北京市朝阳区2019~2019学年高一上期末统一数学试卷及答案

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集定义直接求解．【详解】集合A＝{x∈N|1≤x≤3}＝{1，2，3}，B＝{2，3，4，5}，∴A∪B＝{1，2，3，4，5}．故选：D．【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴｜z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值【详解】模拟程序的运行，可得S＝12，n＝1执行循环体，S＝10，n＝2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝6，n＝3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝0，n＝4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S＝﹣8，n＝5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为﹣8．故选：A．【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用待定系数法求出圆的一般方程，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，由此即可得到圆被轴截得的弦长.【详解】根据题意，设过A、B、C的圆为圆M，其方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，又由A（4，4），B（4，0），C（0，4），则有，解可得：D＝﹣4，E＝﹣4，F＝0，即圆M的方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0，令y＝0可得：x2﹣4x＝0，解可得：x1＝0，x2＝4，即圆与x轴的交点的坐标为（0，0），（4，0），则圆被x轴截得的弦长为4；故选：A．【点睛】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及待定系数法求圆的方程，关键是求出圆的方程．5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数平移变换的规律得到向右平移φ（φ＞0）个单位长度的解析式，将点带入求解即可．【详解】将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，可得y＝sin2（x﹣φ）＝sin（2x﹣2φ），图象过点，∴sin（2φ），即2φ2kπ，或2kπ，k∈Z，即φ或，k∈Z，∵φ＞0，∴φ的最小值为．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，考查计算能力，属于基础题．6.设为实数，则是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由“x＜0”易得“”，反过来，由“”可得出“x＜0”，从而得出“x ＜0”是“”的充分必要条件．【详解】若x＜0，﹣x＞0，则：；∴“x＜0“是““的充分条件；若，则；解得x＜0；∴“x＜0“是““的必要条件；综上得，“x＜0”是“”的充分必要条件．故选：C．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“?”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用?与非?非，?与非?非，?与非?非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若?，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，根据指数函数的性质即可求出．【详解】∵log a（e x+3）≥1＝log a a，∴a＞1且a≤e x+3对任意实数x都成立，又e x+3＞3，∴1＜a≤3，故选：B【点睛】本题考查了对数的运算性质和函数恒成立的问题，属于中档题．8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正八面体与大小正方体的关系，即可得到结果.【详解】。

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷高一数学 2020.1本试卷共5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|33}B x x =-<<，那么A B =（ ）（A ）{1,1}- （B ）{2,0}- （C ）{2,0,2}-（D ）{2,1,0,1}--（2）方程组220,2x y x y +=⎧⎨+=⎩的解集是（ ）（A ）{(1,1),(1,1)}-- （B ）{(1,1),(1,1)}-- （C ）{(2,2),(2,2)}-- （D ）{(2,2),(2,2)}--（3）函数11y x +-的定义域是（ ） （A ）[0,1) （B ）(1,)+∞（C ）(0,1)(1,)+∞ （D ）[0,1)(1,)+∞（4）下列四个函数中，在(0,)+∞上单调递减的是（ ） （A ）1y x =+（B ）21y x =-（C ）2x y =（D ）12log y x =（5）设2log 0.4a =，20.4b =，0.42c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）a c b <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<（6）若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ） （A ）ac bd < （B ）ac bd >（C ）ad bc <（D ）ad bc >（7）设,a b ∈∈R R ．则“a b >”是“||||a b >”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减．现医生为某病人注射了2000mg 该药物，那么x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ） （A ）2000(10.2)mg x - （B ）2000(10.2)mg x - （C ）2000(10.2)mg x - （D ）20000.2mg x ⋅（9）如图，向量a b -等于（ ）（A ）123e e - （B ）123e e - （C ）123e e -+ （D ）123e e -+（10）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为 x ，其函数图像如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图像．给出下列四种说法：① 图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ② 图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③ 图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④ 图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本． 其中，正确的说法是（ ） （A ）①③ （B ）①④（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷答案(理工类) 2019.1一、选择题(40分)二、填空题(30分)15. (本小题满分13分)解：(Ⅰ)由12cos 13C =,02C π<<,所以5sin 13C =.由正弦定理得,sin sin AB BCC A =,即5sin =13sin 2C ABBC A =⋅= .……… 6分(Ⅱ)在ABD △中,3cos cos()cos sin 42226B C C C π=π--=+=. 