山东省济南市山东省实验中学2024届高三上学期第三次诊断考试数学试题

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试

数学试题

注意事项：

1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形

2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷

为第3页至第4页．

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号．

4．非选择题的作答：用0.m加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试

卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

第Ⅰ卷(共60分)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的．

1.已知集合M=x

x2-x-2<0



，N=x∈Z

2x+1>0



，则M∩N=

A.-1

2,3

2

B.-1

2,1

C.{0,1,2}D.{0,1}

2.已知复数z满足1+2i

z=3-2i，则复数z的实部为

A.8

5B.-8

5C.1

5D.-1

5

3.数列a

n满足a

n+1=a2

n，n∈N*

，则“a

1=2”是“a

n为单调递增数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中

任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为

A.2

9B.8

27C.4

9D.1

2

5.如图在正方体ABCD-A

1B

1C

1D

1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC

1上，

直线OP与平面A

1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是

A.3

3,1



B.6

3,1





C.63,22

3



D.223,

1





6.如图，F

1、F

2是双曲线C：x2

a2-y2

b2=1a>0,b>0

的左、右焦点，过F

2的直线与双

曲线C交于A、B两点.若A是BF

2中点且BF

1⊥BF

2则该双曲线的渐近线方程为

A.y=±23xB.y=±22x

C.y=±3xD.y=±2x

高三数学第1页（共4页）

7.已知函数fx

=

2-ax,x≤

1

1

3x3-3

2ax2+2a

2+2

x-11

6,x>1



，若对任意x

1

2都有fx

1-fx

2<2x

1-

2x

2，则实数a的取值范围是

A.-∞,-2

B.1,

+∞

C.-2,1

2



D.-∞,-3

4



8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大

半径为

A.

3

3B.

2

6C.

6

12D.6

6

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9.一组数据a

1,a

2,⋯,a

2023(a

1

2

3<⋯

2023)，记其中位数为k，均值为m，标准差为s

1，由其得到新数据

2a

1+1,2a

2+1,2a

3+1,⋯,2a

2023+1的标准差为s

2，下列结论正确的是

A.k=a

1012B.a

1011

1012C.m≥kD.s

2=2s

1

10.已知函数fx

=sinωx+φ

ω>0,φ

<π

2,x

1,x

2为fx

的两个极值点，且x

1-x

2的最小值为π

2，直

线x=π

3为fx

图象的一条对称轴，将fx

的图象向右平移π

12个单位长度后得到函数gx

的图象，下列

结论正确的是

A.ω=4B.φ=-π

6

C.fx

在间-π

6,0



上单调递增D.gx

图象关于点π

6,0

对称

11.已知函数fx

=2sinπx,0≤x≤2

1

2fx-2

,x>2



，下列说正确的是

A.当x∈2n,2n+2

n∈N*

时，fx

=1

2nsinπx-2n



B.函数fx

在2n,2n+1

2



n∈N*

上单调递增

C.方程fx

=lgx+2

有4个相异实根

D.若关于x的不等式fx

≤kx-2

在2,4

恒成立，则k≥1

12.圆柱OO

1高为1，下底面圆O的直径AB长为2，BB

1是圆柱OO

1的一条母线，点P,Q分别在上、下底面内

(包含边界)，下列说法正确的有()．

A.若PA+PB=3，则P点的轨迹为圆

B.若直线OP与直线OB

1成45°，则P的轨迹是抛物线的一部分

C.存在唯一的一组点P,Q，使得AP⊥PQ

D.AP+PQ+QB

1的取值范围是[13,23+5]

高三数学第2页（共4页）

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知点A-1,1

，B3,y

，向量a

=1,2

，若AB

与a

成锐角，则y

的取值范围为．

14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面(与上、下底面平行且等距的平面)把圆台分为上、下

两个部分，其侧面积的比为1:2，则R=．

15.若关于x的不等式x2+1

ex≥ax2在0,+∞

恒成立，则实数a的取值范围是．

16.已知椭圆C:x2

a2+y2

b2=1a>b>0

，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M

横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为

．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinC+sinB

c-b

=

asinA-sinB

．

(1)求角C的大小

(2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=2，AD=2DB，求△ABC的面积．

18.如图，三棱锥S-ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC⊥平面ABC，点P在侧棱

SA上．

(1)当P为侧棱SA的中点时，求证：SA⊥平面PBC；

(2)若二面角P-BC-A的大小为60°，求PA

SA的值．

19.已知在数列a

n中，a

1=1,a

n+1=2n+1



na

n⋅n∈N*



(1)求数列a

n的通项公式；

(2)若数列b

n的通项公式b

n=a

n

n在b

k和

b

k+1之间插入k个数，使这k+2个数组成等差数列，将插入的k个

数之和记为c

k，其中k=1，2，⋯，n，求数列c

n的前n项和．

高三数学第3页（共4页）20.某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在

学校就餐，近一个月(30天)选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况(午餐，晚餐)A,A

A,B

B,A

B,B



王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．

(1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；

(2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望EX

；

(3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，PM

>0，已知推出优惠

套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．

PMN

>РMN

．

21.已知函数fx

=lnx，gx

=ex．

(1)若函数φx

=fx

-x+1

x-1，求函数φx

的单调区间；

(2)设直线l为函数fx

的图象上一点Ax

0,fx

0处的切线．证明：在区间1,+∞

上存在唯一的x

0，使得

直线l与曲线y=gx

相切．

22.已知动圆过点F(0,1)，且与直线l:y=-1相切，设动圆圆心D的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)过l上一点P作曲线C的两条切线PA,PB，A,B为切点，PA,PB与x轴分别交于M，N两点．记

△AFM，△PMN，△BFN的面积分别为S

1、S

2、S

3．

(ⅰ)证明：四边形FNPM为平行四边形；

(ⅱ)求S2

2

S

1S

3的值．

高三数学第4页（共4页）