2014年全国各地中考数学真题分类解析汇编：13 二次函数

二次函数

一、选择题

1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二

次函数，下列说法错误的是（）

A．函数有最小值B．对称轴是直线x=

C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0

考点：二次函数的性质．

分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；

根据图形直接判断B；

根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；

根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．

解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；

B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；

C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；

D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．

故选D．

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．

2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）

A．B．C．D．

考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．

分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．

解答：解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．

故选B．

点评：本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．

3．(2014年四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：

①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），

其中正确结论的个数是（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．

解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，

∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；

∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，

∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，

∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，

∴4a+c＞2b，∴②错误；

∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，

∴2a+2b+2c＜0，

∵b=2a，

∴3b，2c＜0，∴③正确；

∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，

∴y=a﹣b+c的值最大，

即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，

∴am2+bm+b＜a，

即m（am+b）+b＜a，∴④正确；

即正确的有3个，

点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表示一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．

4．(2014年天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x 的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：

①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．

其中，正确结论的个数是（）

A．0 B．1C．2D．3

考点：二次函数图象与系数的关系．

分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；

先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；

一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为

y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．

解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，故①正确；

②∵抛物线的开口向下，

∴a＜0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∵对称轴x=﹣＞0，

∴ab＜0，

∵a＜0，

∴abc＜0，故②正确；

③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，

∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，

由图可得，m＞2，故③正确．

故选D．

点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

﹣

，的顶点坐标是（﹣，

6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）

或C或或﹣或