人教数学 锐角三角函数的专项 培优练习题含详细答案
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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O
于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G.
(1)求证:△PAC∽△PDF;
(2)若AB=5,,求PD的长;
(3)在点P运动过程中,设=x,tan∠AFD=y,求y与x之间的函数关系式.(不要求写出x的取值范围)
【答案】(1)证明见解析;(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)应用圆周角定理证明∠APD=∠FPC,得到∠APC=∠FPD,又由∠PAC=∠PDC,即可证明结论.
(2)由AC=2BC,设,应用勾股定理即可求得BC,AC的长,则由AC=2BC得
,由△ACE∽△ABC可求得AE,CE的长,由可知△APB是等腰直角三角形,从而可求得PA的长,由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,从而求得DF的长,
由(1)△PAC∽△PDF得,即可求得PD的长.
(3)连接BP,BD,AD,根据圆的对称性,可得,由角的转换可得
,由△AGP∽△DGB可得,由△AGD∽△PGB可得,两式相乘可得结果.
试题解析:(1)由APCB内接于圆O,得∠FPC=∠B,
又∵∠B=∠ACE=90°-∠BCE,∠ACE=∠APD,∴∠APD=∠FPC.
∴∠APD+∠DPC=∠FPC+∠DPC,即∠APC=∠FPD.
又∵∠PAC=∠PDC,∴△PAC∽△PDF.
(2)连接BP,设,∵∠ACB=90°,AB=5,
∴.∴.
∵△ACE∽△ABC,∴,即. ∴.
∵AB⊥CD,∴.
如图,连接BP,
∵,∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB=45°,.
∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.
由(1)△PAC∽△PDF得,即.
∴PD的长为.
(3)如图,连接BP,BD,AD,
∵AC=2BC,∴根据圆的对称性,得AD=2DB,即.
∵AB⊥CD,BP⊥AE,∴∠ABP=∠AFD.
∵,∴.
∵△AGP∽△DGB,∴.
∵△AGD∽△PGB,∴.
∴,即.
∵,∴.
∴与之间的函数关系式为.
考点:1.单动点问题;2.圆周角定理;3.相似三角形的判定和性质;4.勾股定理;5.等腰直
角三角形的判定和性质;6.垂径定理;7.锐角三角函数定义;8.由实际问题列函数关系式.
2.如图,已知正方形在直角坐标系中,点分别在轴、轴的正半轴上,点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点,分别在上,且
将三角板绕点逆时针旋转至的位置,连结
(1)求证:
(2)若三角板绕点逆时针旋转一周,是否存在某一位置,使得若存在,请求出此时点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在,或
【解析】
(1)证明:∵四边形为正方形,∴
∵三角板是等腰直角三角形,∴
又三角板绕点逆时针旋转至的位置时,∴···························· 3分
(2)存在.································· 4分
∵
∴过点与平行的直线有且只有一条,并与垂直,
又当三角板绕点逆时针旋转一周时,则点在以为圆心,以为半径的圆上,
························ 5分
∴过点与垂直的直线必是圆的切线,又点是圆外一点,过点与圆相切的直线有且只有2条,不妨设为和
此时,点分别在点和点,满足
·························· 7分
当切点在第二象限时,点在第一象限,
在直角三角形中,
∴∴
∴点的横坐标为:
点的纵坐标为:
∴点的坐标为··························· 9分
当切点在第一象限时,点在第四象限,
同理可求:点的坐标为
综上所述,三角板绕点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得此时点的坐标为或································ 11分
(1)根据旋转的性质找到相等的线段,根据SAS定理证明;
(2)由于△OEF是等腰Rt△,若OE∥CF,那么CF必与OF垂直;在旋转过程中,E、F的轨迹是以O为圆心,OE(或OF)长为半径的圆,若CF⊥OF,那么CF必为⊙O的切线,且切点为F;可过C作⊙O的切线,那么这两个切点都符合F点的要求,因此对应的E点也有两个;在Rt△OFC中,OF=2,OC=OA=4,可证得∠FCO=30°,即∠EOC=30°,已知了OE 的长,通过解直角三角形,不难得到E点的坐标,由此得解.
3.如图(1),已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上,E是BC上一点,以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG.
(1)连接GD,求证:△ADG≌△ABE;
(2)连接FC,观察并直接写出∠FCN的度数(不要写出解答过程)
(3)如图(2),将图中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=6,BC=8,E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG,使顶点G恰好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,∠FCN的大小是否总保持不变,若∠FCN的大小不变,请求出tan∠FCN的值.若∠FCN的大小发生改变,请举例说明.