微专题 导数与极值最值

微专题 导数与函数的极值最值

内容回顾

1.函数的极小值：

函数)(x f y =在点a x =的函数值)(a f 比它在点a x =附近其他点的函数值都小，)(a f '＝0；而且在点

a x =附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则点a 叫做函数)(x f y =的极小值点，)(a f 叫做函数

)(x f y =的极小值．

2函数的极大值：

函数)(x f y =在点b x =的函数值)(b f 比它在点b x =附近的其他点的函数值都大，0)(='b f ；而且在点b x =附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则点b 叫做函数)(x f y =的极大值点，)(b f 叫做函数

)(x f y =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

3.若可导函数()y f x =在 0x x =

处取得极值是0()0f x '=的必要条件。

4.()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或()f x '0≤在I 上恒成立

5．函数的最值

(1)在闭区间],[b a 上连续的函数f(x)在],[b a 上必有最大值与最小值．

(2)若函数)(x f y =在],[b a 上单调递增，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数

)(x f y =在],[b a 上单调递减，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值．

典型例题

题型一：已知图形判断函数极值

1．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )

A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)

B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)

C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)

D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)

解析：选D 由图可知，当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当1＜x ＜2时，f ′(x )＜0；当x ＞2时，f ′(x )＞0.由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值． 题型二：求函数的极值

2．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R)．

(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．

解：由题意知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x

.

(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2

x (x ＞0)，因为f (1)＝1，f ′(1)＝－1，

所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －a

x

，x ＞0知：

①当a ≤0时，f ′(x )＞0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a ＞0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .

又当x ∈(0，a )时，f ′(x )＜0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，

从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值．

综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值． 题型三：已知函数的极值求参数的范围

3．(2016·江西八校联考)已知函数f (x )＝x (ln x －ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B.)2

1

,0( C ．(0,1) D ．(0，＋∞)

解1由题知，x ＞0，f ′(x )＝ln x ＋1－2ax ，由于函数f (x )有两个极值点，则f ′(x )＝0有两个不等的正根，即函数y ＝ln x ＋1与y ＝2ax 的图象有两个不同的交点(x ＞0)，则a ＞0；设函数y ＝ln x ＋1上任一点(x 0,1＋ln x 0)处的切线为l ，则k t ＝y ′＝1x 0，当l 过坐标原点时，1x 0＝1＋ln x 0

x 0⇒x 0

＝1，令2a ＝1⇒a ＝12，结合图象知0＜a ＜1

2

，故选B.

优解：∵f (x )＝x (ln x －ax )，∴f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，故f ′(x )在(0，＋∞)上有两个不同的零点，令f ′(x )＝0，则2a ＝ln x ＋1x ，设g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝－ln x

x 2，∴g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调

递减，又∵当x →0时，g (x )→－∞，当x →＋∞时，g (x )→0，而g (x )max ＝g (1)＝1，∴只需0＜2a ＜1⇒0＜a ＜1

2. 故选B. 题型四 求函数的最值

4.(2018·大连高三试题)已知函数f (x )＝x －e ax (a ＞0)． (1)求函数f (x )的单调区间；

(2)求函数f (x )在]2,1[a

a 上的最大值．

解：(1)f (x )＝x －e ax (a ＞0)，则f ′(x )＝1－a e ax ，令f ′(x )＝1－a e ax ＝0，则x ＝1a ln 1a .

当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：