数学八年级上册 期中精选试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．在ABC ∆中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与点,B C 重合），以AD 为腰作等腰直角DAF ∆，使90DAF ∠=︒，连接CF ．
（1）观察猜想
如图1，当点D 在线段BC 上时，
①BC 与CF 的位置关系为__________；
②CF DC BC 、、之间的数量关系为___________（提示：可证DAB FAC ∆≅∆）
（2）数学思考
如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中的①、②结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明；
（3）拓展延伸
如图3，当点D 在线段BC 的延长线时，将DAF ∆沿线段DF 翻折，使点A 与点E 重合，连接CE CF 、，若4,22CD BC AC ==CE 的长．（提示：做AH BC ⊥于H ，做EM BD ⊥于M ）
【答案】（1）①BC ⊥CF ；②BC ＝CF ＋DC ；（2）C ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC ，证明详见解析；（3）32【解析】
【分析】
（1）①根据正方形的性质得，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC （SAS ）；②由正方形ADEF 的性质可推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质可得到=CF BD ，ACF ABD ∠=∠ ，根据余角的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠BAC ＝∠DAF ＝90°，推出△DAB ≌△FAC ，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论；
（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，证明ADH DEM △≌△ ，推出3EM DH == ，2DM AH == ，推出3CM EM == ，即可解决问题．
【详解】
（1）①正方形ADEF 中，AD AF =
∵90BAC DAF ==︒∠∠
∴BAD CAF ∠=∠
在△DAB 与△FAC 中
AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴()DAB FAC SAS △≌△
∴B ACF ∠=∠
∴90ACB ACF +=︒∠∠ ，即BC CF ⊥ ；
②∵DAB FAC △≌△
∴=CF BD
∵BC BD CD =+
∴BC CF CD =+
（2）BC ⊥CF 成立；BC ＝CF ＋DC 不成立，正确结论：DC ＝CF ＋BC
证明：∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形
∴AB ＝AC ，AD ＝AF ，∠BAC ＝∠DAF ＝90°，
∴∠BAD ＝∠CAF
在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△DAB ≌△FAC （SAS ）
∴∠ABD ＝∠ACF ，DB ＝CF
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，
∴∠ACB ＝∠ABC ＝45°
∴∠ABD ＝180°－45°＝135°
∴∠ACF ＝∠ABD ＝135°
∴∠BCF ＝∠ACF －∠ACB ＝135°－45°＝90°，
∴CF ⊥BC
∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF
∴DC ＝CF ＋BC
（3）过A 作AH BC ⊥ 于H ，过E 作EM BD ⊥ 于M ，
∵90BAC ∠=︒
，AB AV ==
∴1422BC AH BH CH BC =
=====， ∴114
CD BC == ∴3DH CH CD =+=
∵四边形ADEF 是正方形
∴90AD DE ADE ==︒，∠
∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥，，
∴四边形CMEN 是矩形
∴NE CM EM CN ==，
∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠
∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠
∴ADH DEM =∠∠
在△ADH 和△DEM 中
ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADH DEM △≌△
∴32EM DH DM AH ====，
∴3CM EM ==
∴2232CE EM CM =-=
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键．
2．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 坐标为()6,0、()0,6，P 为线段AB 上的一点．
（1）如图1，若P 为AB 的中点，点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点，且保持AM ON =，则在点M 、N 运动的过程中，探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系，并说明理由．
（2）如图2，若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点，过B 点作BD OP ⊥，交OP 、OA 分别于F 、D 两点，E 为OA 上一点，且PEA BDO =∠∠，试判断线段OD 与AE 的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）PM=PN ，PM ⊥PN ，理由见解析；（2）OD=AE ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OP ．只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题；
（2）作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．由△DBO ≌△GOA ，推出OD=AG ，∠BDO=∠G ，再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题；
【详解】
（1）结论：PM=PN ，PM ⊥PN ．理由如下：
如图1中，连接OP ．
∵A 、B 坐标为（6，0）、（0，6），
∴OB=OA=6，∠AOB=90°，
∵P 为AB 的中点，
∴OP=
12
AB=PB=PA ，OP ⊥AB ，∠PON=∠PAM=45°， ∴∠OPA=90°，
在△PON 和△PAM 中， ON AM PON PAM OP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PON ≌△PAM （SAS ），
∴PN=PM ，∠OPN=∠APM ，
∴∠NPM=∠OPA=90°，
∴PM ⊥PN ，PM=PN ．
（2）结论：OD=AE ．理由如下：
如图2中，作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G ．
∵BD ⊥OP ，
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°，
∴∠ODF+∠AOG=90°，∠ODF+∠OBD=90°，
∴∠AOG=∠DBO ，
∵OB=OA ，
∴△DBO ≌△GOA ，
∴OD=AG ，∠BDO=∠G ，
∵∠BDO=∠PEA ，
∴∠G=∠AEP ，
在△PAE 和△PAG 中，
AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
