最新人教版八年级数学下册第一章二次根式的知识点汇总
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二次根式的知识点汇总
知识点一: 二次根式的概念
形如
(
)的式子叫做二次根式。
注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以是
为二次根式的前提条件,如
,
,
等是二次根式,
而
,
等都不是二次根式。
例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、1
x 、x (x>0)、0、42、-2、
1
x y
+、x y +(x ≥0,y•≥0). 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.
知识点二:取值范围
1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a ≧0时,
有意义,是二次根式,所以
要使二次根式有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,没有意义。
例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义?
例3.当x 是多少时,23x ++1
1
x +在实数范围内有意义? 知识点三:二次根式
(
)的非负性
(
)表示a 的算术平方根,也就是说,
(
)是一个非负数,即
0()。
注:因为二次根式()表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,
所以非负数(
)的算术平方根是非负数,即
0(
),这个性质也就是非负数的算术平方
根的性质,和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若,则a=0,b=0;
若
,则a=0,b=0;若
,则a=0,b=0。
例4(1)已知y=2x -+2x -+5,求
x
y
的值.(2)若1a ++1b -=0,求a 2004+b 2004的值 知识点四:二次根式()的性质
()
文字语言叙述为:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注:二次根式的性质公式
(
)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过
来应用:若,则,如:,.
例1 计算 1.(
32)2 2.(35)2 3.(56
)2
4.(72)2 例2在实数范围内分解下列因式:
(1)x 2-3 (2)x 4-4 (3) 2x 2-3 知识点五:二次根式的性质
文字语言叙述为:一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注: 1、化简
时,一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数,若是正数或0,则等于a 本身,
即;若a 是负数,则等于a 的相反数-a,即;
2、中的a 的取值范围可以是任意实数,即不论a 取何值,一定有意义;
3、化简时,先将它化成,再根据绝对值的意义来进行化简。
例1 化简
(19 (22(4)- (325 (42(3)-例2 填空:当a ≥02a ;当a<02a ,•并根据这一性质回答下列问题.
(1)若2a=a ,则a 可以是什么数?(2)若2a=-a,则a 是什么数?(3)2a >a,则a是什么数?
例3当x>2,化简2
(2)
x --2
(12)x
-.
知识点六:与的异同点
1、不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a的算术平方根的平方,而表
示一个实数a的平方的算术平方根;在中,而中a可以是正实数,0,负实数。但与都是非负数,即,。因而它的运算的结果是有差别的,,而
2、相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义,而. 知识点七:二次根式的乘除
1、a b=ab(a≥0,b≥0)ab=a·b(a≥0,b≥0)
2
a
b=
a
b(a≥0,b>0)
a
b=
a
b(a≥0,b>0)
(思考:b的取值与a相同吗?为什么?不相同,因为b在分母,所以不能为0)例1.计算
(1)57(2)
1
3
9(3927(4
1
2
6
例2 化简
(1916
⨯(21681
⨯(322
9x y(454
例3.判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正:
(1(4)(9)49
-⨯-=--
(2
12
4
25
25
12
25
25
12
25
25123
例4.计算:(1
12
3
(2
31
28
(3
11
416
(4
64
8
例5.化简:
(1
3
64
(2
2
2
64
9
b
a
(3
2
9
64
x
y
(4
2
5
169
x
y