小学数学奥数基础教程(五年级)--18

教师辅导讲义 学员编：年 级：四年级 课 时 数：3 学员姓名：辅导科目：数学 教师： 授课主题第18讲-重叠问题 授课类型T 同步课堂 P 实战演练 S 归纳总结 教学目标① 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 ② 掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 授课日期及时段T （Textbook-Based ）——同步课堂一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数， 用式子可表示成：A B A B A B =+-，则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积． 图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：AB ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类知识梳理1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去．的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．考点一：两量重叠问题例1、实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？ C BA【解析】如图所示，A 圆表示参加语文兴趣小组的人，B 圆表示参加数学兴趣小组的人，A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人．图中A 圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有281216-=(人)；图中B 圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有291217-=(人)．方法一：由此得到参加语文或数学兴趣小组的有：16121745++=(人)．方法二：根据包含排除法，直接可得：参加语文或数学兴趣小组的人=参加语文兴趣小组的人+参加数学兴趣小组的人-两个小典例分析图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次．2．再排除：A B C A B B C A C ++---重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++-A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．A B【解析】如图，用长方形表示1~100的全部自然数，圆表示1~100中3的倍数，B圆表示1~100中5的倍数，长方形内两圆外的部分表示既不是3的倍数也不是5的倍数的数．由1003331÷=可知，1~100中3的倍数有33个；由100520÷=可知，1~100中5的倍数有20个；由10035610（）可知，1~100既是3的倍数又是5的倍数的数有6个．÷⨯=由包含排除法，3或5的倍数有：3320647+-=(个)．从而不是3的倍数也不是5的倍数的数有1004753-=(个)．考点五：容斥原理中的最值问题例1、将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？【解析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中，最大和为：13×4+（12+11+10+9）×3+（8+7+6+5）×2+（4+3+2+1）=240.P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？AC B【解析】如图，A圆表示学画画的人，B圆表示学钢琴的人，C表示既学钢琴又学画画的人，图中A圆不含阴影的部分表示只学画画的人，有：43376-=(人)，图中B圆不含阴影的部分表示只学钢琴的人，有：583721-=(人)．2、科技活动小组有55人．在一次制作飞机模型和制作舰艇模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：制作好一架飞机模型的同学有40人，制作好一艘舰艇的同学有32人．每个同学都至少完成了一项制作．问两项制作都完成的同学有多少人？AC B【解析】因为403272>，所以必有人两项制作都完成了．+=，7255由于每个同学都至少完成了一项制作，根据包含排除法可知：全组人数4032=+-完成了两项制作的人数，即5572=-完成了两项制作的人数．所以，完成了两项制作的人数为：725517-=(人)．3、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A、B、C、D、E五个小组，若参加A组的有15人，参加B组的人数仅次于A组，参加C组、D组的人数相同，参加E组的人数最少，只有4人．那么，参331，100610．根据包含排除法，能被中任一个整除的数有3320+、如图，三角形纸板、正方形纸板、圆形纸板的面积相等，都等于张板盖住的总面积是张纸板重叠部分的面积是多少平方厘米？5、四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【解析】因423476+=，7663>，所以必有人同时完成了这两项活动．由于每个同学都至少完成了一项活动，根据包含排除法知，4234+-(完成了两项活动的人数)=全组人数，即76-(完成了两项活动的人数)63=．由减法运算法则知，完成两项活动的人数为766313-=(人)．（也可画图分析）1、(第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【解析】方法一：在100人中懂英语或俄语的有：1001090-=(人)．又因为有75人懂英语，所以只懂俄语的有：907515-=(人)．从83位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的8315- 68=(人)就是既懂英语又懂俄语的旅客．方法二：学会把公式进行适当的变换，由包含与排除原理，得：75839068A B A B A B =+-=+-=(人)．(Summary-Embedded)——归纳总结容斥原理的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。

教师姓名 学生姓名年 级小学五年级上课时间学 科数学课题名称有理数的计算一、有理数运算法则 1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0。

绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

（3）一个数同相0加，仍得这个数。

2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘、除法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同相0乘，都得0。

