专题14 圆锥曲线中的最值和范围问题
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知双曲线122
22=-b
y a x (a >0,b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直
线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(C )
A.( 1,2)
B. (1,2)
C.[2,)+∞
D.(2,+∞)
2． P 是双曲线
22
1916
x y -=的右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋5)2＋y 2＝4和(x －5)2＋y 2
＝1上的点，则|PM|－|PN |的最大值为（ B ）
A. 6
B.7
C.8
D.9
3．抛物线y=-x 2
上的点到直线4x +3y -8=0距离的最小值是( A )
A ．
43 B ．75 C ．8
5
D ．3 4．已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲
线的右支上，且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为：（B ）
(A)
4
3
(B)
5
3
(C)2 (D)
73
5．已知抛物线y 2
=4x ,过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，则y 12
+y 2
2
的最小值是 32 .
6．设椭圆方程为142
2
=+y x ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足OP (21=OA +)OB ，点N 的坐标为)2
1
,21(，当l 绕点M 旋转时，
求（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最小值与最大值.
【专家解答】（1）法1：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为y=kx+1.
记A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，由题设可得点A 、B 的坐标 (x 1,y 1)、 (x 2,y 2)是方程组 ⎪⎩
⎪⎨⎧=++=141
2
2y x kx y 的解. 将①代入②并化简得(4+k 2)x 2
+2kx -3=0， 所以⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+=++-=+.48,42221221k y y k k x x
于是).44
,4()2,2()(212
22121
k k k y y x x ++-=++=+= ① ②
设点P 的坐标为(x,y ), 则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=.44,422k y k k x 消去参数k 得4x 2+y 2
-y =0 ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，
所以点P 的轨迹方程为4x 2+y 2
-y =0
解法二：设点P 的坐标为(x ,y )，因A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上，所以
,14212
1
=+y x ④ .14
2
22
2=+y x ⑤
④—⑤得0)(4
12
2212221=-+-y y x x ，
所以.0))((4
1
))((21212121=+-++-y y y y x x x x
当21x x ≠时，有.0)(41
2121
2121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥ 并且⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨⎧--=-+=+=.
1,2,2212121
21x x y y x y y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2+y 2-y =0 ⑧ 当x 1=x 2时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为
（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21
(1612
2
=-+y x （2）由点P 的轨迹方程知.4
141,1612
≤≤-≤x x 即所以 12
7
)61(3441)21()21()21(||222222++-=-+-=-+-=x x x y x NP
故当41=
x ，||取得最小值，最小值为1;4
当1
6
x =-时，||取得最大值，最大值为.621
★★★高考要考什么
【考点透视】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为高考命题者青睐的一个热点。
【热点透析】
与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决： （1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式∆≥0。
★★★突破重难点
【范例1】已知动点P 与双曲线13
22
2=-y x 的两个焦点F 1、F 2的距离之和为定值，且cos ∠F 1PF 2的最小值为9
1
-．
（１）求动点P 的轨迹方程；
（２）若已知D (0,3)，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围．
讲解 (１)由题意c 2
=5．设|PF 1|+|PF 2|=2a （5>
a ），由余弦定理, 得
1|
|||10
2||||2||||||cos 21221221222121-⋅-=⋅-+=∠PF PF a PF PF F F PF PF PF F ．
又||1PF ·
22
212)2
||||(||a PF PF PF =+≤，
当且仅当|PF 1|=|PF 2|时，|PF 1|•|PF 2| 取最大值，
此时cos ∠F 1PF 2取最小值110222--a a ，令91
11022
2-=--a
a ， 解得a 2=9，5=c ，∴
b 2
=4，故所求P 的轨迹方程为14
922=+y x . （２）设N (s,t )，M (x,y )，则由DN DM λ=，可得(x ，y-3) =λ(s ，t-3)，
故x=λs ，y=3+λ(t-3). ∵M 、N 在动点P 的轨迹上，
