微分中值定理及其应用习题课

第三章 中值定理与导数的应用从第二章第一节的前言中已经知道,导致微分学产生的第三类问题是“求最大值和最小值”. 此类问题在当时的生产实践中具有深刻的应用背景,例如,求炮弹从炮管里射出后运行的水平距离(即射程),其依赖于炮筒对地面的倾斜角(即发射角). 又如,在天文学中,求行星离开太阳的最远和最近距离等. 一直以来,导数作为函数的变化率,在研究函数变化的性态中有着十分重要的意义,因而在自然科学、工程技术以及社会科学等领域中得到广泛的应用.在第二章中,我们介绍了微分学的两个基本概念—导数与微分及其计算方法. 本章以微分学基本定理—微分中值定理为基础,进一步介绍利用导数研究函数的性态,例如判断函数的单调性和凹凸性,求函数的极限、极值、最大(小)值以及函数作图的方法,最后还讨论了导数在经济学中的应用.第一节 中值定理中值定理揭示了函数在某区间的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系,因而称为中值定理. 中值定理既是用微分学知识解决应用问题的理论基础,又是解决微分学自身发展的一种理论性模型, 因而称为微分中值定理.内容分布图示★ 费马引理 ★ 罗尔定理★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 例4 ★ 例5★ 例6 ★ 拉格朗日中值定理 ★ 例7★ 例8 ★ 例9★ 例10 ★ 柯西中值定理 ★ 例11★ 例12★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题3-1★ 返回内容要点：一、罗尔定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在区间端点的函数值相等, 即).()(b f a f = 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ使得 .0)(='ξf注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足,定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.罗尔定理中)()(b f a f =这个条件是相当特殊的,它使罗尔定理的应用受到限制. 拉格朗日在罗尔定理的基础上作了进一步的研究,取消了罗尔定理中这个条件的限制,但仍保留了其余两个条件,得到了在微分学中具有重要地位的拉格朗日中值定理.二、拉格朗日中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导. 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得))(()()(a b f a f b f -'=-ξ拉格朗日中值公式反映了可导函数在],[b a 上整体平均变化率与在),(b a 内某点ξ处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.拉格朗日终值定理可改写为).10()(0<<∆⋅∆+'=∆θθx x x f y 称为有限增量公式.拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,有时也称这个定理为微分中值定理. 在某些问题中,当自变量x 取得有限增量x ∆而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值.推论1 如果函数)(x f 在区间I 上的导数恒为零, 那末)(x f 在区间I 上是一个常数.三、柯西中值定理：在闭区间[a , b ]上连续；在开区间(a , b )内可导；在(a , b )内每一点处, 0)(≠'x g . 结论：在(a , b )内至少存在一点),(b a <<ξξ 使得)()()()()()(ξξg f b g a g b f a f ''=-- 显然, 若取,)(x x g =则,1)(,)()(='-=-x g a b a g b g 因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.例题选讲：罗尔定理的应用例1 对函数x x f 2sin )(=在区间],0[π上验证罗尔定理的正确性.例2 (讲义例1) 不求导数, 判断函数)3)(2)(1()(---=x x x x f 的导数有几个零点及这些零点所在的范围..例3 (讲义例2) 证明方程0155=+-x x 有且仅有一个小于1的正实根.例 4 设 n a a a a ,,,,321Λ为满足012)1(3121=--++--n a a a n n Λ的实数, 试证明方程 ,0)12cos(3cos cos 21=-+++x n a x a x a n Λ在)2/,0(π内至少存在一个实根.例 5 设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且.0)()(==b f a f 证明: 存在),(b a ∈ξ, 使)()(ξξf f ='成立.拉格朗日中值定理的应用例6 (讲义例3) 证明 ).11(2arccos arcsin ≤≤-=+x x x π 例7 (讲义例4) 证明当0>x 时, .)1ln(1x x xx <+<+ 例8 设)(x f 是在],0[c 上可导的函数, 且)(x f '单调减少, .0)(=x f 试证: 对于,0c b a b a ≤+≤≤≤ 恒有 ).()()(b f a f b a f +≤+例9 验证柯西中值定理对函数23)(,1)(x x g x x f =+=在区间]2,1[上的正确性.柯西中值定理的应应用例10 (讲义例5) 设函数)(x f 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点)1,0(∈ξ, 使)].0()1([2)(f f f -='ξξ课堂练习1. 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可.2. 若)(x f 是[a , b ]上的正值可微函数, 则有点)1,0(∈ξ使().)()()()(lna b f f a f b f -'=ξξ罗尔（Rolle ，1652~1719）简介：罗尔是法国数学家。