由余弦定理得,222+2cos AD AB BD AB BD B =-⋅,所以2AD 21691329+242264=-⨯⨯=. 所以2AD =. ……………… 13分 16. (本小题满分13分)解：(Ⅰ)B 市共有5个销售点,其小麦价格从低到高排列为：2450,2460,2500,2500,2500.所以中位数为2500,所以甲的购买价格为2500.C 市共有4个销售点,其小麦价格从低到高排列为：2400,2470,2540,2580,故X 的可能取值为0,1,2.2022241(0)6C C P X C ===, 11222442(1)63C C P X C ====,0222241(2)6C C P X C ===. 所以分布列为所以数学期望21()0(0)1(1)2(2)12136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=. ……… 10分(Ⅱ)三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B ……… 13分17. (本小题满分14分)证明：(Ⅰ)取11A C 中点G ,连FG ,连GC .在△111A B C 中,因为,F G 分别是1111,A B AC 中点,所以11FG B C //,且1112FG B C =.在平行四边形11BCC B 中,因为E 是BC 的中点,所以11EC B C //,且1112EC B C =.所以EC FG //,且EC FG =.所以四边形FECG 是平行四边形.所以FE GC //.又因为FE ⊄平面11A C CA ,GC ⊂平面11A C CA ,所以//EF 平面11A C CA . …………………4分 (Ⅱ)因为侧面11A C CA 是正方形,所以111AC C C ⊥.又因为平面11AC CA ⊥平面11BCC B ,且平面11AC CA 平面111BCC B C C =,所以11A C ⊥平面11BCC B .所以111AC C B ⊥.又因为11BC C C ⊥,以1C 为原点建立空间直角坐标系1C xyz -,如图所示. 设1C C a =,则11(0,,),(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)A a a B a C a A a B a a -,(,,0),(,,)22222a a a a a E F -. (ⅰ)设平面1FBC 的一个法向量为(,,z)x y =n .由110,0C B C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0,0.222ax a a ax y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩即0,.x y z =⎧⎨=⎩令1y =,所以(0,1,1)=n . 又因为11A C ⊥平面1BC E ,所以11(0,0,)C A a =是平面1BC E 的一个法向量.所以111111cos ,2C A C A C A ⋅===⋅n n n. 由图可知,二面角1F BC E --为钝角,所以二面角1F BC E --的大小为34π. ……………10分 (ⅱ)假设在线段EF 上存在点P ,使得AP EF ⊥. 设,[0,1]EPEFλλ=∈,则EP EF λ=. 因为(,,)(0,,)222a a a AP AE EP AE EF a a λλ=+=+=--+-(,,)222a a aa a λλ=---+,又AP EF ⊥, 所以210()()()()022224a a a a AP EF a a a a λλλλ⋅=⨯+---+-+=+=. 所以0[0,1]λ=∈.故点P 在点E 处时,有AP EF ⊥ .…………14分 18. (本小题满分13分)解：(Ⅰ) 当0m =时：()(1)e xf x x '=+,令()0f x '=解得1x =-,又因为当(),1x ∈-∞-,()0f x '<,函数()f x 为减函数；当()1,x ∈-+∞,()0f x '>,函数()f x 为增函数.所以,()f x 的极小值为1(1)ef -=-. .…………3分 (Ⅱ)()(1)(e )xf x x m '=+-.当0m >时,由()0f x '=,得1x =-或ln x m =.(ⅰ)若1em =,则1()(1)(e )0e xf x x '=+-≥.故()f x 在(),-∞+∞上单调递增；(ⅱ)若1em >,则ln 1m >-.故当()0f x '>时,1ln x x m <->或；当()0f x '<时,1ln x m -<<.所以()f x 在(),1-∞-,()ln ,m +∞单调递增,在()1,ln m -单调递减. (ⅲ)若10em <<,则ln 1m <-.故当()0f x '>时,ln 1x m x <>-或； 当()0f x '<时,ln 1m x <<-.所以()f x 在(),ln m -∞,()1,-+∞单调递增,在()ln ,1m -单调递减. .…………8分(Ⅲ)(1)当0m =时,()e xf x x =,令()0f x =,得0x =.因为当0x <时,()0f x <, 当0x >时,()0f x >,所以此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(2)当0m >时： (ⅰ)当1em =时,由(Ⅱ)可知()f x 在(),-∞+∞上单调递增,且1(1)0e f -=-<,2(1)e 0e f =->,此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.(ⅱ)当1em >时,由(Ⅱ)的单调性结合(1)0f -<,又(ln )(1)0f m f <-<, 只需讨论(1)e 2f m =-的符号：当1ee 2m <<时,(1)0f >,()f x 在区间()1-∞，上有且只有一个零点； 当e2m ≥时,(1)0f ≤,函数()f x 在区间()1-∞，上无零点.(ⅲ)当10em <<时,由(Ⅱ)的单调性结合(1)f -<,(1)e 20f m =->,2(ln )ln 022m mf m m =--<,此时()f x 在区间(),1-∞上有且只有一个零点.综上所述,e02m ≤<. .…………13分19. (本小题满分14分)解：(Ⅰ)由题意可得直线1l 的方程为1y x =+.与椭圆方程联立,由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可求41(,)33B --. ……………4分(Ⅱ)当2l 与x 轴垂直时,,C D 两点与E ,G 两点重合,由椭圆的对称性,11EF FG =. 当2l 不与x 轴垂直时,设()11,C x y ,()22,D x y ,2l 的方程为(1)y k x =+(1k ≠).由22(1)12y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,整理得()2222214220k x k x k +++-=.则21224+21k x x k -=+,21222221k x x k -=+. 由已知,20x ≠,则直线AD 的方程为2211y y x x --=,令1x =-,得点E 的纵坐标2221E x y y x -+=.把()221y k x =+代入得()221(1)Ex k y x +-=. 由已知,143x ≠-,则直线BC 的方程为111143()4333y y x x ++=++,令1x =-,得点G 的纵坐标111143()3G y x y x --=+.把()111y k x =+代入得()111(1)34G x k y x +-=+. ()()21211(1)1(1)34E G x k x k y y x x +-+-+=++()()212121(1)1(34)1(34)k x x x x x x -++-+⎡⎤⎣⎦=⋅+[]121221(1)23()4(34)k x x x x x x -+++=⋅+把21224+21k x x k -=+,21222221k x x k -=+代入到121223()4x x x x +++中, 121223()4x x x x +++=222222423()402121k k k k --⨯+⨯+=++.