第四章转动参考系

其方向则垂直于 与 v 所决定的平面，在平 面问题中， 恒沿k方向，故 2 v 为位于 x、y平面内的矢量，其指向由右手螺旋法则 决定（如图所示）。这个加速度叫科里奥利 加速度，简称科氏加速度。
科氏加速度是由于在S系中的观察者看来，牵连运动（即 ） 可使相对速度 发生变化，而相对运动（即 ）又同时使牵连 v v 速度 中的 r r ω 发生改变，即科氏加速度是由牵连运动与相 v 对运动相互影响所产生的。如果 与 两者中有一个为零，则 此项加速度为零。 故在平面转动参照系中，绝对加速度为相对加速度、牵连 加速度及科里奥利加速度三者的矢量和。即：
2 a a ω r r 2ω v a a ω r 2 r 2ω v
于是：
F mω r m 2 r 2mω v ma
G ——牵连变化率，转动参照系绕着O点以角速度 转动
d *G dt
——相对变化率，G相对于转动参照系的变化。 并带动G一起转动而引起的变化。
故在转动参照系中，一个矢量G的绝对变化率，等 于相对变化率和牵连变化率的矢量和。
如空间转动参照系 S 的原点与固定参照系S的原点 O重合，并以角速度 绕着O转动，则对S系而言，一 个在系中运动的质点P的绝对速度为：
v v v0 r d a a a0 r ( r ) 2 v dt 式中 r 为质点相对 o 的位矢。
4.3 非惯性系动力学（二）
一、平面转动参照系 相对平面转动参照系运动的质点，它的绝对加速度为：
x y 1）. 为质点P对转动参照系的轴向加速度分量，它的合成：
2）
a ———相对加速度 xi yj y i x j k ( xi yj ) ω r
是由于平板作变角速度转动所引起的切向加速度，如平 板以匀角速度转动，则此项加速度为零。
2 2 2
b 2

2 2 2 1
tg
a Ay a Ax
2 v sin 1 r 2 2 v cos 2 1
为a A 与三角形斜边的夹角。
4.2 空间转动参照系
空间转动参照系的角速度 的量值和方向都可以改变，转动 参照系S 的原点和静止坐标系S的原点O重合，因此 恒通过 S O点。令i、j、k为固着在 系三个坐标轴上的单位矢量，故 任一矢量可写为： G G i G j G k
d *r v ——相对速度，是质点P相对于 S 系的速度。 dt
dr d * r v r v r dt dt
r
——牵连速度 ，是由于 S 系转动带动 r 一起转动而
引起的速度。 故在转动参照系中，质点的绝对速度等于相对速度和牵连 速度的矢量和。
3）
2 2 xi yj r
2
沿矢径指向O点，它是由于平板以角速度 转动所引起 的向心加速度。 2）、3）两项加速度都是由于平板转动所引起的，所以为牵连 加速度。
4） 2 y i 2 x j 2ω ( Leabharlann Baidui yj ) 2ω v
2 a 0 at r i ac 2 v cos i 2 v sin j

是一恒矢量）
2 cos )i 2 v sin j a A ( r 2 v
其加速度的大小为：
a A r 4r v cos 4v
如果 S 系以匀角速转动， 是一恒矢量（量值和方向都 不变）以OB表示之，如图所示，故d
则：
2 at ( r ) R
dt
0
在此情况下，加速度简化为： 2 R 2ω v a a 对于更一般的情况，即 S 系的原点 o 不与S系的原点o重合， o 相对o的速度为 v 0 ，加速度为a 0 ，则： 且
现在求质点P对S系的绝对加速度
将 v 的表达式代入上式得：
2*
dv d *v a v dt dt
d d * d * dt dt dt d a a r ( r ) 2 v a at ac dt 2* d r a 2 ——相对加速度，是质点P相对 S 系的加速度。 dt
Chapter 4 转动参考系
质点在非惯性系中的运动规律。也就是 研究参照系具有加速度时，如何描述质点的 运动规律。
平动参照系 非惯性系 转动参照系
基本要求
深刻理解转动参照系中相对运动、牵连 运动、牵连加速度、科里奥利加速度、牵连 惯性力、科里奥利力等基本概念，特别是科 里奥利力产生的原因及实质；熟练掌握绝对 速度、绝对加速度和相对运动微分方程及其 应用 。
b 8 2 4 1 2
r v sin (4 1) v cos
为v A 与三角形斜边的夹角。

