共点力的动态平衡问题

[方法二：图解法]
通过做研究对象的受力图，根据合成分解的示意图由图中 线段长度变化来讨论力大小的变化。
此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另有一个 力方向不变的问题。Βιβλιοθήκη Baidu般按照以下流程解题。
受力 化“动”为“静” 画不同状态 “静”中求“动” 确定力 ―――――――→ ――――――――→ 分析 下的平衡图 的变化
3.(多选)(2017· 濮阳模拟)如图所示， 一辆 小车静止在水平地面上，车内固定着 一个倾角为 60° 的光滑斜面 OA，光滑 挡板 OB 可绕转轴 O 在竖直平面内转 动，现将一质量为 m 的圆球放在斜面与挡板之间，挡板与水 平面的夹角 θ＝60° ，下列说法正确的是( 的压力逐渐增大 B．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动 60° ，则球对挡板 的压力逐渐减小 C．若保持挡板不动，则球对斜面的压力大小为 mg D．若保持挡板不动，使小车水平向右做匀加速直线运动，则 球对挡板的压力可能为零 ) A．若挡板从图示位置顺时针方向缓慢转动 60° ，则球对斜面
解析：若挡板从图示位置顺时针方向缓慢 转动 60° ，根据图像可知，FB 先减小后增 大， FA 逐渐减小， 根据牛顿第三定律可知， 球对挡板的压力先减小后增大， 球对斜面的压力逐渐减小， 故选项 A、B 错误；球处于静止状态，受力平衡，对球进行受力分析，FA、 FB 以及 G 构成的三角形为等边三角形，根据几何关系可知，FA＝ FB＝mg，故选项 C 正确；若保持挡板不动，使小车水平向右做匀 加速直线运动，当 FA 和重力 G 的合力正好提供加速度时，球对挡 板的压力为零，故选项 D 正确。 答案：CD
解析：由 C 到 B 时，两绳夹角不变，故绳子拉力不变，由 B θ 到 D 时，两绳夹角增大，2FTcos ＝mg，绳子拉力增大。 2 答案：A
3.(2017· 宝鸡质检)如图所示，质量为 M 的木 块 A 套在粗糙水平杆上， 并用轻绳将木块 A 与质量为 m 的小球 B 相连。现用水平力 F 将小球 B 缓慢拉起，在此过程中木块 A 始终静止不动。假设杆 对 A 的支持力为 FN，杆对 A 的摩擦力为 Ff，绳中张力为 FT， 则此过程中 A．F 增大 C．FT 减小 B．Ff 不变 D．FN 减小 ( )
解析：设物体的重力为 G。以 B 点为研究对 象，分析受力情况，绘出受力分析图，如图 所示：作出力 FN 与 F 的合力 F2，根据平衡 条件得知，F2＝F1＝G。由△F2FNB∽△OBA FN AB AB 得 ＝AO， 解得 FN＝AOG， 式中， AB、 AO、 F2 FN G 不变，则 FN 保持不变，C、D 错误；由△F2FNB∽△OBA 得AB F ＝OB，OB 减小，则 F 一直减小，A 错误，B 正确。 答案：B
用力的矢量三角形分析力的最小值问题 (1)若已知 F 合的方向、大小及一个分力 F1 的方向，则另 一分力 F2 的最小值的条件为 F1⊥F2。 (2)若已知 F 合的方向及一个分力 F1 的大小、方向，则另 一分力 F2 的最小值的条件为 F2⊥F 合。
[集训冲关]
1.如图所示，用 OA、OB 两根轻绳将物体悬于两 竖直墙之间，开始时 OB 绳水平。现保持 O 点 位置不变， 改变 OB 绳长使绳末端由 B 点缓慢上 移至 B′点， 此时 OB′与 OA 之间的夹角 θ<90° 。 设此过程中 OA、OB 的拉力分别为 FOA、FOB，下列说法正确的 是 A．FOA 逐渐增大 C．FOB 逐渐增大 B．FOA 逐渐减小 D．FOB 逐渐减小 ( )
[典例]
如图所示，小球用细绳系住放在
倾角为 θ 的光滑斜面上，当细绳由水平方向逐 渐向上偏移时，细绳上的拉力将 A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ( )
[解析]
因为 G、FN、FT 三力共点