即0E G y y +=,即11EF FG =. .…………14分 20. (本小题满分13分)(Ⅰ)3a 的值可取27,30,33,36. .…………3分 (Ⅱ)由()151,2,n n a a n +≤+=⋅⋅⋅,对于任意的n ,有15(1)n a n a ≤-+.当14n a ≥-时,15(1)n a n a ≤-+,即5(1)4n a n n ≤-++,即61n a n ≤-. 则6n a n <成立.因为n a 是n 的倍数,所以当14n a ≥-时,有5n a n ≤成立.若存在n 使5n a n >,依以上所证,这样的n 的个数是有限的,设其中最大的为N . 则5N a N >,15(1)N a N +≤+成立,因为N a 是N 的倍数,故6N a N ≥. 由+1565(1)5N N a a N N N ≥-≥-+=-,得10N ≤.因此当11n ≥时,5n a n ≤. …………8分 (Ⅲ)由上问知1155a ≤,因为+15n n a a ≤+且n a 是n 的倍数,所以1091,,,a a a ⋅⋅⋅满足下面的不等式：1060a ≤，963a ≤，864a ≤，763a ≤，666a ≤，570a ≤，472a ≤，375a ≤，280a ≤,185a ≤.则1=85a ,2=80a , 3=75a ,472a =,570a =,666a =,763a =,864a =,963a =,1060a =,当11n ≥时,5n a n =这个数列符合条件.故所求1a 的最大值为85. ………13分。

2019-2020 学年度第一学期期末联考高一数学试题第 I 卷（选择题）一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．每题只有一个正确答案）1．若 A={0,1,2 } , B = { x 1? x 2} , 则A?B（）{ } { 0,1,2 }{}{1,2 }A ． 1B ．C ． 0,1D ．2． sin15 o cos15o 值为（）A ．1B ．1C．3 D． 324243． 函数 f ( x)1lg(1 x) 的定义域是 ()1 xA ．( － ，－ 1)B ．(1，＋ )C ．(－1，1)∪(1，＋ )D ．(－ ，＋ )4．已知点 P( x,3) 是角终边上一点，且 cos4），则 x 的值为（B ． 55D ． 4A ． 5C ． 45．已知 a0.7 0.8 ,blog 2 0.8, c1.10.8 ，则 a,b, c 的大小关系是（）A ． a b cB ． b a cC ． a c bD ． b c a6．设函数 y ＝ x 3 与 y( 1 )x 2 的图像的交点为 ( x 0，y 0) ，则 x 0 所在的区间是 ()2A ．(0，1)B．(1 ，2) C ．(2 ， 3) D ．(3 ，4)7．在自然界中，存在着大批的周期函数，比方声波，若两个声波随时间的变化规律分别为：y 1 3sin 100 t , y 2 3cos 100 t ，则这两个声波合成后即yy 1 y 2 的振幅为（）A ． 3B ． 6C ． 3 2 D． 6 28．以下函数中，不拥有奇偶性的函数是 ( )A ． yexexB ． y lg1 x1 xC ． ycos2xD ． y sin x cos x9．若 yAsin( x)( A0,0,| |) 的最小值为2，其图像相邻最高点与最低点横坐标之差为2 ，且图像过点（20， 1），则其分析式是（）A ． y 2sin( x )6B． y 2sin( x )3C ． y2sin( x) 2 6xD ． y 2sin( )2 310．如右图，点 P 在半径为 1的半圆上运动， AB 是直径， P当 P 沿半圆弧从 A 到 B 运动时，点 P 经过的行程 x 与 APBxB O A的面积 y 的函数y f ( x) 的图像是以下图中的（）yy11 12OC π2πx OD第 II卷（非选择题）π2πx二、填空题（本大题共 5 小题，每题 5 分，共25 分．将答案填在题后横线上）11．(log29)(log 3 4)．12．把函数y＝ 3sin2 x的图象向左平移个单位获得图像的函数分析是．13．已知tan 2 ，则 cos26．14．若函数f x 知足 f ( x 1) f ( x) ，且当x1,1 时， f x x ，则 f 2 f 3f4．15．函数f ( x)| cos x | cos x 具备的性质有．（将全部切合题意的序号都填上）（ 1）f (x)是偶函数；（ 2）f (x)是周期函数，且最小正周期为；（ 3）f (x)在[, ] 上是增添的；2（ 4）f (x)的最大值为2．三、解答题（本大题共 6 小题，共75 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知会合M ={x 1 < x < 2}，会合Nx 3x 4 ．2（ 1）求AèB；P ={}（ 2）设会合x a < x < a + 2，若 P 腿(A B) ，务实数 a 的取值范围．117．（本小题满分12 分）已知tan2, tan，此中0,0．3（ 1）求tan() 的值；（ 2）求角的值．18．（本小题满分12 分）已知函数 f (x) sin( x)sin( x) ．32（ 1）求f (x)的最小正周期；3，求 g(x) 在区间[0,] 上的值域．（ 2）若g (x) f ( x)4219．（此题满分12 分）辽宁号航母纪念章从2012 年10 月5 日起开始上市．经过市场检查，获得该纪念章每 1 枚的市场价y(单位 : 元) 与上市时间x(单位 : 天 ) 的数据以下:上市时间x 天41036市场价y 元905190(1) 依据上表数据联合散点图，从以下函数中选用一个适合的函数描绘辽宁号航母纪念章的市场价y与上市时间x 的变化关系并说明原因: ①y ax b ；②y ax 2bx c ；③y a log b x ．(2)利用你选用的函数，求辽宁号航母纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价钱．20． ( 本小题满分13 分)已知函数 f (x)cx1, 0 x c，知足 f (c)9 x．2 c 21, c ≤ x128(1)求常数 c 的值；(2)解对于 x 的不等式 f (x)21．821． ( 本小题满分14 分 ) 已知函数mf( )|x|1( x0)．x x（ 1）当m 2时，判断f (x)在(,0) 的单一性，并用定义证明．（ 2）若对随意x R ，不等式 f (2x)0 恒建立，求 m 的取值范围；（ 3）议论f (x)零点的个数．2019-2020 学年度第一学期期末 考高一数学参照答案参照答案： 一、1．A2．B 3 ．C4．D5．B 6 ．B 7 ．C 8 ．D 9 ．C10．A 二、填空11． 4 12． 13 ．3 14． 115．（ 1）（ 3）（4）56三、解答{ x 1 < x < 4}16．解：（ 1） A? B⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分 （ 2）由（1） A ? B {x 1 < x < 4 }， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分ì?a 3 1?1＃a2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分í?2 ? 4?a +1tantan217．解：（ 1） tan()37⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1 tan tan1 ( 2) 131tantan2（ 2） tan(31⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分)tan tan111( 2)1 3因 tan2 0,tan0 ，3因此， 022因此2，2故4⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分18．