第二十一章 一元二次方程
21.1 一元二次方程
1、 了解一元二次方程的概念,应用一元二次方程概念解决一些简单问题. 2.掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念. 3.会进行简单的一元二次方程的试解;理解方程解的概念.
重点:一元二次方程的概念及其一般形式;一元二次方程解的探索.
难点:由实际问题列出一元二次方程;准确认识一元二次方程的二次项与系数以及一次项与系数及常数项.
一、自学指导.(10分钟) 问题1:
如图,有一块矩形铁皮,长100 cm ,宽50 cm ,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析:设切去的正方形的边长为x cm ,则盒底的长为__(100－2x)cm __,宽为__(50－2x)cm __.列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__,化简整理,得__x 2－75x ＋350＝0__.①
问题2:要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地与时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析:全部比赛的场数为__4×7＝28__.
设应邀请x 个队参赛,每个队要与其她__(x －1)__个队各赛1场,所以全部比赛共
x(x －1)
2__场.列方程__x(x －1)
2
＝28__,化简整理,得__x 2－x －56＝0__.②
探究:
(1)方程①②中未知数的个数各就是多少？__1个__. (2)它们最高次数分别就是几次？__2次__.
归纳:方程①②的共同特点就是:这些方程的两边都就是__整式__,只含有__一个__未知数(一元),并且未知数的最高次数就是__2__的方程.
1.一元二次方程的定义
等号两边都就是__整式__ ,只含有__一__个未知数(一元),并且未知数的最高次数就是__2__(二次)的方程,叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式:
ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0).
这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中__ax 2__就是二次项,__a__就是二次项系数,__bx__就是一次项,__b__就是一次项系数,__c__就是常数项.
点拨精讲:二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号.二次项系数a ≠0就是一个重要条件,不能漏掉.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
1.判断下列方程,哪些就是一元二次方程？ (1)x 3－2x 2＋5＝0; (2)x 2＝1; (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋3
5
;
(4)2(x ＋1)2＝3(x ＋1);
(5)x 2－2x ＝x 2＋1; (6)ax 2＋bx ＋c ＝0、 解:(2)(3)(4).
点拨精讲:有些含字母系数的方程,尽管分母中含有字母,但只要分母中不含有未知数,这样的方程仍然就是整式方程.
2.将方程3x(x －1)＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.
解:去括号,得3x 2－3x ＝5x ＋10、移项,合并同类项,得3x 2－8x －10＝0、其中二次项系数就是3,一次项系数就是－8,常数项就是－10、
点拨精讲:将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(8分钟) 1.求证:关于x 的方程(m 2－8m ＋17)x 2＋2mx ＋1＝0,无论m 取何值,该方程都就是一元二次方程.
证明:m 2－8m ＋17＝(m －4)2＋1, ∵(m －4)2≥0,
∴(m －4)2＋1>0,即(m －4)2＋1≠0、
∴无论m 取何值,该方程都就是一元二次方程.
点拨精讲:要证明无论m 取何值,该方程都就是一元二次方程,只要证明m 2－8m ＋17≠0即可.
2.下面哪些数就是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根？ －4,－3,－2,－1,0,1,2,3,4、
解:将上面的这些数代入后,只有－2与－3满足等式,所以x ＝－2或x ＝－3就是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的两根.
点拨精讲:要判定一个数就是否就是方程的根,只要把这个数代入等式,瞧等式两边就是否相等即可.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(9分钟) 1.判断下列方程就是否为一元二次方程. (1)1－x 2＝0; (2)2(x 2－1)＝3y;
(3)2x 2－3x －1＝0; (4)1x 2－2
x
＝0;
(5)(x ＋3)2＝(x －3)2; (6)9x 2＝5－4x 、 解:(1)就是;(2)不就是;(3)就是; (4)不就是;(5)不就是;(6)就是.
2.若x ＝2就是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根,求a 的值. 解:∵x ＝2就是方程ax 2＋4x －5＝0的一个根, ∴4a ＋8－5＝0, 解得a ＝－3
4
、
3.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式:
(1)4个完全相同的正方形的面积之与就是25,求正方形的边长x; (2)一个长方形的长比宽多2,面积就是100,求长方形的长x 、 解:(1)4x 2＝25,4x 2－25＝0;(2)x(x －2)＝100,x 2－2x －100＝0、
学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)
1.一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0),特别强调a ≠0、
3.要会判断一个数就是否就是一元二次方程的根.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
21.2 解一元二次方程 21.2、1 配方法(1)
1、 使学生会用直接开平方法解一元二次方程.
2、 渗透转化思想,掌握一些转化的技能.
重点:运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程;领会降次——转化的数学思想. 难点:通过根据平方根的意义解形如x 2＝n(n ≥0)的方程,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程.
一、自学指导.(10分钟)
问题1:一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm 2,小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面,您能算出盒子的棱长不？
设正方体的棱长为x dm ,则一个正方体的表面积为__6x 2__dm 2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:
__10×6x 2＝1500__, 由此可得__x 2＝25__,
根据平方根的意义,得x ＝__±5__, 即x 1＝__5__,x 2＝__－5__.
可以验证__5__与－5都就是方程的根,但棱长不能为负值,所以正方体的棱长为__5__dm 、
探究:对照问题1解方程的过程,您认为应该怎样解方程(2x －1)2＝5及方程x 2＋6x ＋9＝4?
方程(2x －1)2＝5左边就是一个整式的平方,右边就是一个非负数,根据平方根的意义,可将方程变形为__2x －1＝±5__,即将方程变为__2x －1＝5与__2x －1＝－5__两个一元一次方程,从而得到方程(2x －1)2＝5的两个解为x 1＝__1＋52,x 2＝__1－5
2
__.
在解上述方程的过程中,实质上就是把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次
方程,这样问题就容易解决了.
方程x 2＋6x ＋9＝4的左边就是完全平方式,这个方程可以化成(x ＋__3__)2＝4,进行降次,得到 __x ＋3＝±2__ ,方程的根为x 1＝ __－1__,x 2＝__－5__、
归纳:在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x 2＝p(p ≥0)或(mx ＋n)2＝p(p ≥0)的形式,那么可得x ＝±p 或mx ＋n ＝±p 、
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
