数学北师大版九年级上册一元二次方程.1 认识一元二次方程

2.1.1认识一元二次方程一、选择题1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.1-x=1x2C.x2-x=2D.(x-1)2+1=x22.方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.6,2,9B.2,-6,9C.2,-6,-9D.-2,6,-93.为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边.已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程()A.90%×(2+x)(1+x)=2×1B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1C.90%×(2-2x)(1-2x)=2×1D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%4.将方程2(x+3)(x-4)=x2-10化为一般形式为()A.x2-2x-14=0B.x2+2x+14=0C.x2+2x-14=0D.x2-2x+14=0二、填空题5.三个连续奇数的平方和是251,求这三个数.若设最小的数为x,则可列方程为.6.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0是关于x的方程,当m满足条件:时,它是一元一次方程;当m满足条件:时,它是一元二次方程.7.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是.8.已知(m-1)x m2+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m=.三、解答题9.结合题意列出方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一长方形的面积为64 cm2,若它的长是宽的2倍,则它的长,宽分别是多少?设它的宽为x cm.(2)两数之差是2,平方和是52,求此两数.设较小的数为x.(3)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,求全组有多少名同学.设全组有x名同学.10.已知关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0.(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?求出此时方程的解;(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.11、若x2a+b-2x a-b+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.张敏的想法如下:a,b必须满足{2a+b=2,a-b=2.张敏的想法全面吗?若不全面,请你写出a,b另外满足的条件.答案[课堂达标] 1.C2.C [解析] 方程2x 2-6x=9化成一般形式可以是2x 2-6x -9=0,∴二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为-9.故选C .3.B4.A5.x 2+(x+2)2+(x+4)2=2516.m=-2 m ≠-2 [解析] 当m+2=0,m+1≠0,即m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,即m ≠-2时,方程是一元二次方程.7.-1 [解析] 根据题意,得m -1≠0,m 2-1=0,所以m=-1. 8.-19.解:(1)根据题意得2x 2=64,即x 2=32,化为一般形式为x 2-32=0(化为一般形式不唯一). (2)根据题意列方程,得x 2+(x+2)2=52, 化为一般形式为x 2+2x -24=0.(3)根据题意得x (x -1)=182,化为一般形式为x 2-x -182=0(化为一般形式不唯一). 10.解:(1)当k=1时,此方程为一元一次方程,其解为x=1.(2)当k ≠±1时,此方程为一元二次方程,二次项系数为k 2-1,一次项系数为k+1,常数项为-2. [素养提升]解:不全面,还有{2a +b =2,a -b =1或{2a +b =2,a -b =0或{2a +b =1,a -b =2或{2a +b =0,a -b =2.2.1.2一元二次方程的解的估算一、选择题1.若2是关于x 的方程x 2-3x+k=0的一个根,则常数k 的值为 ( ) A .1B .2C .-1D .-22.根据下列表格的对应值判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根x 的范围是 ( )x3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c -0.02 0.01 0.03A .x<3.24B .3.24<x<3.25C .3.25<x<3.26D .3.25<x<3.283.观察表格中的数据得出方程x 2-2x -4=0的一个根的十分位上的数字应是 ( )x -2 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 0 x 2-2x -44 0.76 0.29 -0.16 -0.59 -4A.0B.1C.2D.34.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足a+b+c=0和4a-2b+c=0,则方程的两个根分别为()A.1,0B.-2,0C.1,-2D.-1,25.已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-26.