二、五种运算（加、减、乘、除、乘方） ※※※※常考点※※※※ ①确定结果的符号 例(2)2--=±．②去、添括号③运算律的应用：加法和乘法的交换律 、结合律，加法对乘法的分配律 ④求和技巧（等差数列、等比数列、可裂项数列）1、有理数加减运算 有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据，根据有理数加法的运算法则，可以得到加法的运算步骤： ①确定和的符号；②确定是两个加数的绝对值的和或差．有理数的计算有理数加法的运算律：①两个数相加，交换加数的位置，和不变．a b b a +=+（加法交换律）②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．()()a b c a b c ++=++ 有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时，应先化为统一形式． ②带分数可分为整数与分数两部分参与运算．③多个数相加时，若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零． ④若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加． ⑤若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起． ⑥符号相同的数可以先结合在一起．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．()a b a b -=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号）③把减法转化为加法，按照加法运算的步骤进行运算． 有理数加减混合运算的步骤： ①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算，求出结果．注意：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算，即为求几个数的和，这个和称为代数和．为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式．例如：(3)(0.15)(9)(5)(11)30.159511++-+-+++-=--+-，它的含义是正3，负0.15，负9，正5，负11的和．2、有理数乘法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，都得0． 有理数乘法运算律：①两个数相乘，交换因数的位置，积相等． ab ba =（乘法交换律） ②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等． ()abc a bc =（乘法结合律）③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加． ()a b c ab ac +=+（乘法分配律）有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数．先确定符号，再绝对值相乘． ②几个数相乘，如果有一个因数为0，则积为0．③在进行乘法运算时，若有带分数，应先化为假分数，便于约分；若有小数及分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可简化计算．3、有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数．1a b a b ÷=⋅，（）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0．有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值．4、有理数乘方概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数． 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，na 表示有n 个a 相乘．例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯．特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号．“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点： ⑴ 多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”的个数， 例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=．⑵ 有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号，例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=．⑶ 有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正，例如：2(3)9-=，3(3)27-=-．特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n na a -=．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”． 有理数混合运算的运算顺序：⑴ 先乘方，再乘除，最后加减； ⑵ 同级运算，从左到右进行；⑶ 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算．同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级；如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的． 以上运算顺序可以简记为：“从小（括号）到大（括号），从高（级）到低（级），从左到右”．※※※※两数比较大小※※※※ 常用方法：① 代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，绝对值大的反而小． ② 数轴法：数轴右边的数比左边的数大．③ 作差法：0a b a b ->⇔>，0a b a b -=⇔=，0a b a b -<⇔<．④ 作商法：若0a >，0b >，1a a b b >⇔>，1a a b b =⇔=，1a a bb <⇔<．⑤ 取倒法：分子一样，通过比较分母从而判定两数的大小．有理数的计算与大小比较1. 把下列各式写成乘方运算的形式：⑴ 111111444444⨯⨯⨯⨯⨯ ⑵ ()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-⑶()()()()n a ba b a b a b a b +++++个 ⑷ ()()66666-⨯⨯-⨯⨯-【分析】 ⑴ 614⎛⎫ ⎪⎝⎭；⑵ ()5135⨯-；⑶ ()n a b +；⑷ 原式5666666=-⨯⨯⨯⨯=-．注意：底数是分数、负数或代数式时，均用括号括起来．2. 计算：（1）154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）123456...99100+-++-++-+++-（）（）（）（）；（3）1725105（-）-（-）-（-）-; （4）33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 【分析】 （1）154221134545⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 152142134455=+-+（） 365545=- 2=-（2）1(2)3(4)5(6)...99(100)+-++-++-+++-[][][][]1(2)3(4)5(6)7...(98)99(100)=+-++-++-+++-++-149(100)=++-50=-（3）()()()1725105------1725105=-++- 185=- 13=（4）33(-8)38244⎛⎫+++- ⎪⎝⎭ 33(8)83244⎛⎫=-+++- ⎪⎝⎭1=3. ⑴计算：5116( 2.39)( 1.57)(3)(5)(2)(7.61)(32)( 1.57)6767-+-+++-+-+-+-++⑵出租车司机小李某天下午的营运全都是在东西方向的人民大街上进行的，如果规定向东为正， 向西为负，他这天下午行车里程表示如下：（单位/千米）15+，2-，5+，1-，10+，3-，2-，12+，4+，5-，6+，①将最后一名乘客送到目的地时，小李距离下午出车时的出发点多远? ② 如果汽车耗油量为0.5升/千米，这天下午小李共耗油多少升?【分析】 ⑴原式21(10)0138)4633=-++=-+(-． ⑵①(15)(2)(5)(1)(10)(3)(2)(12)(+4)+(5)+(+6)=39++-+++-+++-+-+++- 所以小李距离出发点为39千米；②不管向哪个方向行驶都要耗油的，所以根据题意有： 共走了+15+2++5+1++10+3+2++12++4+5++6 =65-----（千米）的里程，所以耗油为650.532.5⨯=（升）．4. 计算下列各题：⑴()30.250.57045⎛⎫-⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭ ⑵ ()110.0333323⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⑶ 735(1)(36)1246⎡⎤-+---⨯-⎢⎥⎣⎦ ⑷ 111(0.25)(5)( 3.5)()2244-⨯-+⨯-+-⨯⑸ 114()1()16845-⨯⨯-⨯ ⑹ 11171113()71113⨯⨯⨯++ ⑺ 1113.55 2.87()() 6.42333⨯-⨯-+-⨯ ⑻1111136()23469⨯+--- 【分析】 ⑴ 小数结合相乘凑成整数．原式()()()330.250.54700.2527055⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯⨯-=-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()313533530.57052510⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑵ 小数化成分数，互为倒数结合相乘为1．原式31001133100322⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦； ⑶ 原式=()735(36)(36)36(1)(36)21273036121246⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+-⨯---⨯-=-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑷ 原式111111()(5)()( 3.5)()2()(5 3.52)0424442=-⨯---⨯-+-⨯=-⨯-++=；⑸ 原式154()16()2845⎡⎤⎡⎤=-⨯⨯⨯-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；⑹ 原式1113713711311=⨯+⨯+⨯=；⑺ 原式1(3.55 2.87 6.42)03=+-⨯=；⑻ 原式181296411=+---=．5.（1）221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷-（2）()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()() 3331113323326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()22112 450.85 253⎡⎤⎛⎫+--⨯-÷⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【分析】（1）221( 4.5)(0.25) 3.50.25162--÷--÷-=（2）()213 1110.512332⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦（3）()()()() 333111332311326⎛⎫⎛⎫--+---⨯-÷---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）()2211281 450.85 253170⎡⎤⎛⎫+--⨯-÷=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦6.计算：1111111111111 (1)()(1)()2462468248246 +++⨯+++-+++⨯++【分析】设111246x++=，则原式11111(1)()(1)(1)()(1)886824x x x x x x x x=++-++-=++-+-1111111(1)(1)(1)824882468x x x x x x x x x=+++-++=++=+，∵1112x=，原式518=．7.计算：1111111111()(1)(1)()2320052200422005232004+++⨯+++-+++⨯+++【分析】 设1111232004a ++++=，原式111(1)()(1)200520052005a a a a =-+-+-=8. ⑴写出34-，56-，78-的大小顺序．⑵若a b 、是正数，且满足()()12345111111a b =+-，那么a b 、哪个更大？⑶若2000199920012000A =-，1999199820001999B =-，试比较A 与B 的大小．【分析】 ⑴ 357468->->-． 根据负数比较大小的法则，我们可以先比较34，56， 78的大小．法一：做差法两两比较大小，而后得到答案． 法二：做商法两两比较大小，而后得到答案． 法三：以上两种方法在多者比较大小时比较麻烦，捷径：311()44+-=，511()66+-=，711()88+-=，易得：111468>>， 进而得到答案： 357468->->-．法四：取倒数比较法：41133=，61155=，81177=易得：468357>>，所以：357468<<，进而得到答案．小结：从中可以发现规律：对于真分数m n ，有m m kn n k +<+（,,m n k 为正整数）．⑵212345(111)(111)111111(),a b a b ab =+-=+--即得2111()12345111240a b ab ab -=-+=+> 点评：一般同学们会因数分解12345，取特殊值来判断．⑶ 此题若直接算出A 、B 的值，再比较大小很麻烦．若将A 、B 分别拆项：20001999111111120012000200120002000200120002001A ⎛⎫⎛⎫=-=---=-= ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭，同理可得，1999199812000199919992000B =-=⨯，显然，A B <．9. ⑴已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小．⑵设a ，b ，c 均为正数，若c a b a b b c c a <<+++，比较a ，b ，c 的大小．⑶比较22222001200220002003++，22222002200320012004++和22222003200420022005++的大小．⑷设123,,,a a a …，2000a 都是有理数，令121999()M a a a =++⋯+23(a a ++⋯2000)a +，122000231999()()N a a a a a a =++⋯+++⋯，试比较M 、N 的大小．【分析】 ⑴ 因为3143112481(3)3a ===，4134112327(3)3b ===，612611229(3)3c ===，所以a b c >>．⑵ 因为a ，b ，c 均为正数，c a b a b b c c a <<+++，a b b c c ac a b +++>>，各加1得 a b c a b c a b cc a b ++++++>>，所以111c a b >>，所以c a b <<． ⑶ 22222222222220012002200020032001200241200020032000200320002003++---==+++ 22222222222220022003200120042002200341200120042001200420012004++---==+++显然22222001200420002003+>+，则222222222001200220022003112000200320012004++->-++ 即有2222222220012002200220032000200320012004++<++，同理有2222222220022003200320042001200420022005++<++ 即222222222222200120022002200320032004200020032001200420022005+++<<+++．⑷ 设121999x a a a =++⋯，232000y a a a =++⋯，则220002000[()]M N xy xy x y a a -=----2220002000120002000200012000()()x y a a a a a a a a =-+=-+=①若12000a a 0>，则M >N ； ②若12000a a 0=，则M =N ； ③若12000a a 0<，则M <N ．10. ⑴设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小．⑵如果10a -<<，那么，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1a -连接起来．⑶已知1,0,1b a ab a b <<<+<-用“＜”连接11,,,a b a a b +． 【分析】 ⑴∵50510103(3)243a ===，40410104(4)256b ===，30310105(5)125c ===，∴c a b <<．⑵可以理论推导，也可以用设数法．2211a a a a aa <<-<<-<-⑶由条件0ab <知a ，b 异号；再由1b a <<知a 是小于1的正数，b 是负数；结合1a b +<-则知道b 小于1-，因此1b 是大于1-的负数．综合以上的分析，我们知道01a <<，1b <-，11a >，11a a b -<+<因此有11b a a b a <+<<．1. (1) 若22(1)(1)0a b -++=，则20042005a b += ．第11页(2) 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156【分析】 (1) 由题意得2(1)0a -≥，2(1)0b +≥，22(1)(1)0a b -++=，∴1a =，1b =-， ∴200420050ab +=．(2) B ．2. 计算：⑴ 1137(9)32-+- ⑵ 11.254-+【分析】 ⑴1137(9)32-+-11(37)(9)()()32=-+-+-+-5466=-；⑵ 1151.25()1444-+=-+=．3. ⑴ 231(4)()324+÷⨯÷- ⑵ 71()2(3)93-÷⨯+⑶ 11111()()234560-+-÷- ⑷ 44192()77÷- ⑸ 19(7)128(7)33(7)÷--÷-+÷- ⑹5315()( 1.25)(3) 1.4()24423--÷÷-⨯-÷⨯-【分析】 在进行有理数混合运算时，常常将小数化为假分数方便计算．（1）36-；（2）1-；（3）13-；（4）337-；（5）767；（6）2527-．4. 计算下列各题：（1）21293()12323÷+-⨯+（2）221( 4.5)(0.25) 3.50.252--÷--÷-（3）23220072006(2)100(2)(5)(0.25)4-+÷-÷-+⨯（4）()211110.51233⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦第12页【分析】 （1）21293()1231023÷+-⨯+= （2）221( 4.5)(0.25) 3.50.25162--÷--÷-=（3）2322007200615(2)100(2)(5)(0.25)44-+÷-÷-+⨯=（4）()2131110.512332⎡⎤⎛⎫⎡⎤----⨯⨯--=-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦5. （1）如果10a -<<，那么，请用“<”将a ，a -，2a ，2a -，1a ，1a -连接起来．（2）已知1,0,1b a ab a b <<<+<-用“＜”连接11,,,a b a a b +． 【分析】 （1）可以理论推导，也可以用设数法．2211a a a a aa <<-<<-<-（2）由条件0ab <知a ，b 异号；再由1b a <<知a 是小于1的正数，b 是负数；结合1a b +<- 则知道b 小于1-，因此1b 是大于1-的负数．综合以上的分析，我们知道01a <<，1b <-，11a >，11a a b -<+<因此有11b a a b a <+<<．。

小学数学奥数基础教程(五年级)本教程共30讲本教程共30讲最大最小同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。

例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：15=1+14，1×14=14；15=2+13，2×13=26；15=3+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。

特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。

例2比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。

直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。

仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a＞b。

例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。

长方形的面积等于长乘以宽。

因为长+宽=36÷2=18（米），由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米2）。

例3说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

第18讲分解质因数教学目标理解质因数的概念；利用我们分解质因数来解决一些较简单的问题；通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。

