电动力学 郭硕鸿 第三 电磁场动量
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场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force作用下带电体的 机械动量变化为
dG机 fdV
dt V
dG机 fdV
Rr
197
l
2
天线的辐射电阻越大，表 示在一定输入电流下，辐 射功率愈大。
因此，辐射电阻通常是 用来表征天线辐射能力 的一个量。
由于短天线的辐射电 阻正比于（l/）2，因 此，短天线的辐射能 力是不强的。
要提高辐射能力，必 须使天线长度增大到 最小与波长同级。
这种情况下天线的辐射已不 能用电偶极辐射表示。需要 进一步讨论常用的半波天线 的辐射。
D
辐射区电磁场为
Β
ikn
Α
eikR 24πε0c3R
D
n
Ε
cΒ
n
eikR 24πε0c3R
(D
n)
n
6、综合叙述几个问题
a) 电磁波的产生
因为辐射功率与球面半径无关，辐射场是脱离电荷、电流 而独立存在的电磁场，这种场总是以球面波形式沿矢径方 向向外传播，且传播的速度为
c 1
0 0
可见辐射场与电磁波的性质完全相同，可以断言： 辐射场就是电磁波。
sin2 n
32 20c3R2
4. 辐射功率
1 | p |2
P 40 3c3 如果偶极子作简谐振动，角频率为ω
P 1 p024 40 3c3
5. 短天线的辐射 辐射电阻
馈电点处电流有最大值I0，在天线两段电流为零。若天 线长度l<<，则沿天线上的电流分布近似为线性形式
I(z)
I 0 (1
如果把这一结论搬到原子物理学上，就会出出荒唐的结果。根 据半经典的原子结构理论，原子中有一个带正电的原子核，核外有 带负电的电子以一定的轨道围绕着核作园周运动，电子能量越大， 轨道半径也越大，依照经典力学，维持一个粒子作园周运动必有一 个向心力，因而必有一个向心加速度。有加速度，必有辐射。辐射 意味着电子能量损失，轨道半径将随之减小，最后电子必然要落到 原子核上。这一困境的出现暴露了经典电动力学的局限性。
Ρ 0I 202l 2 48c 12
0 0
I
2 0
l
2
电磁能量不断向外辐射，电源需要供给一定的功率来维持辐射。辐
射功率正比于I02 ，因此辐射功率相当于一个等效电阻上的损耗功 率。这个等效电阻称为辐射电阻Rr。令
Ρ
1 2
Rr
I02
Rr 6
0 0
l
2
(l )
0 / 0 376.7
电磁场和带电体之间有相互作用力。场对带 电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生 变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应的改变。 因此，电磁场也和其他物体一样具有动量。辐射 压力是电磁场具有动量的实验证据。
本节从电磁场与带电物质的相互作用规律出 发导出电磁场动量密度表达式。
一．电磁场的动量密度和动量流密度矢量
b) 电磁波与机械波的区别
机械波必须依靠媒质来传递，它是能量在媒质中 的传播。例如声波的传播是借助空气中的分子振动把 能量传递出去。机械波不能在真空中传播。电磁波的 传播是场本身的运动，它完全不需要依赖于媒质，电 磁波能在真空中传播。并且其传播速度最快。
c) 场与实物的比较
从粒子物理观点出发，构成一切实物和 场都是一些基本粒子。基本粒子有其不同的 物理性质（质量，电荷等），而共性是波— 粒二象性。
2 l
z)
z l/2
中心馈电天线
电偶极矩变化率
l/2
1
p l /2 I (z)dz 2 I0l
p
i
1 2
I0l
短天线的辐射功率
天线两半段 电流方向相同
Ρ 0I022l 2 48 c 12
0 0
I
2 0
l
2
P 1 | p |2
40 3c3
这个式子适用于l<<情形。若保持天线电流 I0 不变,则 短天线的辐射功率正比于(l/)2 。
*§5.4 磁偶极辐射和电四极辐射
Radiation of Magnetic Dipole and Electric Quadrupole
本节研究矢势 A 的展开式的第二项，讨论磁偶 极矩和电四极矩产生的辐射。
A(x)
0eikR 4 R
V
J
(x)
1 ikn
x
1 (ikn 2!
