空间曲线曲率计算公式及推导
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1.4 空间曲线的曲率定义及
计算公式
引理 设)(s a →是单位圆周上的向量，即1||)(||=→s a ，
设)(s s a ∆+→与)(s a →
之间的夹角记
为θ∆，则有 ||lim ||)(||0s s a s ∆∆='→∆→θ 。 证明 因为
s s a s s a s a s ∆-∆+='→
→→∆→)()(lim )(0， 所以||||)()(||lim ||)(||0s s a s s a s a s ∆-∆+='→
→→∆→ |||2
2sin 2|lim |2sin 2|lim 00s
s s s ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆θθθθ ||lim 0s s ∆∆=→∆θ 。
（用解等腰三角形或用余弦定理，得
θ∆⨯⨯⨯-+=-∆+→
→cos 11211||)()(||22s a s s a
|2sin |2)2sin 21(222
θθ∆=∆--=。） 定理1.2 设曲线Γ：)(s r r →→=（s 是弧长参数）上的每一点有一个单位向量)(s a →，)(s s a ∆+→与)(s a →之间的夹角记为θ∆，那么||lim ||)(||0s
s a s ∆∆='→∆→θ。 设曲线Γ：)(s r r →→=，这里参
数s 是曲线自身的弧长，我们知道，)(s r '是曲线的切向量，1||)(||='→s r ，即)(s r →
'是单位向量。 记)(s r T →→'=，)()(s r s T →→''='，
)(s T →与)(s s T ∆+→的夹角θ∆，||lim 0s
s ∆∆→∆θ度量了曲线的弯曲程度。 ||lim ||)(||||)(||0
s s r s T s ∆∆=''='→∆→→θ，我们称之为曲线)(s r →的 曲率，用)(s k 来表
示，
||)(||)(s r s k →
''=。 （举例解释，需要曲率这个量来刻画曲线；曲珑拐弯，拐弯抹角的程度。）
例1． 直线可以用向量方程表示为→→→+=v s u s r )(，其中→u 和→v 为常向量，并且1||||=→u ，这时切向量→→→='=u
s r s T )()(是常向量，从而0)(=''→s r ，曲率0)(=s k 。
反之，如果0=k ，即0)(=''→s r ， 由此可知)(s r →'是常向量，进而解得→→→+=v s u s r )(，其中→u 和→
v 为常向量。
由此可知：直线的特征是0=k 。
例2． 讨论圆
)sin ,cos ()(a
s a a s a s r =→
。 （这是由于 )sin ,cos ()(θθθa a r =→，
而θ
a s =，a s
=θ，故圆的方程可表示为)sin ,cos ()(a s a a s a s r =→。
） 这时，)cos ,sin ()(a s a s s r -='→
， )sin 1,cos 1()(a s a a s a s r --=''→
。 于是，a s r s k 1||)(||)(=''=→
， 即圆的曲率等于其半径的倒数。
空间曲线曲率的计算公式： 设曲线Γ：)(t r r →
→=，这里参数t 不必是弧长参数。 我们有ds dt t r ds dt dt r d ds r d )(→→
→'==， 22
222)())((ds t d t r ds dt t r ds r d →→→'+''=， 将以上两式的双方作向量外积，得
322))((ds dt t r r ds r d ds r d →→→
→''⨯'=⨯， 由于1||||2=→ds r d ，1=⋅→
→ds r d ds r d ， 得022=⋅→→ds r d ds r d ，（即互相垂直） 所以
||||)(22ds
r d t k →
=
||||22ds
r d ds r d →→⨯= |)(|||)()(||3ds dt t r t r ⋅''⨯'=→
→ 由于ds r d =→
||||， 所以3333||)(||||||||||||-→--'===t r dt r d dt ds ds dt ， 由此得出曲率公式
3||)(||||
)()(||)(t r t r t r t k →→→'''⨯'=。
))(),(),(()(t z t y t x t r =→，
把2||)()(||t r t r →→''⨯'
222))(),((||)(||||)(||t r t r t r t r →
→→→'''-'''=
))()()(())()()((222222t z t y t x t z t y t x ''+''+''⋅'+'+'= 2))()()()()()((t z t z t y t y t x t x '''+'''+'''-，
代入曲率公式，可得简便计算公式3||)(||||
)()(
||)(t r t r t r t k →→→'''⨯'=
1
222
2
31[||()||||()||((),())]||()||r t r t r t r t r t →→→→→''''''=⋅-'
。
例3 求圆柱螺线
),sin ,cos ()(bt t a t a t r =→，0>a
的曲率。
解 直接计算，得
),cos ,sin ()(b t a t a t r -='→，
)0,sin ,cos ()(t a t a t r --=''→，
所以，
22||||b a r +='→，
||||r a →''=，
((),())0r t r t →→'''=，