方法，会用Matlab求解行列式

3.重点、难点

重点：行列式的性质及行列式按行(列)展开定理；行列式的计算。

难点：行列式的定义；行列式的计算。

(二) 几何向量

1.内容

向量及其线性运算、空间直角坐标系、向量积和混合积、平面和空间直线。

2.基本要求

(1)理解空间直角坐标系的概念，会用坐标表示向量；

(2)会用坐标表示向量的模、方向余弦；

(3)掌握向量的数量积、向量积和混合积的概念及其运算律，会用坐标计算向量的数量积、向量积和混合积;

(4)会根据所给条件求平面、空间直线的方程;

(5)会用平面、空间直线的方程表示空间中点、线、面的相关位置及度量关系；

(6)会用matlab软件绘制二维图形、平面区域。

3.重点和难点

重点：空间坐标系、平面的方程、空间直线的方程.

难点：画出向量积，点、直线和平面之间的关系。

(三) 矩阵

1.内容

矩阵的概念；矩阵的运算；矩阵的秩及其性质；可逆矩阵及其性质；分块矩阵；矩阵的初等变换。

2.基本要求

(1)理解矩阵的概念，知道单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及正交矩阵的定义和性质；

(2)掌握矩阵的线性运算、矩阵与矩阵的乘法运算、矩阵的方幂、矩阵的转置等的定义及其运算律，理解方阵的幂的定义和方阵行列式的性质；

(3)理解伴随矩阵的概念与性质；

(4)理解并掌握矩阵的可逆和逆矩阵的概念、矩阵可逆的条件，熟悉逆矩阵的性质和求逆矩阵的方法;

(5)了解分块矩阵的意义，掌握分块矩阵的运算规则；

(6) 理解矩阵的秩的概念，掌握矩阵的秩的性质及求矩阵的秩的方法；

(7)理解矩阵的初等变换、初等矩阵及矩阵等价的概念，会用矩阵的初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵与行最简形矩阵

(8)掌握用矩阵的初等变换求方阵的逆矩阵、矩阵的秩和解矩阵方程的方法。

(9)了解matlab求解矩阵相关运算的函数

3.重点、难点

重点：矩阵的运算；矩阵可逆的条件；逆矩阵及其性质；用初等变换化矩阵为阶梯形与最简形；求逆矩阵的方法；矩阵的秩的概念与性质；求矩阵秩的方法；。

难点：矩阵与矩阵的乘积；逆矩阵及其性质；矩阵的秩的性质。

(四) 线性方程组与n维空间向量

1.内容

线性方程组有解的条件；n维向量的概念；向量组的线性组合、线性相关与线性无关的概念；向量组的等价；向量组的线性相关性的判定；向量组的极大无关组及秩的概念与性质；向量组的秩与矩阵的秩的关系；线性方程组解的结构；齐次线性方程组的基础解系；向量空间的基。

2.基本要求

(1) 了解n维向量及向量空间的定义；

(2)理解线性方程组的解、系数矩阵、增广矩阵、同解方程组等概念；

(3)理解线性方程组有解的判别定理，掌握线性方程组有唯一解、有无穷多解、无解的条件以及齐次线性方程组有非零解的条件；

(4)理解向量组的线性组合、线性相关、线性无关、向量组等价的概念及性质，掌握判定向量组线性相关性的方法；

(5)理解向量组的极大无关组及秩的概念，会求向量组的一个极大无关组；

(6)理解向量组等价的概念，矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关系；

(7)理解齐次线性方程组的基础解系，掌握求齐次线性方程组基础解系的方法；

(8)理解非齐次线性方程组解的结构；

(9)掌握求解线性方程组的方法。

(10)会用matlab求解齐次线性方程组解的通解、向量组的最大线性无关组。

3.重点、难点

重点：向量组线性相关性的定义及判定方法；向量组的极大无关组及向量组的秩；线性方程组有解的判定；齐次线性方程组的基础解系；线性方程组解的结构；求解线性方程组的方法。

难点：向量组线性相关性的定义及判定方法；向量组的极大无关组及向量组的秩；线性方程组有解的判定定理；齐次线性方程组的基础解系的定义及求基础解系的方法；非齐次线性方程组解的结构。

(五) 相似矩阵及二次型

1.内容

向量的内积；正交向量组；方阵的特征值与特征向量；相似矩阵；矩阵可对角化的条件；实对称矩阵的对角化；二次型的矩阵表示；化二次型为标准形；惯性定理；正定二次型。