解：f (x)( 1 sin x3cos x)cos x⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分221 sin x cos x3cos 2 x221sin 2x3(1 cos 2x) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分441sin(2 x3) 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分24（ 1）因此T 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分21（2）g (x)) ，sin(2 x23因 0 ≤ x ≤2 ，因此3 ≤ 2x3 ≤ ，3因此3≤ sin(2 x)≤1，233≤ 1sin(2 x) ≤ 1，423 2因此 g(x) 在区 [0,] 上的 域 [3 ,1] ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分24 219．解 :(1) ∵跟着 x 的增添， y 的 先减后增，而所 的三个函数中y ax b 和 ya logb x 然都是 函数，不 足 意，∴ yax 2 bx c ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分(2) 把点 (4 ， 90) ， (10 ， 51) ， (36 ， 90) 代入 yax 2 bx c 中，16a 4b c90得 100a 10bc 51⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分1296a 36b c 90解得 a 110， c 126⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分， b1 4 1∴ yx 2 10x 126 (x 20)2 26 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分44∴当 x 20 ， y 有最小 y min 26 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分答： 宁号航母 念章市 价最低 的上市天数 20 天，最低的价钱 26 元．⋯⋯⋯⋯12 分20．解： (1)∵ f ( c)9 ，即 c c1 9 ，2 8 28解得 c1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分．21 x 1, 0 x 1(2) 由 (1) 得 f ( x)21, 1≤ x2 ，2 4x12由 f ( x)2，适当 0x12 x1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分1，解得4 ；822当1≤ x 1 ，解得 1≤ x5 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分228∴不等式 f ( x)2 1的解集 { x | 2 x 5} ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分8 4821．分析：（ 1）当 m2 ，且 x0 ， f ( x)x 2 1 是 减的．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分x明： x 1x 2 0 ，f (x 1)f (x 2 )x 12 1 ( x 22 1)x 1x 2(x 2 x 1 ) (2 2x 1)x 2( x 2 x 1 )2( x 2 x 1)x 1x 2( x 22 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分x 1 )(1 ) x 1 x 2又 x 1 x 2 0 ，因此 x 2 x 1 0 ， x 1x 2 0 ，因此 ( x 2 x 1 )(1 2 0)x 1x 2 因此故当f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f (x 1) f (x 2 ) ，m 2 ， f ( x) x2在 ( ,0) 上 减的． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1 x（ 2）由 f (2 x ) 0 得 | 2x | m x1 0 ，形 (2 x )22x22x(2 x ) 2m 0 ，即 m而 2x(2 x )2(2 x 1)21 ，12 41当 2x即 x1 (2 x (2 x )2 )max ，2 14因此 m⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分．4（ 3）由 f (x)0 可得 x | x | xm 0( x 0) ， m x | x | x(x 0)令 g( x)x x | x |x 2 x, xx 2x, x 0作 y g (x) 的 像及直y m ，由 像可得：当 m1 1f ( x) 有 1 个零点．或 m，4 4当 m10 或 m1或 m， f (x) 有 2 个零点；41 14当 0mm0 ， f ( x) 有 3 个零点．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14 分或44。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（文史类）2019．1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求得集合A，再利用集合的并集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则，故选 D.【点睛】本题主要考查了集合的并集的运算，其中解答中正确求解集合A，利用集合的并集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，即可得到答案.【详解】对于A中，函数为对数函数，不奇函数，不符合题意；对于B中，函数为幂函数，既是奇函数又是单调递增函数，符合题意；对于C中，函数为正弦函数，在其定义域上不是增函数，不符合题意；对于D中，函数，其定义域为不是奇函数，不符合题意，综上可知函数满足题意，故选 B.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判定问题，其中解答中熟记常见函数的奇偶性和单调性是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.3.设，则是的( )A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查不等式,充分条件,必要条件,充要条件及判定.所以有则则是的充分但不必要条件.故选A4.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( )A. 5B. 6C. -8D. -18【答案】C【解析】【分析】根据给定的程序框图，依次计算程序运行时的结果，直到满足条件终止循环，即可得到输出结果.【详解】由题意，模拟程序的运行，可得：执行循环体，，不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；不满足条件，执行循环体，；满足条件，终止循环体，输出，故选 C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出结果问题，其中解答中按照给定的程序框图，依次计算程序运行的结果是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选 C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，分别求出的坐标，由向量的数量积的坐标运算，即可得到答案.【详解】如图所示，以A为坐标原点，以AC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则,所以，所以，故选 B.【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中建立适当的直角坐标系，求解向量的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则( )A. 1B. 13C. 17D. 1或13【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程，求出，然后利用双曲线的定义转化，即可求解，得到答案.