知识梳理一、分解质因数一个自然数的因数中，为质数的因数叫做这个数的质因数。

把一个合数，用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

例如:24=2×2×2×3，75=3×5×5。

我们数学课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。

其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。

二、解题策略许多题目，特别是一些竞赛题，初看起来很玄妙，但它们都与乘积有关，对于这类题目，我们可以用分解质因数的方法求解。

因此，掌握并灵活应用分解质因数的知识，能解答许多一般方法不能解答的与积有关的应用题典例分析考点一:简单的分解质因数例1、把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。

一共有多少种不同的分法？【解析】先把18分解质因数:18=2×3×3，可以看出:18的约数是1、2、3、6、9、18，除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。

例2、有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗。

共有多少种分法？【解析】先把168分解质因数，168=2×2×2×3×7，由于每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以，每份有2×2×3=12颗，2×7=14颗，3×7=21颗，2×2×2×3=24颗，2×3×7=42颗，共有5种分法。

例3、将下面八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。

2、5、14、24、27、55、56、99【解析】14=2×7 55=5×1124=2×2×2×3 56=2×2×2×727=3×3×3 99=3×3×11可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11。

第三讲 数论之数的整除性数的整除性是数论的基础内容，学生能否熟练掌握该内容对以后进一步深入学习数论至关重要. 本讲需要教授的内容有：1、掌握并熟练运用能被2、3、4、5、6、9、11等整除的自然数性质，这类知识在（Ⅰ、Ⅱ类）题中运用很多.2、训练对自然数的快速分解，记住并会运用几个特殊数（111、1001等）的分解情况对于解决（Ⅲ类）有很大的帮助.3、精英班、竞赛班的学生还应该掌握分式的化简方法.数论研究的是奇数、偶数、素数、合数，这些最简单的数——整数及其内部关系，但是从这些简单的数中诞生了“费马大定理”、“哥德巴赫猜想”和“朗兰兹纲领”这样的难题，它们吸引数学家们花费数十年、甚至整世纪努力研究，本讲我们将学习一些最基本的数论知识.想挑战吗在下面的方框中各填一个数字，使六位数 11□□11能被17和19整除，那么方框中的两位数是 .答案：17×19=323，而110011÷323余数为191，若□□00+191被323整除，商的个位为7，从而十位是1，□□00+191=5491，方框中的数为53.你还记得吗？教学目标①一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；……②一个数各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；③如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.④如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.以上规律仅在十进制数中成立.⑤部分特殊数的分解：111=3×37；1001=7×11×13；11111=41×271；10001=73×137；1995=3×5×7×19；1998=2×3×3×3×37；2007=3×3×223；2008=2×2×2×251；2007+2008=4015=5×11×73. 10101=3×7×13×37.Ⅰ整除与数字谜题【例1】（★★★）要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最小，那么A、B、C、D分别是多少？分析：因为36=4×9，所以D6能被4整除，从而D只可能是1，3，5，7，9.要使商最小，A、B、C应尽可能小，先取A=0，B=1，又2+6+6+A+B+C+D=14+A+B+C+D=15+C+D，所以15+C+D是9的倍数，C=3，D=9时，取得最小值.[拓展]要使26ABCD6能被36整除，而且所得的商最大，那么A、B、C、D分别是多少？分析：先取A=9，则B=8，31+C+D是9的倍数，所以B+C=5或14，由于，B+C≤7+6=13，所以B+C=5，B=5，C=0时，取得最大值.【例2】（★★★祖冲之杯小学数学邀请赛）一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x，则20x-1=153a，a是整数，即20x=153a＋1，因为20x的末位数一定是0，所以a最小取3，从而x最小是23.[巩固](这一类型的题虽然也被分入Ⅰ类，但非常特殊，应当注意).一个数的20倍加7能被59整除，这样的自然数最小的是多少？分析：20x=59a-7，59a个位是7，所以a的个位是3，a=3时，x不能取整数，a=13时，x=38.【例3】（★★★★）求最小的自然数，它的各位数字之和等于56，它的末两位数是56，它本身还能被56所整除．分析：所求的数写成100a＋56的形式．由于100a＋56能被56整除，所以a能被14整除，所以a应是14的倍数．而且a的数字和等于56－5－6=45．具有数字和45的最小偶数是199998，但这个数不能被7整除．接下来数字和为45的偶数是289998和298998，但前者不能被7除尽，后者能被7整除，所以本题的答数就是29899856．[前铺]：求最小的偶数，它的各位数数字之和为40.分析：各位数数字之和为40的数，至少有5位，万位上的数至少为4，否则，各位数数字之和最多为3+9+9+9+9=39，当万位数上的数为4是，这个数只能是49999，不是偶数，所以最小的偶数只能是59998.[拓展]在五位数中，能被11整除且各位数字和等于43，这样的数有多少？分析：因为5×8=40，5个数字的和等于43时，其中至少有3个9，并且只有以下两种情况.(1)数字中4个9、1个7，则奇数位数字和减去偶数位数字和只能是3×9-（9+7）=11，这样的书有99979和97999，(2)数字中3个9，一个7，则奇数位数字和减去偶数位数字的和只可能是3×9-2×8=11，这样的数有98989.【例4】（★★★★）在1，2，3，……，1995，这1995个数中找出所有满足下面条件的数a来：（1995+a）能整除1995×a.分析：1995a1995+a⨯是自然数，所以1995a199519951995-=1995+a1995+a⨯⨯也是自然数，即1995+a是1995×1995的约数.因为：1995×1995=32×52×72×192，，它在1995与2×1995之间的约数有32×192=3249，7×192=2527，3×72×19=2793，52×7×19=3325，32×5×72=2205，3×52×72=3675，于是a的值有6个，即3249-1995=1254，2527-1995=532，2793-1995=798，3325-1995=1330，2205-1995=210，3675-1995=1680.Ⅱ整除与数字组合【例5】目前日期的流行记法是采用6位数字，即将表示年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示记载最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份（遇有月或日是个位数，前面加一个0.例如2008年8月8日记作080808），那么在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有多少个？分析：45=9×5，所以这个六位数只能是07***5或07***0，其中千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，对于07***5，千位、百位、十位上数字和为6或15、24，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为15、24，如果为6，那么有070605、070515、070425三种情况；对于07***0，千位、百位、十位上数字和为2或11或20，由于千位只能是0或1，十位上只能是0、1、2，所以三位数字之和不可能为20，如果为11，那么只有070920、070830两种情况.如果三位数字之和为2，那么只有070110、071010两种情况，所以在今年（07年）365个日期中能被45整除的日期有7个.称为“十全数”，例如，3 785 942 160就是一个十全数．现已知一个十全数能被1，2，3， (18)除，并且它的前四位数是4876，那么这个十全数是．分析：这个十全数能被10整除，个位数必为0；能被4整除，十位数必为偶数，末两位只能是20．设这个十全数为4876abcd20．由于它能被11整除，必有b＋d-(a＋c)=10，所以b、d是9和5；a、c是3和1，这个十全数只能是4 876 391 520，4 876 351 920，4 876 193 520，4 876 153 920中的一个．经检验，它是4 876 391 520．【例7】（★★俄罗斯数学奥林匹克）为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3．在密码中2的数目比3多，而且密码能被3或4所整除．试求出这个密码．分析：密码中的2比3要多，所以2可能有4、5、6或7个．当2有4个时，密码的数字和为17；当2有5个时，数字和为16；当2有6个时，数字和为15；当2有7个时，数字和为14．我们知道如果一个数能被3整除，那么它的数字和也能被3整除，所以2应当有6个，这样3就只能有1个．另外，一个数能被4整除，那么它的末两位数也应当能被4整除，所以末两位数必定是为32．所以，密码是2222232．[拓展] 为了打开银箱，需要先输入密码，密码由7个数字组成，它们不是1、2就是3．在密码中1的数目比2多，2的数目比3多，而且密码能被3或16所整除．试问密码是多少？分析：密码由7为数字组成，如果有一个3的话，那么至少有二个2，如果有三个2，那么1至少有四个，总共至少有1+3+4=8个数字，所以2只有二个，1有4个，如此，各数位数字和为4+4+3=11，不是3的倍数，所以密码中只有1、2，由1、2组成的四位数中只有2112能被16整除（从个位向高数位推得），所以密码的后四位是2112，所以前三位数字和是3的倍数，只有111和222（2多于1，排除）满足条件，所以这个密码是1112112.【例8】（★★★）用1，9，8，8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数?分析：现在要求被11除余8，我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除了．所以我们得到“一个数被11除余8”的判定法则：将偶位数字相加得一个和数，再将奇位数字相加再加3，得另一个和数，如果这两个和数之差能被¨除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是．要把1，9，8，8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两组，每组2个数字．其中一组作为千位和十位数，它们的和记作A；另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作B．我们要适当分组，使得能被11整除．现在只有下面4种分组法：偶位奇位(1) 1，8 9，8(2) 1，9 8，8(3) 9，8 1，8(4) 8，8 1，9经过验证，第(1)种分组法满足前面的要求：A=1＋8=9，B=9＋8＋3=20，B－A=11能被11除尽．但其余三种分组都不满足要求．根据判定法则还可以知道，如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两个数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换得到的新数被11除也余8．于是，上面第(1)分组中，1和8任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位数．这样共有4种可能的排法：1988，1889，8918，8819．[拓展] 用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成多少个被11除余5的六位数？分析：1+2+3+4+5+6=21，六位数被11除余5的话，奇数位数字和减去偶数位的数字和再减去5能被11整除，21只能分拆成13和8两个差为5的数字，所以组成的六位数的奇数位的和为13，偶数位的数字和为8，1到6这6个数字能组成13的只有6+4+3和6+5+2两种.对于其中任意一种，例如奇数位数字分别为6、4、3，偶数位数字分别为1、2、5，这种情况下的六位数一共有3×3=9种，同理另一种情况也有9种，所以用1、2、3、4、5、6这6个数字能组成18个被11除余5的六位数.【例9】（★★★★）已知一个6位数abcdef ，将它的前三位整体移到末尾变成defabc ，然后将两个六位数相加，已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①1460470；②460459；③1460459；④1460472；⑤1460466，这个和到底是多少？分析：这个和可以表示为：（a+d ）×100100+（b+e ）×10010+（c+f ）×1001，所以这个和是1001的倍数，所以这个和是7、11、13的倍数[前铺]一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?分析：设这个4位数是abcd ，则新的4位数是bcda .两个数的和为abcd +bcda =1001×a+1100×b+110×c+11×d,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867.Ⅲ 多位数整除【例10】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面这个199位整数：19910010010011001位被13除，余数是多少？分析：100100能被13整除，每六位能被13整除，所以余数是1[拓展]199100000位被13除余多少？分析：19910010010011001位-199100000位=19610010011001位显而易见19610010011001位也是1001的倍数，所以也是13的倍数，所以199100000位与19910010010011001位被13除所得的余数相同,余数是1.[拓展]（★★★）49100200300470080090080074003002001共位…………被7除的余数为多少？分析：原式=1001001001001001001001001×1001001001001001001001001，由【例10】的方法1001001001001001001001001被7除余1，所以49100200300470080090080074003002001共位…………被7除的余数为1.【例11】200820082008200808n 个能被99整除，那么，n 的最小值为多少？分析：由于99=9×11，所以200820082008200808n 个能被11和9整除，200820082008200808n 个中奇位数减偶位数的差为（8-2）n+8=6n+8，当n=6、17、28……时，（3n+1）是11的倍数，所以n 的最小值是6.200820082008200808n 个各位数字之和为（2+8）×n+8=10n+8，所以当n=1、10、19、28……等数时，能被9整除，所以n 的最小值为28.[前铺]（★★全国小学数学奥林匹克）如果200520052005200501n 个能被11整除，那么n 的最小值是 .分析：200520052005200501n 个中奇数位减偶数位的差为（5－2）n ＋1=3n ＋1,当n=7时，(3n ＋1)是11的倍数，所以n 的最小值是7.【例12】（★★★★）应当在如下的问号“?”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数可被7整除?(其中数码6和5各重复了50次)666...66?555 (55)分析：可在“?”的位置上填上2或9．事实上，111111(6个1)可被7整除，因此如果将我们的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下66?55．从中减去63035，并除以10，即得3?2．此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？上填2或9.[拓展]应当在如下的问号“？”的位置上填上哪个数码，才能使得所得的整数可被41整除？（其中数码2和6都重复了36次）222...22?66 (666)分析：11111=41×271，所以我们可以将数的头和尾各去掉35个数码，并不改变对41的整除性，于是还剩下2?6，在200到300之间只有246能被41整除，并且个位数字为6.所以“？”上应填入4.[拓展] 应当在如下的“□□”的位置上填上哪两个数码，才能使得所得的整数可被63整除？（其中数码2和7都重复了25次.222...22□□77 (777)分析：63=7×9，所以中间□□两个数的和能被9整除，又111111(6个1)可被7整除，所以去掉首尾24个数字后，剩下的2□□7，也能被7整除，2007=7×286+5，所以□□5也能被7整除，□□5-35能被7整除，所以两位数□□被7除余3，在两位数中被7除余3，且能被9整除的只有45. □□中所填的数是45.数的整除性是数论中最基本的内容，在数论问题中经常被用到，而奇偶性质是数的整除性中的特殊情形，有关奇偶数性质的运用将在下一讲中详细教授.1、（★例1）六位数20□□08能被49整除，□□中的数是 .分析：方法一：20□□08被49除商4081余39，所以□□00+39能被49整除，□□39除以49应当商至少为11，49×11=539，所以□□中的数应该为05，当然5+49=54也成立，□□中的数可以为05也可以输542、（★★★例1）某个7位数1993□□□能够同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数依次是什么？分析：2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520. 1993000÷2520=790 (2200)2520-2200=320，所以最后两位数是3、2、0.3、（★★★例2）一个数的40倍减1能被97整除，这样的自然数中最小的是 .分析：设这样的数为x ，则40x-1=97a ，a 是整数，即40x=97a ＋1，因为40x 的末位数一定是0，40x-1的末尾数一定是9，所以a 最小取7，从而x 最小是17.4、（★★★例12）已知39393939……中39一共重复了20次.那么这个数被37除得的余数是多少？ 分析：10101=3×7×13×37，所以393939是37的倍数.所以这个40位数裁掉前36位数后剩下的四位数与原来的数同余，所以只要求出3939被37除后的余数.3939=37×106+17,所以余数为17. 练习三专题展望5、（★★★★例4）在1、2、3、4……2007这2007个数中有多少个自然数a能使2008+a能被2007-a 整除？分析：如果2008+a能被2007-a整除，那么2008+a2007-a为自然数，2008+a2008200712007-a2007a++=-也是自然数，4015能被（2007-a）整除，所以4015=5×11×73，4015的约数中小于2007的数有1、5、11、73、55、365、803，所以当a取2006、2002、1996、1934、1952、1642、1204能使2008+a能被2007-a整除.时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系.可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的.原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了.譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的.因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数.时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍.以1/60作为单位，就正好具有这个性质.譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示.时间和角度都用分、秒作小数单位.这个小数的进位制在表示有些数字时很方便.例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数.这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天.数学知识。