平衡，故三个力可以构成一个矢量三角 形，如图所示，G 的大小和方向始终不 变，FN 的方向不变，大小可变，FT 的大 小、方向都在变，在绳向上偏移的过程中，可以作出一系列 矢量三角形，显而易见在 FT 变化到与 FN 垂直前，FT 是逐渐 变小的，然后 FT 又逐渐变大。故正确答案为 D。 [答案] D
[解析] 对物块受力分析， 建立如图所 示的坐标系。由平衡条件得， Fcos θ－Ff＝0， FN－(mg＋Fsin θ)＝0， μmg 又 Ff＝μFN，联立可得 F＝ ， cos θ－μsin θ 可见，当 θ 减小时，F 一直减小，B 正确；摩擦力 Ff＝μFN ＝μ(mg＋Fsin θ)，可知,当 θ、F 减小时,Ff 一直减小 。 [答案] B
解析：先以 B 为研究对象，小球 受到重力、水平力 F 和轻绳的拉 力 FT，如图甲所示，由平衡条件 mg 得：FT＝ ，F＝mgtan θ，θ cos θ 增大，FT 增大，F 增大。再以整体为研究对象，受力分析图 如图乙所示，根据平衡条件得：Ff＝F，则 Ff 逐渐增大。FN ＝(M＋m)g，即 FN 保持不变，故选 A 项。 答案：A
[方法三：相似三角形法]
在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向 都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角 形与空间几何三角形相似， 可利用相似三角形对应边成比例进行 计算。
[典例]
(2017· 商丘模拟)如图所示，固定在竖
直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。 质量为 m 的小球套在圆环上。 一根细线的下端系着 小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小 球沿圆环缓慢上移，在移动过程中手对线的拉力 F 和轨道对小球 的弹力 FN 的大小变化情况是 A．F 不变，FN 增大 C．F 减小，FN 不变 ( B．F 不变，FN 减小 D．F 增大，FN 减小 )
2.(2017· 南昌模拟)如图所示， 质量均可忽略的 轻绳与轻杆承受弹力的最大值一定， 杆的 A 端用铰链固定，光滑轻小滑轮在 A 点正上 方， B 端吊一重物 G， 现将绳的一端拴在杆 的 B 端，用拉力 F 作用在绳的另一端将 B 端缓慢上拉，在 AB 杆达到竖直前(均未断)，关于绳子的拉力 F 和杆受的弹 力 FN 的变化，判断正确的是 A．F 变大 C．FN 变大 B．F 变小 D．FN 变小 ( )
解析：球 B 受力情况如图所示，墙对球 B 的 作用力及 A 对球 B 的作用力的合力与 F 及 重力的合力大小相等，方向相反，故当 F 增 大时，B 对 A 的压力增大，即 F2 增大，同理 可知，墙对 B 的作用力 F1 增大；对整体分析，整体竖直方向 受重力、支持力及压力 F，水平方向受墙的作用力 F1 和地面 对 A 的摩擦力为 F3 而处于平衡， 由平衡条件得， 当 F 增大时， 地面对 A 的摩擦力 F3 增大，故选项 C 正确。 答案：C
[解析]
小球沿圆环缓慢上移可看作静止，对
小球进行受力分析， 作出受力示意图如图所示，由 G F FN 图可知△OAB∽△GFA 即：R ＝AB＝ R ，当 A 点 上移时，半径不变，AB 长度减小，故 F 减小，FN 不变，故 C 正确。 [答案] C
物体受三个力平衡时，这三个力通过平移可以组成封闭 的三角形，这个三角形是矢量三角形，如果通过画辅助线可 以得到一个几何三角形，并且这两个三角形相似，则可以用 相似三角形法解答这类平衡问题。
[集训冲关]
1.如图所示，A、B 为同一水平线上的两个绕绳 装置，转动 A、B 改变绳的长度，使光滑挂钩 下的重物 C 缓慢竖直下降。 关于此过程中绳上 拉力大小的变化，下列说法中正确的是( A．不变 C．逐渐增大 B．逐渐减小 D．可能不变，也可能增大 )