【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，又由，又由，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，可得点P在双曲线的左支上，所以，可得，故选 B.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.从计算器屏幕上显示的数为0开始，小明进行了五步计算，每步都是加1或乘以 2.那么不可能是计算结果的最小的数是( )A. 12B. 11C. 10D. 9【答案】B【解析】【分析】由题意，可列出树形图，逐步列举，即可得到答案.【详解】由题意，列出树形图，如图所示由树形图可知，不可能是计算结果的最小数是11，故选 B.【点睛】本题主要考查了简单的合情推理，以及树形图的应用，其中解答中认真分析题意，列出树形图，结合树形图求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上.9.设复数满足，则__________．【答案】。

2019-2020学年北京市西城区高一（上）期末数学试卷一、选择题1.已知集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，那么A∩B＝（）A. {﹣1，1}【答案】CB. {﹣2，0}C. {﹣2，0，2}D. {﹣2，﹣1，0，1}【解析】【分析】利用交集直接求解．【详解】∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：C．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x y 02.方程组的解集是（）y 2x22A.{(1，﹣1),(﹣1，1)} C.{(2，﹣2),（﹣2，2)}B.{(1，1),(﹣1，﹣1)} D.{(2，2),(﹣2，﹣2)}【答案】A【解析】【分析】求出方程组的解，注意方程组的解是一对有序实数．x y 0x 1x 1【详解】方程组的解为或，y 2y 1y 1x22其解集为{(1,1),(1,1)}．故选：A．【点睛】本题考查集合的表示，二元二次方程组的解是一对有序实数，表示时用小括号括起来，表示有序，即代表元可表示为(x,y)，一个解可表示为(1,1)．13.函数y＝x的定义域是（）x 1A. [0，1)B. (1，+∞)C. (0，1)∪(1,+∞)D. [0，1)∪(1,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】x 0由偶次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，可得到不等式组 x 1 0，解出即可求得定义域．x 0【详解】依题意， x 1 0，解得x ≥0 且x ≠1，即函数的定义域为[0，1)∪(1，+∞)，故选：D ．【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解，属于基础题． 4.下列四个函数中，在(0，+∞)上单调递减的是（ ） y l og xA. y ＝x +1 【答案】DB. y ＝x ﹣1 C. y ＝2xD.2 12【解析】 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝x +1，为一次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；对于B ，y ＝x ﹣1，为二次函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意； 2 对于C ，y ＝2 ，为指数函数，在 (0，+∞)上单调递增，不符合题意；x y l og x对于D ，，为对数函数，在 (0，+∞)上单调递减，符合题意；1 2故选：D ．【点睛】本题考查函数的单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性，属于基础题． 5.设a ＝log 2 A. a ＜b ＜c 【答案】A0.4，b ＝0.4 ，c ＝2 ，则a ，b ，c 的大小关系为（）20.4B. a ＜c ＜bC. b ＜a ＜cD. b ＜c ＜a【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解，要借助于中间值0 和 1 比较．【详解】∵log 0.4＜log 1＝0，∴a＜0，22∵0.4 ＝0.16，∴b＝0.16，2∵2 ＞2 ＝1，∴c＞1，0.40∴a＜b＜c，故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．b0c d06.若a，，则一定有（）A.ac b d ac bdB.C.ad bcD.ad bc【答案】B【解析】d0c d0，由于a b0试题分析：根据c，有bd,ac bd，故选B.，两式相乘有ac考点：不等式的性质.a,b R ，则a b a b7.设“”的（）”是“A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】b试题分析：因为a成立，a,b的符号是不确定的，所以不能推出a b成立，反之也不行，所以是既不充分也不必要条件，故选D．考点：充分必要条件的判断．8.某种药物的含量在病人血液中以每小时 20%的比例递减．现医生为某病人注射了 2000mg 该药物，那么 x 小时后病人血液中这种药物的含量为（ ）A. 2000(1﹣0.2x )mgB. 2000(1﹣0.2)x mgD. 2000•0.2x mgC. 2000(1﹣0.2 )mgx 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数模型求得函数 y 与 x 的关系式．【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时 20%的比例递减，给某病人注射了该药物 2000mg ，经过 x 个小时后，药物在病人血液中的量为 y ＝2000× (1﹣20%) ＝2000×0.8 (mg )， x x 即 y 与 x 的关系式为 y ＝2000×0.8． x 故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数模型的应用问题，是基础题． r r9.如图，向量a b 等于（）u r u u r A. 3 ﹣ u r u u r e 3eu r u u r 3e eu r u u r e 3eD.e eB. C.12121212【答案】B 【解析】 【分析】r r根据向量减法法则，表示出a b，然后根据加法法则与数乘运算得出结论． u r u u rr r a b e 3e，【详解】 ＝ 12故选：B ．【点睛】本题考查向量的线性运算，掌握线性运算法则是解题基础．本题属于基础题．10.某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1） 所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调 整后y 与x 的函数图象，给出下列四种说法，①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2） 对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图 （3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】解题的关键是理解图象表示的实际意义，进而得解．【详解】由图可知，点A 纵坐标的相反数表示的是成本，直线的斜率表示的是票价，故图 (2)降低了成本，但票价保持不变，即②对；图(3)成本保持不变，但提高了票价，即③对； 故选：C ．【点睛】本题考查读图识图能力，考查分析能力，属于基础题．二、填空题11.