第一课：整数运算整数是数学中的一种数的形式，包括自然数、零和负整数。

整数运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法：整数与整数相加，符号相同则相加，符号不同则相减。

例子：2+3=5-2+(-3)=-5-2+3=1减法：整数与整数相减，转化为加法来计算。

例子：2-3=2+(-3)=-1-2-(-3)=-2+3=1-2-3=-5乘法：整数与整数相乘，符号相同则结果为正数，符号不同则结果为负数。

例子：2×3=6-2×(-3)=6-2×3=-6除法：整数与整数相除，将除法转化为乘法计算。

例子：6÷2=6×(1/2)=3-6÷(-2)=6×(1/2)=3-6÷2=-6×(1/2)=-3第二课：小数运算小数是指整数之间的数，包括有限小数和无限小数。

小数运算包括加法、减法、乘法和除法。

加法：小数与小数相加，先对齐小数点，然后按照整数运算的规则进行计算。

例子：1.23+4.56=5.79-1.23+(-4.56)=-5.79-1.23+4.56=3.33减法：小数与小数相减，转化为加法运算再计算。

例子：1.23-4.56=1.23+(-4.56)=-3.33-1.23-(-4.56)=-1.23+4.56=3.33-1.23-4.56=-1.23+(-4.56)=-5.79乘法：小数与小数相乘，先去掉小数点，然后按照整数运算的规则进行计算，最后加上小数点。

例子：1.2×3.4=12.28-1.2×(-3.4)=12.28-1.2×3.4=-4.08除法：小数与小数相除，先将除数与被除数转化为整数，再进行整数运算，最后根据小数点的位置确定结果的小数位数。

例子：4.2÷1.3≈3.23-4.2÷(-1.3)≈3.23-4.2÷1.3≈-3.23第三课：分数运算分数是指整数与整数之间的数的表示形式，包括真分数、假分数和整数。