在平面转动参照系中，质点的绝对加速度为：（
at ac a 2 r 2 v aA a
2 a a ω r r 2ω v a at ac c
——相对加速度 2 ——牵连加速度 at ω r r ——科里奥利加速度 ac 2ω v 注意：科氏加速度必须是质点相对运动和牵连运动同时存在 才能产生。
即对平面转动参照系来讲，如果添上三种惯性力： 2 mω r m r 2mω v
则牛顿运动定律对 S 系在形式上就仍然成立。
现在来看这三种惯性力的物理意义：
1) 惯性力: mω r ——是由于 系作变角速转动所引起的， S 如果转动是匀速的（即 的量值是常数），则此项惯性力为 零。 2) 惯性力: m 2 r ——叫做惯性离心力，是由于 S系的转动所引 起的，惯性离心力的量值和 平方及质点离开坐标原点O的 距离成正比，它的方向自坐标原点O沿矢径向外。如图所示。 3) 惯性力 ——叫做科里奥利力，是由于 系的转动及 2mω v S 质点对此转动参照系又有相对运动所引起的，科里奥利力 的量值和 系转动的角速度 及质点相对于 系的速度 成 S S 正比，方向垂直于 及 所决定的平面，并按右手螺旋法则 v v 及负号决定指向。如图所示。
dv di dj a ( y y )i ( x x ) j ( x y ) ( y x ) x y dt dt dt 2 2 ( y x 2 y )i ( x y 2 x ) j x y
绝对速度为：
r v cos i ( r v sin ) j vA v


4
r 2b cos

4
2b
v
b 2


b 2
绝对速度的大小为：
tg v Ay v Ax
v A v2 r 2 2 2r v sin
ac 2 v ——科里奥利加速度
是由于质点P对转动的 S 系有一相对速度，从而 与 v 相互 影响所产生的，若两者平行或有一为零，此项加速度为零。 对转动参照系来讲，绝对加速度等于相对加速度、牵连加 速度与科里奥利加速度三者的矢量和。 注意：绝对速度与绝对加速度都是从静止参照系来观测一 个在转动参照系中质点P的速度与加速度的，如果从转动参照 系中来看，只能看到相对速度与相对加速度。
v xi yj —相对速度，如P在平板上不动，此项速度为零。 ——牵连速度 y i x j k ( xi yj ) ω r
di dj ( x y )i ( y x ) j dv v xi yj x y dt dt dt
x y z dG y dGz dG dG x di dj dk i j k Gx G y Gz dt dt dt dt dt dt dt dj dk 由泊松公式： di i 代入上式得： j k dt dt dt * * dG d G dG (G x i G y j Gz k ) G dt dt dt
本章重点
质点在转动参照系中相对运动微分方程的 建立和求解。
Chapter 4 转动参考系内容
4.1 4.2
4.3
平面转动参考系 空间转动参考系
非惯性系动力学(二)
4.4
地球自转产生的影响
4.1 平面转动参考系
设平面转动参照系 S 以角速度 绕垂直 于自身的轴转动，如图所示，在动系 S 上 取坐标系O—xyz，动系与静系原点O重合， z轴为转动轴，平面上任一点P的位矢为： r xi yj ω k 质点相对静止坐标系S的速度为：
di j dt d j i dt
是由于平板转动而带着P点一起转动所引起的 相对静系的速度。
v v r 即绝对速度等于相对速度与牵连速度的矢量和。
提问：为什么这里的速度表达式与第三章中定点（或定轴） 转动的速度表达式：v r 比较多了v ？ 答：因为在刚体中，组成刚体的各个质点，都只随着刚体一 起转动，它们与整个刚体并无所谓相对运动。 现在求P点对静止坐标系S的加速度：
d r d * d * r d * r a 2 r ( r) dt dt dt dt d *r d * a r ( r ) 2 dt dt
dr d *r v r v r dt dt
d at r ( r ) dt
——牵连加速度
d r —— 由 的大小发生改变所产生的，如参照系S 以 dt 恒定角速度转动，则此项为零； ( r ) ——是由于 S 系以角速度 转动所产生的。
a
4.1 一等腰直角三角形OAB在其自身平面内以匀角速 绕 定点O转动，某一点P以相对速度沿AB边运动，当三角形转了一 周时，P点走过了AB，如已知 AB b ，试求P点在A时的绝对速 度与绝对加速度。 解：如图建立坐标系，P点的牵连速度 和相对速度为：
r r j v v cos i v sin j