概率论与数理统计试题及答案.docx

考试时间120分钟班级姓名学号

题号一二 (1)二(2)二(3)二 (4)二 (5)三四五总分

成绩

成绩评卷人

一 .填空题（每题 3 分，共 24 分）

1．设 A 、 B 为随机事件，P (A)=0.5 ， P(B)=0.6 ，P(B A)=0.8.则 P(B U A) .

2.三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、 1/4、 1/3，此密码能被译出的概率是=.

3.设随机变量X :(,2)，Y e X，则 Y 的分布密度函数为.

4.设随机变量X :(,2 ) ，且二次方程 y 2 4 y X0 无实根的概率等于，则.

5.设D(X )16, D(Y)25，XY0.3 ，则 D(X Y) =.

6.掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为.

7.某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是 1两，标准差是两 .则 100个该型号螺丝钉重量不超过斤的概率近似为（答案用标准正态分布函数表示）.

8.设X1, X2,L X5是来自总体X :(0,1) 的简单随机样本，统计量

C(X1X2) / X32X 42X52 ~ t (n) ，则常数 C =,自由度n.

二计算题（共 50 分）

成绩评卷人

1.（ 10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽) ，从

袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率

是多少？

成绩评卷人

2.（ 10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概

率密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过 10分钟，他就离开 .他一个月到银行 5 次 .以Y表示一个月内他未等到服

务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求P{Y 1} .

成绩评卷人 3.（ 10分）设二维随机变量( X , Y) 在边长为 a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：

(1)求随机变量 X ,Y 的边缘概率密度；

(2) 求条件概率密度 f X |Y (x | y) .

.

成绩评卷人

4.（ 10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从(160,202) 分布，随机的选

取四只，求其中没有一只寿命小于180 小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.

成绩评卷人 5.（ 10分）某车间生产的圆盘其直径在区间( a, b) 服从均匀分布,试求圆盘面积的数学期望 .

成绩评卷人

三.（10分）设

X1, X 2,L X n是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为

其中,0 是未知参数，x1, x2 ,L , x n是一组样本值，求：

（ 1）

（ 2）

, ,

的矩法估计；

的极大似然估计 .

成绩

评卷人

四 .（ 8 分）假设 ?

是 的无偏估计，且有 D (

?

) 0 试证

?2

( ?

) 2 不是 2 的无偏估

计 .

成绩

评卷人

五（. 8 分）设 X 1, X 2 ,L

, X n 是来自总体 X~N(

1 ,

1

2

) 的一组样本， Y 1, Y 2 ,L , Y n

2

1

是来自总体 Y ~ N( 2,

2

2

) 的

一组样本，两组样本独立

.其样本方差分别为 S 12

, S 22

，且设

1, 2,

12 , 22

均为未知 .欲检验假设

2

2

2 2

事先给定 .试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点

H 0: 1

2，H 1:

1

2 ，显着性水平

由分位点给出） .

评分标准

一：填空题 :( 每小题 3 分 )

1. 0.7;

1/( 2 y).exp{

1/(2 2 ).[ln y ]2 } y 0

(2) 3/ 2 二：计算题

1. 解：记 A: 取得正品硬币； B ：投掷 r 次，每次都得到国徽；

取 { A, A} 作为样本空间的划分 . 2. 解：某一次在窗口等待时间超过

10 分钟的概率记为

P ，

注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试验得不到服务的概率为

e 2 .

所以 Y ~ B(5, e 2 ) ，即 3. 解：

a / 2 |x|

2

2

(1)

f X ( x) f ( x, y)dy

1/ a dy

a 2 (a / 2 | x |) | x | a / 2

a / 2 | x|

其它

由对称性

(2) 当 | y | a /

2 时，有

4. 解：记取出的四只电子管寿命分别为 X 1,X 2,X 3, X 4 ，所求概率为

P ，则

5. 解：记圆盘面积为 S ，圆盘直径为

R ，则 S

(1/ 4) R 2 ，

由随机变量函数的数学期望的计算方法有 三：解：

（ 1） 矩法估计量

E(X) ( ) X 令

2 )

(

)

2

2

A

E( X

2

解之得

,

的矩法估计量 :

（ 2） 极大似然估计