第十八讲应用题拓展1．水果店运来了西瓜和哈密瓜共234个．如果西瓜和哈密瓜的个数比为5：4，那么水果店运来西瓜和哈密瓜各多少个？2．有429名小学生参加数学冬令营，其中男生和女生的人数比为7：6．后来又有一些女生报名参赛，这时男生和女生的人数比变为11：10.请问：后来报名的女生有多少人？3．松鼠一家三口出门采摘松果，松鼠爸爸采得最快，他每采摘7颗松果，松鼠妈妈只能采摘6颗；松鼠宝宝采得最慢，他每采摘2颗，松鼠妈妈已经采摘了3颗．一天下来，他们一共采摘了340颗松果，试问：其中有多少颗是松鼠宝宝采的？4．育才小学五年级学生分成三批去参观博物馆，第一批与第二批的人数比是5：4，第二批与第三批的人数比是3：2．已知第一批的人数比第二、三批的总和少55人．请问：育才小学五年级一共有多少人？5．小明将100枚棋子分成三堆，已知第一堆比第二堆的2倍还多，第二堆比第三堆的2倍也要多，请问：第三堆最多有多少枚棋子？6．博雅小学五年级有200人，在一次数学竞赛中，参赛人数的18获得优胜奖，413获得鼓励奖，其余的人没有得奖．试问：该校五年级学生中有多少人没有参加这次数学竞赛？7．甲、乙、丙三堆棋子总共有100多枚，先从甲堆分一些棋子给另外两堆，使得乙、丙两堆的棋子数增加l倍；接着，从乙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、丙两堆各增加2倍；最后，从丙堆分一些棋子给另外两堆，使得甲、乙两堆各增加3倍，此时甲、乙、丙三堆棋子数的比是1：2：3．请问：原来三堆棋子各有多少枚？8．今年，爷爷的年龄是小明年龄的6倍，若干年后，爷爷的年龄将是小明年龄的5倍．再过若干年，爷爷的年龄将是小明年龄的4倍．求爷爷今年的年龄．9．甲、乙、丙三人各有一些书．甲、乙共有54本，乙、丙共有79本，已知三人中书最多的那个人书的数量是书最少的人的2倍．请问：乙有多少本书？10.龙泉乡水电站按户收取电费，具体规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角钱收费，这个月小宇家比小达家多交了9角6分钱的电费（用电按整度计算）．问：小宇家和小达家各交了多少电费？1．红旗小学共有师生1081人，其中老师与学生的人数之比为2:45，男生与女生的人数之比为5：4．请问：红旗小学的老师、男生和女生各有多少人？2．小悦去商店买了4斤水果糖、2斤奶糖和3斤巧克力糖．如果每块糖果的重量都相同，奶糖和巧克力糖一共有160块，那么水果糖有多少块？3．万泉小学的师生在植树节栽种柳树、杨树和槐树共860棵，其中柳树和杨树棵数的比为3：4，杨树与槐树棵数的比为5：2．请问：这三种树各栽种了多少棵？4．某厂一月份与二月份生产零件的个数比为4：5．后来改进生产技术，三月份生产的零件个数与前两个月的总产量之比为4:3，且三月份比二月份多生产了1610个零件．请问：这家工厂第一季度共生产多少个零件？5．有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人，如果把书全都分给第一组，一部分小朋友每人能拿到5本，其他小朋友每人能拿到4本；如果把书全都分给第二组，一部分小朋友每人能拿到4本，其他小朋友每人能拿到3本，问：两组一共有多少人？6．若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加数学竞赛．已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师．问：在这些人中，爸爸有多少人？7．志远中学有三个年级，共900多名学生，其中初一的学生数恰好占学生总数的38，初三的学生恰好占学生总数的415．请问：志远中学初二有多少名学生？8．把100个人分成四队，第一队人数是第二队人数的113倍，是第三队人数的114倍，求第四队的人数．9．甲、乙、丙三人各有一些棋子，其中棋子数最多的人比最少的人多出60多枚棋子，甲先拿出自己的一半平分给乙、丙，然后乙拿出自己的13平分给甲、丙，最后丙拿出自己的14平分给甲、乙．这时三人的棋子数正好相同．请问：三个人一共有多少枚棋子？10.有两堆石头，如果从第一堆中取出20块石头放进第二堆，那么第二堆的石头是第一堆的2倍；如果从第二堆中取出一些石头放进第一堆，那么第一堆的石头是第二堆的6倍．问：第一堆中最少可能有多少块石头？11.北京市出租车的起步价是3公里以内10元，3公里后按每公里2元计费，当里程超过15公里后，超出部分按每公里3元计费．小悦、冬冬两人都从游乐园分别坐出租车回家，小悦比冬冬多花了23元．请问：小悦家距离游乐园最远是多少公里？（不足1公里按1公里计，假定两人回家一路上没有红绿灯，也没有堵车）12.团体游园购买公园门票的票价如图18-1所示，图18-1今有甲、乙两个旅游团，如果分别购票，两团总计应付门票费1142元．如果合在一起作为一个团体购票，应付门票费864元，问：这两个旅游团各有多少人？1．植物园里菊花与月季花的盆数之比是3:4，兰花与郁金香的盆数之比是5：6，菊花与郁金香的盆数之比是4：5．如果月季比兰花多50多盆，那么菊花比郁金香少多少盆？2．甲、乙、丙、丁包揽了班里期中考试的前四名．甲、乙的得分之和是108分，乙、丙的得分之和是149分，丙、丁的得分之和是121分，并且知道其中第一名的得分是第三名的2倍，那么第二名的得分是多少？3．有四人的体重都是整千克数，他们两两合称体重，共称了五次，称得的千克数分别是99、1 13、125、130、144.其中有两人没有一起称过，那么这两个人中较重的那个人的体重是多少千克？4．有若干盒卡片，每盒中卡片数一样多．把这些卡片分给一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7张；如果每人分8张卡片，则还缺少5张，现在把所有卡片都分完，每人分到60张，而且还多出4张．问：共有多少个小朋友？5．某次考试共有100道题，每题一分，做错不扣分，甲、乙、丙三位同学分别得90分、70分、50分．其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题目叫作“较难题”，没人做出来的题目叫作“特难题”，且“较难题”是“特难题”的3倍．又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”，请问：“特难题”共有多少道？6．中关村一小、中关村二小两校春游的人数都是10的整数倍，出行时两校人员不合乘一辆车，且每辆车尽量坐满，现在知道，若两校都租用有14个座位的旅游车，则两校共需租用这种车72辆；若两校都租用19个座位的旅游车，则中关村二小要比中关村一小多租用这种车7辆．问两校参加这次春游的人数各是多少？7．工地要用每根长7.4米的原材料做100套钢筋，每套3根，长度分别为2.9米、1．5米、2.1米．请问：至少要用多少根原材料？8．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？。