已知方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和 x ，则x +x ＝_____． 222 1 2 1 2【答案】14 【解析】 分析】利用韦达定理代入即可．【详解】方程x ﹣4x+1＝0 的两根为x 和x ， 2 1 2x +x ＝4，x x ＝1， 1 2 1 2x +x ＝ (x +x ) ﹣2x x ＝16﹣2＝14， 2 2 2 1 2 1 2 1 2故答案为：14．【点睛】考查韦达定理的应用，基础题．r r r r r12.已知向量a ＝(1,﹣2)，b ＝(﹣3,m )，其中 m ∈R ．若a ，b 共线，则|b |＝_____．【答案】3 5 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示求出 m ，再由模的坐标运算计算出模．r r【详解】∵ ， 共线，∴m －6＝0，m ＝6，a br∴ b (3) 6 3 5 ． 22 故答案为：3 5 ．【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，考查向量的模，属于基础题． a 1b 913.已知函数 f (x )＝log 3x ．若正数 a ，b 满足，则 f (a )﹣f (b )＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】直接代入函数式计算．a 1f (b) l og a l og b l og l og 2 【详解】 f (a) ． b 93 3 3 3 故答案为： ．2 【点睛】本题考查对数的运算，掌握对数运算法则是解题基础．本题属于基础题．x 2,x 0f x 14.函数 的零点个数是_____；满足 f (x 0 )＞1 的 x 的取值范围是_____． x 2 3,x 0【答案】 (1). 2 (2). （﹣1，0）∪（2，+∞）【解析】 【分析】(x) 0 直接解方程 f 求出零点即可知零点个数，注意分段函数分段求解．解不等式 f (x )＞1 也同样由函数 0 解析式去求解．0 f (x) x3 0 0 ， 3 ，当 x 时， f(x) x 2 0, x 2 ，共 2 个零点，即 【详解】 x 时， 2 x 零点个数为 2；0 f (x) x3 1 x 0 ( ) 2 1, 1 时， f x x ，即 1 0 ，x当 x ∴ f 时， ， 2 ，当 x 2 x (x ) 1 (1,0) U (2, ) 的 的取值范围是 x． 0 0故答案为：2；(1,0)U (2, )．【点睛】本题考查分段函数，已知分段函数值求自变量的值，解不等式都要分段求解，注意各段的取值范 围即可．15.已知集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}，B ＝{x |x ＞c }，其中 c ∈R ．①集合∁ A ＝_____；②若∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 2 Rx ∈B ，则 c 的取值范围是_____． 【答案】 (1). {x |﹣2＜x ＜3}(2). （﹣∞，﹣2]【解析】 【分析】①先求出集合 A ，再利用补集的定义求出∁ A ；R ②由对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，所以 A ∪B ＝R ，从而求出 c 的取值范围． 【详解】①∵集合 A ＝{x |x ﹣x ﹣6≥0}＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}， 2 ∴∁ A ＝{x |﹣2＜x ＜3}； R②∵对∀x ∈R ，都有 x ∈A 或 x ∈B ，∴A ∪B ＝R ， ∵集合 A ＝{x |x ≤﹣2 或 x ≥3}，B ＝{x |x ＞c }， ∴c ≤﹣2，∴c 的取值范围是： (﹣∞，﹣2]， 故答案为：{x |﹣2＜x ＜3}； (﹣∞，﹣2]．【点睛】本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，集合的包含关系判断及应用，难度不大，属 于基础题．16.给定函数 y ＝f (x )，设集合 A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得 x +y ＝0 成立，1x1则称函数f(x)具有性质P．给出下列三个函数：①；②y ；③y＝lgx．其中，具有性质的函Pyx2数的序号是_____．【答案】①③【解析】【分析】A即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，B＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；对②，A＝R，B＝(0，+∞)，当x＞0时，不存在y∈B，使得x+y＝0成立，即不具有性质P；对③，A＝(0，+∞)，B＝R，显然对于∀x∈A，∃y∈B，使得x+y＝0 成立，即具有性质P；故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题17.某校高一新生共有320人，其中男生192人，女生128人．为了解高一新生对数学选修课程的看法，采用分层抽样的方法从高一新生中抽取5人进行访谈．（Ⅰ）这5 人中男生、女生各多少名？（Ⅱ）从这5 人中随即抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名女生的概率．3【答案】（Ⅰ）男生3人，女生2人；（Ⅱ）5【解析】【分析】(Ⅰ)利用分层抽样按比例计算出这5 人中男生人数和女生人数．(Ⅰ)记这5人中3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，利用列举法能求出抽取的2人中恰有1 名女1 2 3 1 2生的概率．【详解】(Ⅰ)这5人中男生人数为19232012832053，女生人数为52．(Ⅰ)记这5人中的3名男生为B，B，B，2 名女生为G，G，1 2 3 1 2则样本空间为：Ω＝{(B，B)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，B)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，(B，G)，1 2 1 3 1 1 1 2 2 3 2 1 2 2 3 1 3 2(G ，G )}，1 2 样本空间中，共包含 10 个样本点． 设事件 A 为“抽取的 2 人中恰有 1 名女生”，则 A ＝{ (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )， (B ，G )}， 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 63P A事件 A 共包含 6 个样本点． 从而 10 5 3所以抽取的 2 人中恰有 1 名女生的概率为 ．5【点睛】本题考查古典概型概率，考查分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．x 3f x l og8 2 的图象为曲线 C ，函 数 g x 18.在直角坐标系 xOy 中，记函数 的图象为曲线x13C ． 2（Ⅰ）比较 f （2）和 1 的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线 C 在直线 y ＝1 的下方时，求 x 的取值范围； 1 （Ⅲ）证明：曲线 C 和 C 没有交点．1 2 【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 5,3)；（Ⅲ）证明见解析 2 【解析】 【分析】 (Ⅰ)因为 f2l og 8 2 l og 4 ，求出 f (2)的值，结合函数的单调性判断 f (2)和 1 的大小．2332 1 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，推出log 8 ．求解即可．x3(Ⅰ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 和 C 没有交点．