x)2
dV
磁偶极辐射
考虑空间某一区域，某内有一定电荷分布，区域内的场和电荷 之间由于相互作用而发生动量转移。另一方面，区域内的场和区域 外的场也通过界面发生动量转移，由于动量守恒，单位时间从区域 外通过界面S 传入区域内（V）的动量应等于V 内电荷的动量变化率 加上V 内电磁场的动量变化率。故由Maxwell’s equations和Lorentz 力公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
复习上一节课的内容
1. 失势展开式的第一项：
A(x, t) 0eikR p 4 R
2. 电偶极辐射场为
B
1
eikR p n
4 Rc3 0
E
1
4 0 Rc 2
eikR
(
p
n)
n
B
1
4 0c3ReikR|源自p|sin e
E
1
4 0c2 R
eikR
|
p | sin e
3. 辐射场的能流密度
S
| p |2
其实，关键在于我们把自由电磁场看成一种连续的波，它可以 连续地放出。如果引入光子的概念，并考虑泡利不相容原理，就会 看到：有加速度未必一定有辐射，电子也不会落到原子核上。关于 这一点，已超出了经典电动力学的范围，我们将不去研究它。
§5.7 电磁场的动量 Momentum of Electromagnetic Field
Α(x) ik0eikR n m 4 R
辐射区的电磁场为
Β Α ikn Α k 2 0eikR (n m) n 4 R
0eikR 4 c2R
(m
n)
n
Ε cΒ n μ0eikR (m n) 4π cR
电四极辐射
Α(x)
ik0eikR 24 R
D
eikR 24πε0c3R
电子是实物的组成因子，它具有粒子性 和波动性（电子的衍射），场（电磁波）是 在大量光子在空间按一定概率（几率）分布 而形成的，光子具有粒子性和波动性，也就 是说，光就是自由电磁波。
我们看到实物是在场的帮助之下，设有 光（场）的帮助，在茫茫的黑夜里我们将什 么也看不见。
d) 电动力学的局限性
因为辐射功率与电子的加速度平方成正比，即 p ql qv, p qv qa ，而 P | p |2| a |2 ，这说明：只 要带电粒子作加速运动时就有电磁辐射。
dG机 fdV
dt V
dG机 fdV
Rr
197
l
2
天线的辐射电阻越大，表 示在一定输入电流下，辐 射功率愈大。
因此，辐射电阻通常是 用来表征天线辐射能力 的一个量。
由于短天线的辐射电 阻正比于（l/）2，因 此，短天线的辐射能 力是不强的。
要提高辐射能力，必 须使天线长度增大到 最小与波长同级。
这种情况下天线的辐射已不 能用电偶极辐射表示。需要 进一步讨论常用的半波天线 的辐射。
D
辐射区电磁场为
Β
ikn
Α
eikR 24πε0c3R
D
n
Ε
cΒ
n
eikR 24πε0c3R
(D
n)
n
6、综合叙述几个问题
a) 电磁波的产生
因为辐射功率与球面半径无关，辐射场是脱离电荷、电流 而独立存在的电磁场，这种场总是以球面波形式沿矢径方 向向外传播，且传播的速度为
c 1
0 0
可见辐射场与电磁波的性质完全相同，可以断言： 辐射场就是电磁波。
sin2 n
32 20c3R2
4. 辐射功率
1 | p |2
P 40 3c3 如果偶极子作简谐振动，角频率为ω
P 1 p024 40 3c3
5. 短天线的辐射 辐射电阻
馈电点处电流有最大值I0，在天线两段电流为零。若天 线长度l<<，则沿天线上的电流分布近似为线性形式
I(z)
I 0 (1
如果把这一结论搬到原子物理学上，就会出出荒唐的结果。根 据半经典的原子结构理论，原子中有一个带正电的原子核，核外有 带负电的电子以一定的轨道围绕着核作园周运动，电子能量越大， 轨道半径也越大，依照经典力学，维持一个粒子作园周运动必有一 个向心力，因而必有一个向心加速度。有加速度，必有辐射。辐射 意味着电子能量损失，轨道半径将随之减小，最后电子必然要落到 原子核上。这一困境的出现暴露了经典电动力学的局限性。
Ρ 0I 202l 2 48c 12
0 0
I
2 0
l
2
电磁能量不断向外辐射，电源需要供给一定的功率来维持辐射。辐
射功率正比于I02 ，因此辐射功率相当于一个等效电阻上的损耗功 率。这个等效电阻称为辐射电阻Rr。令