五年级数学奥数精品讲义1-34讲第一讲消去问题（一）第二讲消去问题（二）第三讲一般应用题第四讲盈亏问题（一）第五讲盈亏问题（二）第六讲流水问题第七讲等差数列第八讲找规律能力测试（一）第九讲加法原理第十讲乘法法原理第十一讲周期问题（一）第十二讲周期问题（二）第十三讲巧算（一）第十四讲巧算（二）第十五讲数阵问题（一）第十六讲数阵问题（二）能力测试（二）第十七讲平面图形的计算（一）第十八讲平面图形的计算（二）第十九讲列方程解应用题（一）第二十讲列方程解应用题（二）第二十一讲行程问题（一）第二十二讲行程问题（二）第二十三讲行程问题（三）第二十四讲行程问题（四）能力测试（三）第二十五讲平均数问题（一）第二十六讲平均数问题（二）第二十七讲长方体和正方体（一）第二十八讲长方体和正方体（二）第二十九讲数的整除特征第三十讲奇偶性问题第三十一讲最大公约数和最小公倍数第三十二讲分解质因数（一）第三十三讲分解质因数（二）第三十四讲牛顿问题能力测试（四）第一讲消去问题（一）在有些应用题里；给出了两个或者两个以上的未知数量间的关系；要求出这些未知数的数量.我们在解题时；可以通过比较条件；分析对应的未知数量变化的情况；想办法消去其中的一个未知量；从而把一道数量关系较复杂的题目变成比较简单的题目解答出来.这样的解题方法；我们通常把它叫做“消去法”.例题与方法在学习例题前；我们先进行一些基本数量关系的练习；为用消去法解题作好准备.(1)买1个皮球和1个足球共用去40元；买同样的5个皮球和5个足球一共用去多少元？(2)3袋子、大米和3袋面粉共重225、千克；1袋大米和1袋面粉共重多少千克？（3）6行桃树和6行梨树一共120棵；照这样子计算8行桃树和8行梨树一共有多少棵？（4）学校买了4个水瓶和25个茶杯；一共用去172元；每个水瓶18元；每个茶杯多少元？例1 学校第一次买了3个水瓶和20个茶杯；共用去134元；第二次又买了同样的3个水瓶和16个差杯；共用去118元.水瓶和茶杯的单价各是多少元？例2 买3个篮球和5个足球共、用去480元；买同样的6个篮球和3个足球共用去519元.篮球和足球的单价各是多少元？练习与思考１、 1袋黄豆和1袋绿豆共重50千克；同样的7袋黄豆和7袋绿豆共重（）千克.２、买5条毛巾和5条枕巾共用去90元；买1条毛巾和1条枕巾要（）元.３、买4本字典和4本笔记本共、用去了68元；买同样的9本字典和9本笔记本一共要（）元.４、9筐苹果和9筐梨共重495千克；找这样计算；2筐苹果和2筐梨共重（）千克.５、妈妈买了５米画布和３米白布；一共用去１０２元.花布每米１５元；白布每米多少元？６、果园里有１４行桃树和２０行梨树；桃树和梨树一共有４４０棵.每行梨树１５棵；每行桃树多少棵？８、食堂第一次运来６袋大米和４袋面粉；一共重400千克；第二次又运来9袋大米和4袋面粉；一共重550千克.每袋大米和每袋面粉各重多少千克？9、3豹味精和7包糖共重3800克；同样的3包味精和14包糖共重7300克.每包味精和每包糖各重多少克？10、育新小学买了8个足球和12个篮球；一共用去了984元；青山小学买了同样的16个足球和10个篮球；一共用去1240元.每个足球和每个篮球各多少元？11、买15张桌子和25把椅子共用去3050元；买同样的 5张桌子和20张椅子；需要1600元.买一张桌子和一把椅子需要多少元？12、3头牛和6只羊一天共吃草93千克；6头牛和5只羊一天共吃草130千克.每头牛每天比每只羊多吃多少千克？第二讲消去问题（二）例1、7袋大米和3袋面粉共重425千克同样的3袋大米和7袋面粉共重325千克.求每袋大米和每袋面粉的重量.3..三头牛和8只羊每天共吃青草93千克；5头牛和15只羊每天吃青草165千克.一头牛和一只羊每天各吃青草多少千克？练习与思考1.3个皮球和5个足球共245元；同样的6个皮和10个足球共（）元.2.5盒铅笔和9盒钢笔共190支；同样的2盒铅笔和6盒钢笔共100支.3盒铅笔和3盒钢笔共（）支；1盒铅笔和1支钢笔共（）支.3.育才小学体育组第一次买了4个篮球和3个排球；共用去了141元；第二次买了5个篮球和4个排球；共用去180元.每个篮球和每个排球各多少元？4.3筐苹果和5筐梨共重138千克；5筐同样的苹果和3筐同样的共重134千克.；每筐苹果和每筐梨各重多少千克？5.某食堂第一次运进大米5袋；面粉7袋；共重1350千克；第二次运进大米3袋；面粉5袋；共重850千克.一袋大米和一袋面粉各重多少千克？6.3件上衣和7条裤子共430元；同样的7件上衣和3条裤子共470元.每件上衣和每条棵子各多少元？7.2千克水果糖和5千克饼干共64元；同样的3千克水果糖和4千克饼干共68元.每千克水果糖和每千克饼干各多少元？8.5包科技书和7包故事书共620本；6包科技书和3包故事书共420本.每包科技书比每包故事书少多少本？9.3个水瓶和8个茶杯共92元；5个水瓶和6个茶杯共102元.每个水瓶和每个茶杯各多少元？10.甲有5盒糖；乙有4盒糕共值44元.如果甲、乙两人对换一盒；则每人所有物品的价值相等.一盒糖、一盒糕各值多少元？第三讲一般应用题在小学里；通常把应用题分为“一般应用题”和“典型应用题|”两大类.“典型应用题”有基本的数量关系、解题模式；较复杂的问题可以通过“转化”；向基本的问题靠拢.我们已经学过的“和差问题”、和“倍差问题”等等；都是“典型应用题”.“一般应用题|”没有各顶的数量关系；也没有可以以来的解题模式.解题时要具体问题具体分析；在认真审题；理解题意的基础上；理清一知条件与所求问题之间的数量关系；从而确定解题的方法.对于比较复杂的问题；可以借助线段图、示意图、直观演示等手段帮助分析.例题与方法例 1、把一条大鱼分成鱼头、鱼身、鱼尾三部分；鱼尾重4千克；鱼头的重量等于鱼尾的重量加身一般的重量；而鱼身体、的重量等于鱼头的重量加上鱼尾的重量.这条鱼重多少千克？例2、一所小学的五年级有四个班；其中五（1）班和五（2）班共有81人；五（2）班和五（3）班共有83人五（3）班和五（4）班共有86人；五（1）班比五（4）班多2人.这所学校五年级四个班各有多少人？例 3、甲、乙两位渔夫在和边掉鱼；甲钓了5条；乙钓了3条；吃鱼时；来了一位客人和甲、乙平均分吃这条鱼.吃完后来客付了8角钱作为餐费.问：甲、乙两为渔夫各应得这8角钱中的几角？例 4、一个工地用两台挖土机挖土；小挖土机工作6小时；大挖土机工作8小时；一共挖土312方.已知小挖土机5小时的挖土量等于大挖土机2小时的完土量；两种挖土机每小时各挖土多少方？例 5、甲、乙、丙三人用同样多的钱合买西瓜.分西瓜时；甲和丙都比乙多拿西瓜7.5千克.结果甲和丙各给乙1.5元钱.每千克西瓜多少元|？例 6、小红有一个储蓄筒；存放的都是硬币；其中2分币比5分币多22个.而按钱数算；5分币比2分币多4角.已知这些硬币中有36个1分币.问：小红的储蓄筒里共存了多少钱？练习与思考（第1～4题13分；其余每题12分；共100分.）1.有一段木头；不知它的长度.用一根绳子俩量它；绳子多15米；如果将绳子对折以后再来量；又不够04米.问：这段绳子长多少米？2.甲、乙两人拿出同样多的钱合买一段花布；原约定各拿花布同样多.结果甲拿了6米；乙拿了14米.这样；乙就要给甲12元钱.每米花布的单价是多少元？3.甲、乙丙合三人各出同样多的钱合买苹果若干千克.分苹果时；甲和丙都比乙多拿7.8千克苹果；这样甲和丙各应给乙6元钱.每千克苹果多少钱？4.学校买了2张桌子和5把椅子；共付了330元 .每张桌子的价钱是每把椅子的3倍.每张桌子多少元？5.某校六年级有甲、乙、丙丁四个班；不算甲班；期于三个班的总人数是131人；不算丁班；期于三个班的总人数是134人.已知乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人；甲、乙丙、丁四个班共有多少人？6.李大伯买了15千克特制面粉和35千克大米；共用去31.2元.已知1千克特特制面粉的价格是1千克大米的 2倍.李大伯买特制面粉和大米各用去多少元？7.14千克大豆的价钱与8千克花生的价钱相等；已知1千克花生比1千克大豆贵12元；大豆和花生的单价各是多少元？8.某车间按计划每天应加工50个零件；实际每天加工56个零件.这样；不仅提前3天完成原计划加工凌驾的任务；而求多加工了120个零件.这个车间实际加工了多少个零件？9.用8千克丝可以织6分米宽的绸4米；现在有10千克的丝；要织75分米宽的绸；可以织几米？|第四讲盈亏问题（一）盈亏问题又叫盈不足问题；是指把一定数量的物品平均分给固定的对象；如果按某种标准分；则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分；又会不足（亏）；求物品的数量和分配对象的数量.例如：小朋友分苹果；如果每人分2个；就多余16个；如果每人分5个；就缺少14个.小朋友有多少个？苹果有多少个？比较两次分的结果；第一次余16个；第二次少14个；两次相差1+14=30（个）.这是因为第二次比第一次每人多分了5-2=3（个）苹果.相差30个；就说明有30÷3=10（个）小朋友.请小读者自己算出苹果的个数.例题与方法例1、将一些糖果分给幼儿园小班的小朋友；如果每人分3 粒；就会余下糖果17粒；如果每人分5粒；就会缺少糖果13粒.问：幼儿园下班有多少个小朋友|这些糖果共有多少粒？例 2、学生搬一批砖；每人搬4块；其中5人要搬两次；如果么人搬5块；就有两人没有砖可搬.搬砖的学生有多少人？这批砖共有多少块？例3某校在植树活动中；把一批树苗分给各班；如果每班分18棵；就会有余下24棵；如果每班分20棵；正好分完.这个学校有多少个班？这批树苗共有多少棵？练习与思考1.小朋友分糖果若每人分4粒则多9粒；若每人呢分5粒则少6粒.问：有多少小朋友？有多少粒糖果？2.小朋友分糖果；每人分10粒正好分完；若每人呢分16粒；则有3个小朋友分不到糖果.问：有多少粒糖果？3.在桥上测量桥高.把绳长对折后垂到水面；还余4米；把绳长3折后垂到水面；还余1米.桥高多少米？绳长多少米？4.某校安排新生宿舍；如果每间住12人；就会有34人没有宿舍住；如果每间住14人就会有空出4间宿舍.这个学校有多少间？要安排多少个新生？5.在依次大扫除中；有一些同学被分配擦玻璃；他们当中如果有2人擦4块；其余的人各擦5块；就会多下12块玻璃没有人擦；如果么人擦6块；刚好擦完.擦玻璃的同学有多少人？玻璃共有多少块？6.有一个数；减去3所的差的4倍；等于它的2倍加上36.这个数是多少？7.体育老师和一个朋友一起上街买足球.他发现自己身边的钱；如果买10个“冠军”牌足球；还差42元；后来他向朋友借了1000元；买了31个“冠军”牌足球；结果多了13元.体育老师原来身边带了多少元？8.某小学生乘汽车去春游；如果每辆车坐65人；就会有15人不能乘车；如果每辆车多坐5人恰好多余了一辆车.一共有多少辆汽车？有多少个学生？第五讲盈亏问题（二）上一讲；我们讲了盈亏问题的一般情形；也就是在量词分配中恰好洋盈（多余）；一次亏（不足）.事实上；在许多问题里；也会出现两次都是盈（多余）；或者两次都是亏（不足）的情况.例 1、学校将一批铅笔奖给三好学生；每人9支缺15支；每人7支就缺7支.问：三好学生有多少人；铅笔有多少支？例2、某小学的部分同学外出参观；如果每辆车坐55人就会余下30个座位；如果每辆车坐50人；就还可以坐10人.有多少辆车？去参观的学生多少人？例3、学校规定上午8时到校.王强上学去；如果每分钟走60米；可以提早10分钟到校；如果每分钟作呕50米可以提早8分钟到校.问：王强什么时候离开家？他家离学校多远？练习与思考（第1～4题13分；其余每题12分；共100分.）1.同学们打羽毛球；每两人一组.每组分6个羽毛球；少10个球；每组分4个羽毛球；少2个球.问：共、有多少个同学打球？有多少个羽毛球？2.学校将一批钢笔奖给三好学生；每人8支缺11支；每人7支缺7支.问：三好学生有多少人？钢笔有多少支？3.某小学的部分学生去春游；如果每辆车坐50人；就会余下30个座位；如果每辆车坐40个人；还可以坐10人.问有多少辆车？去春游的学生多少人？4.一筐苹果分给一个小组；每人5个剩16个；每人7个缺12个.这个小组有多少人？共有多少苹果？5.一些学生分练习本.其中两人每人分6本；其余每人分4本；就会多4本；如果有一人分10本；其余每人分6本；就会少18本.学生有多少人？练习本多少本？6.一个学生从家到学校；先用每分50米的速度走了2分；如果这样走下去；他会迟到8分；后来他改用每分60米的速度前进；结果早到学校5分.这个学生家到学校的路程是多少米？7.筑路对计划每天筑路720米；实际每天比原计划多筑802米；这样；在规定完成任务时间的前3天；就只剩下1160米未筑.