1 2 f 2 l og 8 2 l og 4 【详解】解： (Ⅰ)因为，2 33又函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数， 3 所以 f (2)＝log 4＞log 3＝1．3 3 (Ⅰ)因为“曲线 C 在直线 y ＝1 的下方”等价于“f (x )＜1”，log 8 2 1 所以．x 3因为 函数 y ＝log x 是 (0，+∞)上的增函数，3 所以 0＜8﹣2 ＜3， x 即 5＜2＜8， x 所以 x 的取值范围是 (log 5，3)．2(Ⅰ)因为f(x)有意义当且仅当8﹣2 ＞0，x解得x＜3．所以f(x)的定义域为D＝(﹣∞，3)．1g(x)有意义当且仅当x﹣3≥0，解得x≥3．所以g(x)的定义域为D＝[3，+∞)．2因为D∩D＝，1 2所以曲线C和C没有交点．1 2【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19.根据以往的成绩记录，甲、乙两名队员射击中靶环数（环数为整数）的频率分布情况如图所示．假设每名队员每次射击相互独立．（Ⅰ）求图中a的值；（Ⅱ）队员甲进行2次射击．用频率估计概率，求甲恰有1 次中靶环数大于7的概率；（Ⅲ）在队员甲、乙中，哪一名队员的射击成绩更稳定？（结论无需证明）3【答案】（Ⅰ）0.06；（Ⅱ）；（Ⅲ）甲8【解析】【分析】(I)由频率分布图中频率之和为1，可计算出a；(I I)事件“甲恰有1次中靶环数大于7”表示第一次中靶环数大于7，第二次中靶环数不大于7，和第一次中靶环数不大于7，第二次中靶环数大于1，由相互独立事件的概率公式可计算概率；(I I I)估计两人中靶环数的均值差不多都是8，甲5 个数据分布均值两侧，而乙6个数据偏差较大，甲较稳定．a1(0.190.450.290.01)0.06【详解】(I)由题意；(II)记事件 A 甲中射击一次中靶环数大于 7，则 P (A) 0.45 0.29 0.01 0.75，甲射击 2 次，恰有 1 次中靶数大于 7 的概率为：3P P(AA) P(AA) P(A)P(A) P(A)P(A)0.750.25 0.250.75； 8(III)甲稳定．【点睛】本题考查频率分布图，考查相互独立事件同时发生的概率，考查用样本数据特征估计总体的样本 数据特征，属于基础题．x 1, 20.已知函数． f x x21 （Ⅰ）证明：f (x )为偶函数；（Ⅱ）用定义证明：f (x )是(1，+∞)上的减函数； （Ⅲ）当 x ∈[﹣4，﹣2]时，求 f (x )的值域．1,1 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）3【解析】 【分析】(I)用偶函数定义证明； (II)用减函数定义证明；(III)根据偶函数性质得函数在[4,2] 上的单调性，可得最大值和最小值，得值域． 【详解】(I)函数定义域是{x |x 1},x 1 x 1 f (x )f (x) , (x ) 1 x 12 2 (x) ∴ f 是偶函数；1 x 1 1 x 11 x x (II)当 x 时， f x，设， 1 x 1 x 1 1 2 x2 2 11xx(x ) f (x )则 f ， 2 1 1 2x11 x21 (x 1)(x 1)121 x x x 1 0, x1 0, x x 0，∵，∴ 121221f (x ) f (x ) 0 f (x ) f (x ) ，∴ ，即 1 2 1 2在(1,)上是减函数；(x) ∴ f(III)由 (I) (II)知函数 f(x) [4,2] 在 上是增函数， 4 1 1 2 1 (x)f (4)f (x) f (2) ， 1， ∴ f (43 (2) 1min2 max 2 1[ ,1] ∴所求值域为 ． 3【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题基础．21.设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C （单位：万元）与生产量 x （单位：千件）183x 5,0 x 6 8 间的函数关系是C ＝3+x ；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是Sx . 14, x 6（Ⅰ）把商品的利润表示为生产量 x 的函数； （Ⅱ）为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）确定 5 千件时，利润最大． 【解析】 【分析】(I)用销售收入减去生产成本即得利润； (II)分段求出利润函数的最大值可得生产产量．183x5 (3 x),0 x6 S C 8 y (万元)，则 y【详解】(I)设利润是 x ， 14 (3 x), x 6 182x 2,0 x 6 y x 8 11 x , x 6∴ ； 18 9 0 x 6时， 2 2 2[(8 x) ]18 y x (II)， x 8 8 x9 由“对勾函数”知，当8 x，即 x 6 5时， 6 ， y 8 xm ax 6 11 5 当 x ∴ x时， y x 是减函数， x 时， y， m ax5时， 6 ，ym ax∴生产量为 5 千件时，利润最大．【点睛】本题考查分段函数模型的应用，解题关键是列出函数解析式．属于基础题．x , x P f x 22.设函数 其中 P ，M 是非空数集．记 f (P ）＝{y |y ＝f (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝f (x )，x ∈M }． x , x M（Ⅰ）若 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)，求 f (P )∪f (M )；（Ⅱ）若 P ∩M ＝∅，且 f (x )是定义在 R 上 增函数，求集合 P ，M ； （Ⅲ）判断命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”的真假，并加以证明．的【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P ＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M ＝{0}；（Ⅲ）真命题，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求出 f (P )＝[0，3]，f (M )＝ (1，+∞)，由此能过求出 f (P )∪f (M )．(Ⅰ)由 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0，得到当 x ＜0 时，f (x )＜0， (﹣∞，0)⊆P ． 同理可证 (0， +∞)⊆P ． 由此能求出 P ，M ．(Ⅰ)假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ．证明 0∈P ∪M ．推导出 f (﹣x )＝﹣x ，且 0 0 f (﹣x )＝﹣ (﹣x )＝x ，由此能证明命题“若 P ∪M ≠R ，则 f (P )∪f (M )≠R ”是真命题． 0 0 0 【详解】(Ⅰ)因为 P ＝[0，3]，M ＝(﹣∞，﹣1)， 所以 f (P )＝[0，3]，f (M )＝(1，+∞)， 所以 f (P )∪f (M )＝[0，+∞)．(Ⅰ)因为 f (x )是定义在 R 上的增函数，且 f (0)＝0， 所以当 x ＜0 时，f (x )＜0，所以(﹣∞，0)⊆P ． 同理可证(0，+∞)⊆P ． 因为 P ∩M ＝∅，所以 P ＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M ＝{0}． (Ⅰ)该命题为真命题．证明如下：假设存在非空数集 P ，M ，且 P ∪M ≠R ，但 f (P )∪f (M )＝R ． 首先证明 0∈P ∪M ．否则，若 0∉P ∪M ，则 0∉P ，且 0∉M ， 则 0∉f (P )，且 0∉f (M )，即 0∉f (P )∪f (M )，这与 f (P )∪f (M )＝R 矛盾． 若∃x ∉P ∪M ，且 x ≠0，则 x ∉P ，且 x ∉M ， 00 0 0所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．