解析：当光滑挂钩下的重物 C 缓慢下降时，设绳 AC 和 BC 与竖直方向的夹角为 α，绳的拉力为 F，绳 AC 和 BC 在水平 方向上的分力均为 Fx＝Fsin α，大小相等，方向相反，是一 对平衡力。绳 AC 和 BC 在竖直方向的分力都为 Fy＝Fcos α， 两绳的合力与重力是一对平衡力，所以 2Fy＝2Fcos α＝mg， mg 即 F＝ ，重物 C 缓慢下降时，α 角逐渐减小，所以两绳 2cos α 的拉力 F 都不断减小，选项 B 正确。 答案：B
解析：以小球 B 为研究对象，分析受力情况， 如图所示。 由平衡条件可知， 弹簧的弹力 F 和 绳子的拉力 T 的合力 F 合与重力 mg 大小相等， 方向相反，即 F 合＝mg，作出力的合成如图， G F T 由三角形相似得：AO＝AB＝OB。当弹簧劲度系数变大时， 弹簧的压缩量减小，故长度 AB 增加，而 OB、OA 的长度不 变，故 T1＝T2，F2>F1；故 A、D 错误，B、C 正确。 答案：BC
共点力作用下的动态平衡问题
[方法一：解析法]
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据 物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数 表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
[典例]
如图所示， 与水平方向
成 θ 角的推力 F 作用在物块上，随 着 θ 逐渐减小直到水平的过程中， 物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力， 下列判断正确的是 A．推力 F 先增大后减小 B．推力 F 一直减小 C．物块受到的摩擦力先减小后增大 D．物块受到的摩擦力一直不变 ( )
[集训冲关] 1.(多选)(2017· 开封模拟)如图所示，质量均为 m
的小球 A、B 用劲度系数为 k1 的轻弹簧相连，B 球用长为 L 的细绳悬于 O 点，A 球固定在 O 点 正下方，当小球 B 平衡时，绳子所受的拉力为 T1，弹簧的弹力为 F1；现把 A、B 间的弹簧换成原长相同但劲度 系数为 k2(k2>k1)的另一轻弹簧， 在其他条件不变的情况下仍使系 统平衡，此时绳子所受的拉力为 T2，弹簧的弹力为 F2，则下列 关于 T1 与 T2、F1 与 F2 大小之间的关系，正确的是( A．T1>T2 C．F1<F2 B．T1＝T2 D．F1＝F2 )
2.(2017· 新乡模拟)如图所示为建筑工地一个小型起 重机起吊重物的示意图。一根轻绳跨过光滑的动 滑轮，轻绳的一端系在位置 A 处，动滑轮的下端 挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩 C 处，起吊重物前，重物处于静止状态。起吊重物 过程是这样的： 先让吊钩从位置 C 竖直向上缓慢地移动到位置 B，然后再让吊钩从位置 B 水平向右缓慢地移动到 D，最后把 重物卸在某一个位置。则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下 列说法正确的是 ( ) A．吊钩从 C 向 B 移动过程中，轻绳上的拉力不变 B．吊钩从 B 向 D 移动过程中，轻绳上的拉力变小 C．吊钩从 C 向 B 移动过程中，轻绳上的拉力变大 D．吊钩从 B 向 D 移动过程中，轻绳上的拉力不变
解析：以结点 O 为研究对象，受力如图所示， 根据平衡条件知，两根绳子的拉力的合力与重 力大小相等、方向相反，绘出轻绳 OB 在两个 位置时力的合成图如图，由图看出，FOA 逐渐 减小，FOB 先减小后增大，当 θ＝90° 时，FOB 最小，选项 B 正确。 答案：B
2． (2017· 益阳模拟)在粗糙水平地面上与墙平 行放着一个截面为半圆的柱状物体 A，A 与竖直墙面间放一光滑圆球 B， 整个装置 处于静止状态。 现对 B 施加一竖直向下的 力 F，F 的作用线通过球心，设墙对 B 的作用力为 F1，B 对 A 的作用力为 F2，地面对 A 的摩擦力为 F3。若 F 缓慢增大而 整个装置仍保持静止，截面如图所示，在此过程中 A．F1 保持不变，F3 缓慢增大 B．F1 缓慢增大，F3 保持不变 C．F2 缓慢增大，F3 缓慢增大 D．F2 缓慢增大，F3 保持不变 ( )