Ρ
1 2
Rr
I02
Rr 6
0 0
l
2
(l )
0 / 0 376.7
电磁场和带电体之间有相互作用力。场对带 电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量发生 变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应的改变。 因此，电磁场也和其他物体一样具有动量。辐射 压力是电磁场具有动量的实验证据。
本节从电磁场与带电物质的相互作用规律出 发导出电磁场动量密度表达式。
一．电磁场的动量密度和动量流密度矢量
b) 电磁波与机械波的区别
机械波必须依靠媒质来传递，它是能量在媒质中 的传播。例如声波的传播是借助空气中的分子振动把 能量传递出去。机械波不能在真空中传播。电磁波的 传播是场本身的运动，它完全不需要依赖于媒质，电 磁波能在真空中传播。并且其传播速度最快。
c) 场与实物的比较
从粒子物理观点出发，构成一切实物和 场都是一些基本粒子。基本粒子有其不同的 物理性质（质量，电荷等），而共性是波— 粒二象性。
2 l
z)
z l/2
中心馈电天线
电偶极矩变化率
l/2
1
p l /2 I (z)dz 2 I0l
p
i
1 2
I0l
短天线的辐射功率
天线两半段 电流方向相同
Ρ 0I022l 2 48 c 12
0 0
I
2 0
l
2
P 1 | p |2
40 3c3
这个式子适用于l<<情形。若保持天线电流 I0 不变,则 短天线的辐射功率正比于(l/)2 。
*§5.4 磁偶极辐射和电四极辐射
Radiation of Magnetic Dipole and Electric Quadrupole
本节研究矢势 A 的展开式的第二项，讨论磁偶 极矩和电四极矩产生的辐射。
A(x)
0eikR 4 R
V
J
(x)
1 ikn
x
1 (ikn 2!
x)2
dV
磁偶极辐射
考虑空间某一区域，某内有一定电荷分布，区域内的场和电荷 之间由于相互作用而发生动量转移。另一方面，区域内的场和区域 外的场也通过界面发生动量转移，由于动量守恒，单位时间从区域 外通过界面S 传入区域内（V）的动量应等于V 内电荷的动量变化率 加上V 内电磁场的动量变化率。故由Maxwell’s equations和Lorentz 力公式可导出电磁场和电荷体系的动量守恒定律。
复习上一节课的内容
1. 失势展开式的第一项：
A(x, t) 0eikR p 4 R
2. 电偶极辐射场为
B
1
eikR p n
4 Rc3 0
E
1
4 0 Rc 2
eikR
(
p
n)
n
B
1
4 0c3ReikR|源自p|sin e
E
1
4 0c2 R
eikR
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p | sin e
3. 辐射场的能流密度
S
| p |2
其实，关键在于我们把自由电磁场看成一种连续的波，它可以 连续地放出。如果引入光子的概念，并考虑泡利不相容原理，就会 看到：有加速度未必一定有辐射，电子也不会落到原子核上。关于 这一点，已超出了经典电动力学的范围，我们将不去研究它。
§5.7 电磁场的动量 Momentum of Electromagnetic Field
Α(x) ik0eikR n m 4 R
辐射区的电磁场为
Β Α ikn Α k 2 0eikR (n m) n 4 R
0eikR 4 c2R
(m
n)
n
Ε cΒ n μ0eikR (m n) 4π cR
电四极辐射
Α(x)
ik0eikR 24 R
D
eikR 24πε0c3R
电子是实物的组成因子，它具有粒子性 和波动性（电子的衍射），场（电磁波）是 在大量光子在空间按一定概率（几率）分布 而形成的，光子具有粒子性和波动性，也就 是说，光就是自由电磁波。
我们看到实物是在场的帮助之下，设有 光（场）的帮助，在茫茫的黑夜里我们将什 么也看不见。
d) 电动力学的局限性
因为辐射功率与电子的加速度平方成正比，即 p ql qv, p qv qa ，而 P | p |2| a |2 ，这说明：只 要带电粒子作加速运动时就有电磁辐射。