这条路多长？8.老师给幼儿园小朋友分苹果.每2人3个苹果；多2个苹果；每3人5个苹果；少4个苹果.问：有多少小朋友？多少苹果？第六讲流水问题想一想：从南京长江逆流而上去长江三峡；与从长江三峡顺水而下回南京；哪个花的时间少？哪个花的时间多？为什么？原因很简单.在长江行船与在一个平静的湖这行船是不一样的；因为长江的水是一直从西向东（也就是从上游向下游）流着的；船的速度会受到江水的影响.而在平静的湖水中行船时；船的速度不会受到水流的影响.考虑船在水流速度的情况下行驶的问题；就是我们这一讲要讲的流水问题.船在顺水航行时（比方说；从长江三峡顺流而下到南京）；船一方面按照自己本身的速度即船速（船在静水中行驶的速度）行驶；同时整个水面又按照水的流动速度在前进；水推动着船向前；所以；船顺水时的航行速度应该等于船本身的速度与水流速度的和.也就是顺水速度=船速+水速比方说；船在静水中行驶10千米；水流速度是每小时5千米；那么；船顺水航行的速度就是每小时10+5=15（千米）.同学们可以想一想；上面的问题中；如果是问“船逆水航行的速度是多少？”答案又该怎么样呢？船逆水行驶；情况恰好相反.本来船每小时行驶10千米；但由于水每小时又把它往回推了5千米；结果船每小时只向上游行驶了10—5=5（千米）.也就是船在逆水中的速度等于船速度与水速之差.即逆水速度=船速—水速例1、一艘每小时行驶30千米的客轮；在一河水中顺水航行165千米；水速每小时3千米.问：这艘客轮需要航行多少小时？例2、一艘船顺水行320千米需要8小时；水流速度是每小时15千米；这艘船逆水每小时行多少千米？这艘船逆水行这段路程；需要多少小时？例3、甲船逆水航行360千米需要18小时；返回原地需要10小时；乙船逆水航行同样的异端水路需要15小时；返回原地需要多少小时？练习与思考1.一只小船以每小时30千米的速度在176千米长的河中逆水而行；用了211小时.这只小船返回原处需要用多少小时？2.船在静水中的速度是每小时25千米；河水流速位每小时5千米；一只船往返甲、乙两港共花了9小时；两港相距多少千米？3.两地距280千米；一艘轮船在期间航行；顺流用去14小时；逆流用去20小时.求这艘轮船在静水中的速度和水流的速度.4.一架飞机所带的燃料；最多可以用6小时；飞机去是顺风；每小时可以飞1500千米；飞回时逆风；每小时可以飞1200千米.这架飞机最多飞出多少千米；就需要往回飞？5.乙船顺水航行2小时；行了120千米；返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路；用了3小时.甲船返回原地比去时多用多少小时？第七讲等差数列（1）1；2；3；4；5；6；7；8；…（2）2；4；6；8；10；12；14；16；…（3）1；4；9；16；25；36；49；…上面三组数都是数列.数列中称为项；第一个数叫第一项；又叫首项；第二个数叫第二项……以此类推；最后一个数叫做这个数列的末项.项的个数叫做项数.一个数列中；如果从第二项起；每一项与它前面一项的差都相等；这样的数列叫等差数列.后项与前项的差叫做这个等差数列的公差.如等差数列：4；7；10；13；16；19；22；25；28.首项是4；末项是28；共差是3.这一讲我们学习有关等差数列的知识.例题与方法例1、在等差数列1；5；9；13；17；…；401中401是第几项？例2、100个小朋友排成一排报数；每后一个同学报的数都比前一个同学报的数多3；小明站在第一个位置；小宏站在最后一个位置.已知小宏报的数是300；小明报的数是几？例3、有一堆粗细均匀的圆木；堆成梯形；最上面的一层有5根圆木；每向下一层增加一根；一共堆了28层.最下面一层有多少根？例4、1+2+3+4+5+6+…+97+98+99+100=？例5、求100以内所有被5除余10的自然数的和.例6、小王和小胡两个人赛跑；限定时间为10秒；谁跑的距离长谁就获胜.小王第一秒跑1米；以后每秒都比以前一秒多跑0.1米；小胡自始至终每秒跑1.5米；谁能取胜？练习与思考（每题10分；共100分.）1.数列4；7；10；……295；298中298是第几项？2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米；第10小时蜗牛爬了1.9米；第一小时蜗牛爬多少米？3.在树立俄；10；13；16；…中；907是第几个数？第907个数是多少？4.求自然数中所有三位数的和.5.求所有除以4余1的两位数的和.6.0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99的和是多少？7.梯子最高一级宽32厘米；最底一级宽110厘米；中间还有6级；各级的宽度成等差数列；中间一级宽多少厘米？8.有12个数组成等差数列；第六项与第七项的和是12；求这12个数的和.9.一个物体从高空落下；已知第一秒下落距离是4.9米；以后每秒落下的距离是都比前一秒多9.8米50秒后物体落地.求物体最初距地面的高度.10.求下面数字方阵中所有数的和.1；2；3；…；98；99；1002；3；4；…99；100；1013；4；5；…；100；101；102……100,101,102, …197,198,199第八讲找规律你能找出下面各数列暴烈的规律吗？请在括号内填上合适的数》（1）8；15；22；（）；36；…；（2）17；1；15；1；13；1；（）；（）；9；1；…；（3）45；1；43；3；41；5；（）；（）；37；9；…；（4）1；2；4；8；16；（）；64；…；（5）10；20；21；42；43；（）；（）；174；175；…；（6）1；2；3；5；8；13；21；（）；55.例1. 1；2；3；2；3；4；3；4；5；4；5；6；6；7；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？.练习与思考（第1题30分；其余每题10分；共100分.）（1）找规律；在括号内填上合适的数.（1）1,3,9,27,( ),243;（2）2,7,12,17,22,( ),( ),37;（3）1,3,2,4,3,( ),4;（4）0,3,8,15,24,( ) ,.48;（5）6,3,8,5,10,7,12,9,( ),11;（6）2,3,5,( ),( ),17,23;（7）81,64,（）；36；（）；16；9；4；1；（8）21；26；19；24；（）；（）；15；20；（9）1；8；9；17；26；（）；69；（10）4；11；18；25；（）；39；46；2.一串数按下面规律排列：1；3；5；2；4；6；3；5；7；4；6；8；5；7；9；…从第一个数算起；前100个数的和是多少？3.有一串黑白相间的珠子（如下图）；第100个黑珠前面一共有多少个白珠？4.在平面中任意作100条直线；这些直线最多能形成多少个交点？5.在平面中任意作20条直线；这些直线最多可把这个平面分成多少个部分？6.序号 1 2 3 4 5算式1+1 2+3 3+5 1+7 2+9序号 6 7 8 9 …算式3+11 1+13 2+15 3+17 …根据上面的规律；第40个序号的算式是什么？算式‘1+103“的序号上多少？7.小正方形的边长是1厘米；依次作出下面这些图形.已知第一幅图的周长是10厘米.（1）36个正方形组成的图形的周长是多少厘米？（2）周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？已知第一幅图的周长是10厘米.（1）36个正方形组成的图形的周厂是多少厘米？（2）周长是70厘米的图形；由多少个正方形组成？8在方格纸上画折线（如本讲例4图）；小方格的边长是1；图中的1；2；3；4；…分别表示折线扩大第1；2；3；4；…段.求折线中第100段的长度.长度是30的是第几段？能力测试（一）一、填空题（每空3分；工39分）.1.在下面的括号里按照规律填上适当的数字.（1）1；2；3；4；8；16；（）；64；128.（2）5；10；15；20；25；（）；35；40.（3）4；7；10；13；16；（）；22；25.（4）1；1；2；3；5；8；13；21；（）（5）1024；512；256；（）；64；32；16；8；4.（6）2；5；11；20；32；（）；65；86.（7）1；3；2；4；3；5；（）；6；5.（8）1；4；9；16；25；（）；49；64.1.9个人9天共读书1620页；平均1个人1天共读书（）页；照这样计算；5个同学5天读书（）页.2.如果平均1个同学1天植树（）棵；那么；3个同学4天共植树120棵.3.买3只足球和9只篮球共用了570元；买9只足球和27只篮球要用（）元.二、计算题（每小题5分；共10分）.1.2+4+6+8+10+ … +22+24+262.1+2+3+4+5+6+ … +1996+1997+1998三、应用题（第1～4题10其余每题10分；第5题11分；共51分）.1.李老师将一叠练习本分给第一组的同学；如果每人分7本；还多7本.如果每人分9；那么有一个同学译本也分不到.第一组有多少同学？这叠练习本一共有多少本？2.一只小船在河中逆流航行176千米；用了11小时.一知水流速度是每小时4千米；这只小船返回原处要用多少小时？3.4只篮球和8只足球共买560元；6只篮球和3只足球共买390元.问：一只篮球和一只足球各买多少元？4.有10元钞票与5元钞票共128张；其中10元比5元多260元.两种面额的钞票各是多少张？5.下面是一种特殊数列的求和方法.要求数列2；4；8；16；32；64；…；1024；2048的和；方法如下：S= 2+4+8+16+32+64+ … +1024+204822S = 4+8+16+32+64+ … +1024+2048+4096用下面的式子减去上面的式子；就得到S =4096 – 2 = 4094即数列2；4；8；16；32；64；…；1024；2048的和是4094.仔细阅读上面的求和方法；然后利用这种方法求下面数列的和.1；3；9；27；81；243；…；177147；531441.第九讲加法原理在日常生活与实践中；我们经常会遇到分组、计数的问题.解答这一类问题；我们通常运用加法与那里与乘法原理这两个基本的计数原理.熟练掌握这两个原理；不仅可以顺利解答这类问题；而求可以为今后升入中学后学习排列组合等数学知识打下好的基础.什么叫做加法原理呢？我们先来看这样一个问题：从南京到上海；可以乘火车；也可以乘汽车、轮船或者飞机.假如一天中南京到上海有4班火车、6班汽车；3班轮船、2班飞机.那么一天中乘做这些交通工具从南京到上海共有多少种不同的走法？我们把乘坐不同班次的火车、汽车、轮船、飞机称为不同的走法；那么从南京到上海；乘火车有4种走法；乘汽车有6种走法；乘轮船有3种走法；乘坐飞机有2种走法.因为每一种走法都可以从南京到上海；因此；一天中从南京到上海共有4+6+3+2 = 15 (种)不同的走法.我们说；如果完成某一种工作可以有分类方法；一类方法中又有若干种不同的方法；那么完成这件任务工作的方法的总数就等于各类完成这件工作的总和.即N = m1 + m2 + … + m n (N代表完成一件工作的方法的总和；m1,m2, … m n 表示每一类完成工作的方法的种数).这个规律就乘做加法原理.例1 书架上有10本故事书；3本历史书；12本科普读物.志远任意从书架上取一本书；有多少种不同的取法？例2一列火车从上上海到南京；中途要经过6个站；这列火车要准备多少中不同的车票？例3在4 x 4的方格图中（如下图）；共有多少个正方形？例4 妈妈；爸爸；和小明三人去公园照相：共有多少种不同的照法？练习与思考1.从甲城到乙城；可乘汽车；火车或飞机.已知一天中汽车有2班；火车有4班；甲城到乙城共有（）种不同的走法.2.一列火车从上海开往杭州；中途要经过4个站；沿途应为这列火车准备____种不同的车票.3.下面图形中共有____个正方形.4.图中共有_____个角.5.书架上共有７种不同的的故事书；中层６本不同的科技书；下层有４钟不同的历史书.如果从书架上任取一本书；有____种不同的取法.6.平面上有８个点（其中没有任何三个点在一条直线上）；经过每两个点画一条直线；共可以画_____条直线.7.图中共有_____个三角形.8.图中共有____个正方形．9.从2；3；5；7；11；13；这六个数中；每次取出两个数分别作为一个分数的分子和分母；一共可以组成_____个真分数．10.某铁路局从Ａ站到Ｆ站共有６个火车站（包括Ａ站和Ｆ站）铁路局要为在Ａ站到F站之间运行的。

