双曲线知识点
指导教师：郑军
一、 双曲线的定义：
1. 第一定义：
到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．
要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；
当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；
当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.
2. 第二定义：
动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线
二、
双曲线的标准方程：
122
22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；
122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；
1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.
2. 与双曲线122
22=-b
y a x 共焦点的双曲线系方程是1222
2=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：22
1(0)x y mn m n
-
=> 例题：已知双曲线C 和椭圆22
1169
x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的
轨迹方程。
三、
点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：
点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->
点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<
点00(,)P x y 在双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>上22
0022-=1x y a b
⇔
2 直线与双曲线：
（代数法）
设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 联立解得
02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b
1) 0m =时，b b
k a a
-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
b k a ≥，b
k a
≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；
2) 0m ≠时，
k 存在时，
若0222=-k a b
a
b
k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----
2222224()a b m b a k =+-
0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；
0∆=时2222
0m b a k +-=，2222
m b k a +=
直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：
设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x
1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：
b b
k a a
-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a b
k ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
b k a >或b
k a
<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；
2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：
b
k a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；
b b
k a a
-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）
； 2020
b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或b
k a <-或k 不存在，
直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，
b
k a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；
b k a >或b
k a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；
b b
k a a
-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）
； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，
b b
k a a -
<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或b
k a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；
当点0m ≠时，
k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 b
k a
=±时，直线与双曲线只交于一点；
几何法：直线与渐近线的位置关系