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是()A.0<α<1B.1<α<1.5C.1.5<α<2D.2<α<3二、填空题7.为估算方程x2-2x-8=0的解,列出了下表:x-2-101234x2-2x-80-5-8-9-8-50由此可判断方程x2-2x-8=0的解为.8.已知x2-3x+1=0,依据下表,它的一个解x的范围是.x-1-0.500.51x2-3x+152.751-0.25-19.若a是方程3x2-x-2=0的一个根,则2025+2a-6a2的值等于.三、解答题10.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,求a的值.11.对于向上抛出的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下关系:h=vt-1gt2,其中h是离抛出点2的高度,v是初速度,g是重力加速度(g取10 m/s2),t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以25 m/s的初速度向上抛出,几秒钟后它在离抛出点20 m高的地方?12、有一个面积为54 m2的矩形,将它的一边剪短5 m,与其相邻的另一边剪短2 m后,恰好变成一个正方形.(1)若设这个正方形的边长为x m,请根据题意列出方程;(2)x可能小于0吗?说说你的理由;(3)正方形的边长可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?(4)你能求出x的值吗?请写出求解过程.答案[课堂达标]1.B[解析] ∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根,∴22-3×2+k=0,解得k=2.故选B.2.B[解析] 观察表格可知,当ax2+bx+c=0(a≠0)时,对应的一个根x的范围是3.24<x<3.25.3.C[解析] ∵当x=-1.3时,x2-2x-4=0.29>0;当x=-1.2时,x2-2x-4=-0.16<0,∴方程x2-2x-4=0的一个根x在-1.3<x<-1.2的范围内,∴方程x2-2x-4=0的一个根的十分位上的数字应是2.故选C.4.C[解析] 当x=1时,a+b+c=0;当x=-2时,4a-2b+c=0.所以方程的两个根分别为1,-2.故选C.5.B[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,∴a2-ab+a=0.∵-a≠0,∴a≠0.上式两边同时除以a,得a-b+1=0,∴a-b=-1.6.C7.x=-2或x=48.0<x<0.5[解析] ∵当x=0时,x2-3x+1=1>0;当x=0.5时,x2-3x+1=-0.25<0,∴当x在0<x<0.5的范围内取某一个值时,x2-3x+1=0,∴方程x2-3x+1=0的一个解的范围是0<x<0.5.故答案为0<x<0.5.9.2021[解析] ∵a是方程3x2-x-2=0的一个根,∴3a2-a-2=0,故3a2-a=2,则2025+2a-6a2=2025-2(3a2-a)=2025-2×2=2021.故答案为2021.10.[解析] 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的根的定义得到a+1≠0且a2-1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,∴a+1≠0且a2-1=0,∴a=1.11.解:由题意,得25t-5t2=20,列表略,可得方程的解为t=1或t=4,所以1 s或4 s后,物体在离抛出点20 m高的地方.[素养提升]解:(1)所列方程为(x+5)(x+2)=54,即x2+7x-44=0.(2)x不可能小于0,因为x表示正方形的边长.(3)正方形的边长不可能是2 m,也不可能是3 m,因为x=2和x=3都不满足方程x2+7x-44=0.(4)能.列表如下:x12345x2+7x-44-36-26-14016所以x=4.2.2.1用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程一、选择题x2=8的根是()1.方程12A.x=2B.x=4C.x=±2D.x=±42.一元二次方程y2-y-34=0配方后可化为()A.y+122=1B.y-122=1C.y+122=34D.y-122=343.如果一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k,那么b,k的值分别为()A.0,4B.0,5C.-6,5D.-6,4二、填空题4.填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2+()+916=[x+()]2.5.[2020·扬州] 方程(x+1)2=9的根是.6.如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(n-m)2021=.三、解答题7.解下列方程:(1)(x-1)2=36;(2)x2-2x-24=0;(3)x2-x+3=4;(4)x2-3x=3x+16;(5)x2-2√2x-3=0.8.如图,在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米,求道路的宽.9、有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.”(1)小静的解法是从步骤开始出现错误的;(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0(用含n的式子表示方程的根).答案[课堂达标] 1.D2.B [解析] y 2-y -34=0,y 2-y=34, y 2-y+14=1,y -122=1. 故选B .3.D [解析] ∵(x -3)2=k ,∴x 2-6x+9-k=0.