我们知道，如果
当且仅当a=b 时上式取“=”号。
上面的结论可以推广到三个正数的情形，即：
如果a ，b ，c
当且仅当a=b=c 时上式取“=”号。
为了证明•式，我们先证明：
如果a ，b ，c 为正数，那么
3abc c b a 3
33≥++，
当且仅当a=b=c 时上式取“=”号。
证明：由6.3节例3的结论可知
2233ab b a b a +≥+ ， 同理可得
2233bc c b b +≥+c
2233ac c a a +≥+c ，ab c bc a ac b 222∗+∗+∗≥ 将2，3，4式两边分别相加，得
2(a 2+b 2+c 2)
22222ac c a c b ab b a ++++≥ =(a 2b+bc 2)+(ab 2+ac 2)+(b 2c+a 2c)
=b(a 2+c 2)+a(b 2+c 2)+(a 2+b 2)
2
2222ac c a c b ab b a ++++≥
=6abc
Q
333c b a ++≥ 显然，当且仅当a=b=c 时，
a2+b2+c2=3abc
我们在来证明1式。
Q a ，b ，c 均为正数
显然，当且仅当a=b=c 时取“=”号。
我们也把 分别叫做三个正数a ，b ，c 的算术平均数与几何平均数。 于是，1式可以说成：三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例 已知x ，y ，z 均为正数，求证
xyz z y x 27)(3≥++
即
xyz z y x 27)(3≥++
一般地，对于n 个正数a1，a2，…，a n (n>=2)我们把 n
a 2a 2a 1a n +…+++ 分别叫做这n 个正数的算术平均数与几何平均数，这时有
当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立，即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