第三章微分中值定理和导数的使用本章内容是上一章的延续，主要是利用导数和微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。

在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的使用。

一、教学目标和基本要求（一）知识1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3.记住e x,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式；4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法；5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们之间的关系；6.知道曲线的凹凸性和拐点的定义；7.知道弧微分的定义和弧微分公式；8.知道光滑曲线、曲率和曲率半径的定义；9.知道求方程的近似解的基本方法。

（二）领会1.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，领会罗尔定理、拉格朗日中值定理的几何意义；2.领会罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之间的联系；3.领会洛必达法则；4.领会函数的单调性和一阶导数之间的联系；5.领会函数的极值和一、二阶导数之间的联系；6.领会函数的极值和最值的定义以及它们之间的区别和联系；7.领会曲线的凹凸性和二阶导数之间的联系。

（三）运用1.会用中值定理证明等式和不等式；2.会用洛必达法则求末定式的极限；3.会求一些函数的泰勒公式和利用泰勒公式求函数的极限及一些函数的近似值；4.会用导数求函数的单调区间和极值；5.会用函数的单调性证明不等式；6.会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；7.会求曲线的水平渐近线和铅直渐近线，会描绘函数的图形；8.会求一些最值使用问题；9.会求曲率和曲率半径；10.会用二分法和切线法求一些方程实根的近似值。

（四）分析综合1.综合运用中值定理、介值定理和函数的单调性等证明方程实根的存在性和惟一性；2.综合运用中值定理、函数的最（极）值和凹凸性等方面的知识及构造性方法证明等式和不等式；3.综合运用洛必达法则，泰勒公式和其他方法求末定式的极限；4.综合运用函数的连续性、单调性、凹凸性和极值等方面的知识描绘函数的图形。