∵一元二次方程x 2+bx+5=0配方后为(x -3)2=k ,∴b=-6,9-k=5,∴k=4,∴b ,k 的值分别为-6,4.故选D . 4.(1)25 5 (2)±32x ±345.x 1=2,x 2=-4 [解析] (x+1)2=9,x+1=±3,x 1=2,x 2=-4.故答案为x 1=2,x 2=-4.6.-1 [解析] 由题意得x 2+4x=-n , ∴x 2+4x+4=4-n ,即(x+2)2=4-n. 又(x+m )2=3,∴m=2,n=1, 则(n -m )2021=(1-2)2021=-1. 故答案为-1.7.解:(1)直接开平方,得x -1=±6, ∴x -1=6或x -1=-6, ∴x 1=7,x 2=-5.(2)移项,得x 2-2x=24.配方,得x 2-2x+1=24+1,即(x -1)2=25. 两边开平方,得x -1=±5. ∴x 1=6,x 2=-4. (3)移项,得x 2-x=1. 配方,得x 2-x+14=54.整理,得x -122=54,∴x -12=±√52, 即x 1=1+√52,x 2=1-√52.(4)原方程可化为x 2-6x=16. 配方,得x 2-6x+9=16+9. 整理,得(x -3)2=25,∴x -3=±5, 即x 1=8,x 2=-2. (5)移项,得x 2-2√2x=3.配方,得x 2-2√2x+(√2)2=(√2)2+3, 即(x -√2)2=5.两边开平方,得x -√2=±√5. ∴x 1=√2+√5,x 2=√2-√5. 8.解:设道路的宽为x 米. 根据题意,得(62-x )(42-x )=2400.整理,得x2-104x+204=0.解得x1=2,x2=102(不合题意,舍去).答:道路的宽是2米.[素养提升]解:(1)⑤(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,x+n=±3n,x=-n±3n,∴x1=-4n,x2=2n.2.2.2用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一、选择题1.用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是()A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4C .x 2-2x+1=32+1D .x 2-2x+1=-32+12.[2020·聊城] 用配方法解一元二次方程2x 2-3x -1=0,配方正确的是( ).A .x -342=1716B .x -342=12C .x -322=134D .x -322=1143.图中用配方法解方程12x 2-x -2=0的四个步骤中,出现错误的是( )A .①B .②C .③D .④ 4.对于任何实数m ,n ,多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是 ( )A .2B .0C .大于2D .不小于2二、填空题5.一元二次方程5x 2-4x=1的解为 .6.把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k ,则m= ,k= .7.若一个三角形的两边长分别为2和3,第三边长是方程2x 2-3x -5=0的一个根,则这个三角形的周长为 .8.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动,到点C 停止运动,此时点P 也停止运动.如果点P ,Q 分别从A ,B 两点同时出发,则经过 秒后,P ,Q 两点间的距离为4√2厘米.三、解答题9.用配方法解下列方程:(1)2x2-4x-6=0;(2)2x2+2=5x;=0.(3)2x2+x-1210、求y2+4y+8的最小值.阅读下面的解答过程.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4,即y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程,解答下列问题.(1)求m2+2m+4的最小值;(2)求4-x2+2x的最大值.答案[课堂达标] 1.D2.A [解析] 移项,得2x 2-3x=1,二次项系数化为1,得x 2-32x=12,配方,得x 2-32x+342=12+342, 即x -342=1716.故选A .3.D4.D [解析] m 2+n 2-6m -10n+36=m 2-6m+9+n 2-10n+25+2=(m -3)2+(n -5)2+2. ∵(m -3)2≥0,(n -5)2≥0, ∴(m -3)2+(n -5)2+2≥2,∴多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是不小于2.故选D . 5.x 1=-15,x 2=16.1 32[解析] 把方程2x 2+4x -1=0配方得(x+1)2=32.∵把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k , ∴m=1,k=32. 7.1528.25 [解析] 设t 秒后PQ=4√2, 则BP=6-t ,BQ=2t. ∵∠B=90°,∴BP 2+BQ 2=PQ 2, ∴(6-t )2+(2t )2=(4√2)2. 解得t=25或t=2. 由题意,得t ≤32,∴t=25.故答案为25.9.解:(1)原方程可化为x 2-2x -3=0, 移项、配方得x 2-2x+1=3+1,即(x -1)2=4, 两边开平方,得x -1=±2, ∴x 1=1+2=3,x 2=1-2=-1. (2)原方程可化为x 2-52x=-1. 配方,得x 2-52x+2516=916,即(x -54)2=916. 两边开平方,得x -54=±34, ∴x 1=2,x 2=12.(3)原方程可化为x 2+12x=14,配方,得x 2+12x+116=14+116,即x+142=516,两边开平方,得x+14=±√54, ∴x 1=-1+√54,x 2=-1-√54.。