所以 x ∉f (P)，且﹣x ∉f (M)． 0 0 因为 f (P)∪f (M)＝R ， 所以﹣x ∈f (P)，且 x ∈f (M)． 0 0 所以﹣x ∈P ，且﹣x ∈M ． 0 0所以 f ( x )＝﹣x ，且 f ( x )＝﹣(﹣x )＝x ， - - 0 0 0 0 0根据函数的定义，必有﹣x ＝x ，即 x ＝0，这与 x ≠0 矛盾． 0 0 0 0 综上，该命题为真命题．【点睛】本题考查函数新定义问题，考查学生的创新意识，考查命题真假的判断与证明，考查并集定义等 基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期期末质量检测高三年级数学试卷（理工类）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】D2.设复数满足，则=A. B. C. 2 D.【答案】B3.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的=A. B. C. D.【答案】A4.在平面直角坐标系中，过三点的圆被轴截得的弦长为A. B. C. D.【答案】A5.将函数的图象向右平移个单位后，图象经过点，则的最小值为A. B. C. D.【答案】B6.设为实数，则是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B8.以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为A. B. C. D.【答案】C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9.已知数列为等差数列，为其前项的和.若，，则_______.【答案】10.已知四边形的顶点A，B，C，D在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则____________.【答案】11.如图，在边长为1的正方形网格中，粗实线表示一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为_______________．【答案】12.过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，分别过作准线的垂线，垂足分别为.若，则__________________.【答案】13.2018年国际象棋奥林匹克团体赛中国男队、女队同时夺冠.国际象棋中骑士的移动规则是沿着3×2格或2×3格的对角移动.在历史上，欧拉、泰勒、哈密尔顿等数学家研究了“骑士巡游”问题：在格的黑白相间的国际象棋棋盘上移动骑士，是否可以让骑士从某方格内出发不重复地走遍棋盘上的每一格？图（一）给出了骑士的一种走法，它从图上标1的方格内出发，依次经过标2,3,4,5,6,,到达标64的方格内，不重复地走遍棋盘上的每一格，又可从标64的方格内直接走回到标1的方格内.如果骑士的出发点在左下角标50的方格内，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到标50的方格内. 若骑士限制在图（二）中的3×4=12格内按规则移动，存在唯一一种给方格标数字的方式，使得骑士从左上角标1的方格内出发，依次不重复经过2,3,4,5,6,,到达右下角标12的方格内，分析图（二）中A 处所标的数应为____.【答案】(1). 能(2).14.如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.【答案】三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.在中，已知，（1）求的长；（2）求边上的中线的长.【答案】（1）（2）解：（1）由，，所以.由正弦定理得，，即.（2）在中，.由余弦定理得，,所以.所以.16.某日A,B,C三个城市18个销售点的小麦价格如下表：（1）甲以B市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格，乙从C市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为，求的分布列及数学期望；（2）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大.请你对A,B,C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）.【答案】（1）分布列见解析，期望为1（2）C,A,B解：（1）B市共有5个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500.所以中位数为2500，所以甲的购买价格为2500.C市共有4个销售点，其小麦价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580，故的可能取值为0，1，2.，，.所以分布列为所以数学期望.（2）三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为：C,A,B17.如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且分别是的中点.（1）求证：平面；（2）当侧面是正方形，且时，（ⅰ）求二面角的大小；（ⅱ）在线段上是否存在点，使得？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）（ⅰ）（ⅱ）点在点处时，有18.已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的极小值；（Ⅱ）当时，讨论的单调性；（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）解：（Ⅰ）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以，的极小值为.（Ⅱ）.当时，由，得或.(ⅰ)若，则.故在上单调递增；（ⅱ）若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.(ⅲ)若，则.故当时，；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.（Ⅲ）（1）当时，，令，得.因为当时，，当时，，所以此时在区间上有且只有一个零点.（2）当时：（ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.（ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，只需讨论的符号：当时，，在区间上有且只有一个零点；当时，，函数在区间上无零点.(ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.综上所述，.19.过椭圆W:的左焦点作直线交椭圆于两点，其中，另一条过的直线交椭圆于两点（不与重合），且点不与点重合.过作轴的垂线分别交直线，于,.（Ⅰ）求点坐标和直线的方程；（Ⅱ）求证：.【答案】（Ⅰ），的方程为（Ⅱ）详见解析（Ⅰ）由题意可得直线的方程为.与椭圆方程联立,由可求.（Ⅱ）当与轴垂直时，两点与,两点重合，由椭圆的对称性，.当不与轴垂直时，设，，的方程为（）.由消去，整理得.则，.由已知，，则直线的方程为，令，得点的纵坐标.把代入得.由已知，，则直线的方程为,令，得点的纵坐标.把代入得.把，代入到中，=.即，即..20.已知是由正整数组成的无穷数列，对任意，满足如下两个条件：①是的倍数；②.（1）若，，写出满足条件的所有的值；（2）求证：当时，；（3）求所有可能取值中的最大值.【答案】（1）（2）见解析（3）85（1）的值可取.（2）由，对于任意的，有.当时，，即，即.则成立.因为是的倍数，所以当时，有成立.若存在使，依以上所证，这样的的个数是有限的，设其中最大的为.则,成立，因为是的倍数，故.由,得.因此当时，.（3）由上问知，因为且是的倍数，所以满足下面的不等式：，. 则,, ,,,,,,,,当时，这个数列符合条件.故所求的最大值为85.。