小学数学奥数基础教程(打印版)小学数学奥数基础教程（打印版）----------------------------------------------------------数学奥数是培养小学生数学思维能力和解决问题能力的一种特殊教学方法。

本教程旨在为小学生提供扎实的数学基础知识和奥数解题技巧，让他们在数学方面取得更好的成绩并培养对数学的兴趣。

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一、数学基础知识----------------------------------------------------------第一章：数的基本概念1.1 自然数与整数1.2 分数与小数1.3 负数与绝对值第二章：算数运算2.1 加法与减法2.2 乘法与除法2.3 平方与平方根第三章：代数与方程3.1 代数式与多项式3.2 简单方程与解集3.3 一元一次方程第四章：图形与几何4.1 点、线、线段与射线4.2 角的概念与性质4.3 三角形与四边形第五章：空间与立体几何5.1 立体图形的组成5.2 直方体、正方体与长方体5.3 圆柱体、圆锥体与球体二、奥数解题技巧----------------------------------------------------------第六章：逻辑推理6.1 量的关系6.2 条件与结论6.3 逻辑推理题示例第七章：模型建立7.1 数量关系模型7.2 平衡方程模型7.3 几何变换模型第八章：数学推理8.1 数学归纳法8.2 反证法与逆否命题8.3 数列与数表推理三、实践练习题----------------------------------------------------------第九章：填空题第十章：选择题第十一章：解答题四、奥数竞赛模拟----------------------------------------------------------第十二章：奥数竞赛模拟试题五、总结与展望----------------------------------------------------------本教程涵盖了小学数学奥数所需的基础知识和解题技巧，并提供了丰富的练习题和竞赛模拟试题。