认识一元二次方程（1）一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。

根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。

经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。

简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。

三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。

北师大版九年级上册第二章第6 节《应用一元二次方程》第一课时说课稿宜黄二中洪友平尊敬的各位评委：大家好！我是来自宜黄二中的洪友平，今天我说课的课题是北师大版九年级上册第二章第6 节《应用一元二次方程》的第一课时。

下面我将从以下六个方面对本节课的设计加以阐述：一、教材分析1、本节课的地位与作用一元二次方程是初中数学的重要内容。

它是一元一次方程应用的继续，二次函数学习的基础，具有承前启后的作用，是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。

本节课是一元二次方程的应用中有关图形的问题，下一节课主要是销售与利润问题。

2、本节课的教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，制定如下目标：①知识技能目标：建立方程解决问题的模型，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学方法。

②解决问题目标：认识方程模型的重要性，学会运用方程解决实际问题，进一步提高分折问题、解决问题的能力，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对所得到的解进行取舍。

③情感态度目标：通过探究用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识的应用价值，激发学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和人类发展作用。

3、本节课的教学重点与难点本节课的教学重点是学会用列方程的方法解决有关图形的问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力，学习数学建模思想；教学难点是将同类题对比探究，学会数学的分类讨论方法，对数学实际问题的变式迁移。

二、学情分析整章从第一节开始就涉及到一些简单的应用题，所以学生现在已经有了一定的方程应用能力，再通过这节课让学生建立数学模型，同时兼顾不同层次的学生，让他们都有所提高和发展。

三、教法与学法为了突出重点，突破难点，实现教学目标。

教学过程中采用多媒体辅助教学，使抽像问题形像化，提高课堂效率。

教法：创设情境一一引导探究一一变式迁移一一鼓励创新。

学法：自主探索一一合作交流一一反思归纳一一乐于创新。

因式分解法解一元二次方程说课稿我是_________选手。

我今天说课的课题是因式分解法解一元二次方程选自北师大版九年级上册第二章第四节。

我说课的流程主要分为五大步：一、教材分析二、学情分析三、教法学法四、教学过程五、教学反思向大家介绍一下我对本节课的理解与分析。

一、教材分析1、教材的地位和作用一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。

初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。

我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。

而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。

解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。

本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。

2、学生学情分析任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。

这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。

分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。

当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。

而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。

3、教学目标根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的心理特征及已有的知识经验，本节课的三维目标主要体现在：知识与能力目标：（1）理解因式分解法的思想，掌握用因式分解法解一元二次方程; （2）能利用方程解决实际问题，并增强学生的数学应用意识和能力。

2()2ba c a+2210⨯-=为偶数时，才使用配方法，否则可以考虑使20x = ⇒0 (0)a ≠定的两个根为0①-②得：2212)2x x x -221)4x x x -①②222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-， 2121212||()4x x x x x x -=+-，2212121212()x x x x x x x x +=+，33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．【课堂练习】1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值为_________2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，（x 1－x 2）2＝ 3．已知方程2x 2－3x+k=0的两根之差为212，则k= ;4．若方程x 2+(a 2－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;6． 设x 1,x 2是方程2x 2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22(2) 1x 1 －1x 27．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：2221x 1x 1+（2）构造新方程 理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5 xy=6解：显然，x ，y 是方程z 2-5z+6＝0 ① 的两根 由方程①解得 z 1=2,z 2=3∴原方程组的解为 x 1=2,y 1=3 x 2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围 例 一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k 的取值范围。