第六章微分中值定理及其应用1. 教学框架与内容教学目标①掌握罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，会用导数判别函数的单调性．②了解柯西中值定理，掌握用洛必达法则求不定式极限．③理解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式．④掌握函数的极值与最大(小)值的概念．⑤掌握函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式．⑥掌握函数图象的大致描绘．教学内容①罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；用导数判别函数的单调性.②柯西中值定理；洛必达法则求各种不定式极限．③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式及其在近似计算中的应用．④函数的极值的第一、二充分条件; 求闭区间上连续函数的最值及其应用．⑤函数的凸性与拐点的概念，应用函数的凸性证明不等式; 左、右导数的存在与连续的关系.⑥根据函数的性态表以及函数的单调区间、凸区间，大致描绘直角坐标系下显式函数图象.2. 重点和难点①中值定理证明中辅助函数的构造.②洛必达法则定理的证明.③带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明.④函数的极值的第三充分条件.⑤运用詹森不等式证明或构造不等式.⑥参数形式的函数图象.3. 研究性学习选题● 如何运用中值定理对一些习题整理归类，思考中值定理的应用技巧(构造函数).● 利用导数证明不等式总结利用导数证明不等式的方法.● 不定式极限回顾总结求函数极限的方法.● 运用泰勒公式求极限，等价无穷小的代换问题.总结常见函数的泰勒公式,举例说明其在求不定式极限中的应用, 分析等价无穷小的代换问题.● 凸函数性质研究总结凸函数的性质.4. 综合性选题，写小论文★如何构造辅助函数.5. 评价方法◎课后作业，计30分.◎研究性学习布置的五个选题(选最好的两个计分)合计30分.◎小论文计10分.◎小测验计30分§1 中值定理和函数的单调性在这一章，我们主要由导函数f '的性质来推断函数f 本身的性质(主要研究f 的单调性，凸凹性，图像等) 而微分中值定理是我们研究的主要工具(微分中值定理主要包括Rolle 中值定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理及Taylor 公式) 我们首先介绍Rolle 中值定理. 一、中值定理 1．Rolle 中值定理定理 (Rolle ) 设函数f 满足下列条件: 1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导; 3) ()()f a f b =,则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.Rolle 中值定理的几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，如果两端点的高度相同，则该曲线至少存在一条水平切线.注1 Rolle 定理的条件仅充分而不必要且缺一不可. (作图说明)例1 证明: 10x x ++=3只有一个实根且在(1,0)-中. 2．Lagrange 中值定理定理 (Lagrange ) 设函数f 满足下列条件：1) f 在闭区间[,]a b 上连续; 2) f 在开区间(,)a b 上可导, 则在(,)a b 内至少∃一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-.几何意义 在满足定理条件的曲线()y f x =至少存在一点(())P f ξξ，, 使得 曲线在该点处的切线平行于曲线端点的连线.注 2 中值点(,)a b ξ∈对ξ的不同表示有不同形式的Lagrange 公式a) ()()()()f b f a f b a ζ'-=-, (,)a b ξ∈; b) ()()(())()f b f a f a b a b a θ'-+--＝, 01θ<<; c) ()()()f a h f a f a h h θ'+-=+, 01θ<<.推论1 若函数f 在区间I 上可导，且()0f x '≡，x I ∈, 则f 在I 上恒为常数.推论 2 设f ,g 在区间I 上均可导, 且()()f x g x ''≡, x I ∈则存在常数c , 使得()()f x g x c =+，x I ∈.推论3 设f 在区间I 上可导，且()f x M '≤，则任何12x x I ∈，,1212()()f x f x M x x -≤-从而导函数有界的函数必一致连续 (Lipschitz 连续).推论4 (导数极限定理) 设f 在0x 点某邻域0()U x ＋内连续，在00()U x ＋内可导， 且极限00lim ()(0)x x f x f x +→''=+存在，则f 在0x 右可导，且 000()lim ()(0)x x f x f x f x ++→'''+＝＝对左导数有类似的结论，事实上，我们有下面的定理.定理 设函数f 在0x 的某邻域0()U x 内连续，在0()U x ︒可导，若极限0lim ()x x f x →'存在，则0()f x '存在且00()lim ()x x f x f x →''=.注 3 由导数极限定理与导数具有介值性(Darboux 定理)知, 若函数f 在区间I 上可导，则在区间I 上的每一点，要么是()f x '的连续点，要么是'f 的第二间断点，即导函数不可能有第一类间断点.推论5 若f 在[,]a b 上可导，且f '单调，则f '必连续. (导数极限定理适用于求分段函数的导数) 例2 求分段函数()f x 的导数. [说明定理的作用]sin ,()ln(1),x x x f x x x ≤⎧+=⎨>+⎩２0,0,注4 对推论5，当0(0)f x '+不存在时，未必有0()f x '不存在.例3 设sin , () 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩２１0,0,求(00)f '+，(0)f '.3. Cauchy 中值定理定理 (Cauchy ) 设函数f 和g 满足1) 在[,]a b 上连续; 2) 在(,)a b 上可导; 3) ()f x '和()g x '不同时为零; 4) ()()g a g b ≠,则存在(,)a b ξ∈，使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='- 几何意义证明 (先给一个错误证明)(如何构造函数?)一般的中值定理 设f ,g [,]a b R →连续且(,)a b 内可导，则存在(,)a b ξ∈, 使得[()()]()()[()()]f b f a g f g b g a ξξ''-=-.注5 上式不过是Cauchy 定理形式上的变形，但条件更简单，因而更具一般性. 例 4 考察2()f x x =，3()g x x =，[1,1]x ∈-相应的中值形式.二、中值定理的应用1. 证明中值点的存在--------关键构造函数例5 1) 设f 在闭区间[,]a b (0)a >上连续,(,)a b 内可导, 则存在(,)a b ξ∈, 使得()()ln()()bf b f a f aξξ'-=⋅⋅.2) 对函数()f x x =２确定()()()f x h f x h f x h θ'+-=⋅+中的θ, 1()2θ=.例6 设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，(,)a b 上可导, 且()()0f a f b ==，试证明:存在(,)a b ξ∈使()()0f f ξξ' +=. (多种变形)2. 证明恒等式 (原理: 证明其导数为0，再任取一特殊值) 例7 证明: 对任何x R ∈，arctan arccot x x π+=2.例8 设f ,g 可导且()f x ≠0，又()()0()'()f xg x f x g x='，则存在常数c , 使得()()g x c f x =⋅. (若条件改作()()()()0f x g x f x g x ''+=，则结论应为?)例9 设函数f 对任何,x h R ∈，2()()f x h f x Mh +-≤，0M >为常数，则f 为常值函数.3. 证明不等式 (利用中值定理，估计中值或(0,1)θ∈) 例10 证明0h >时，2arctan 1hh h h <<+例11 (Bernoulli 不等式) 对1x >-有 1) (1)1p x px +≥+，若0p ≤或1p ≥; 2) (1)1p x px +≥+，若0p ≤≤1; 等号当且仅当0p =或1p =或0x =成立.4. 证明方程根的存在性 [注意利用连续函数介值性与导数中值定理的区别] 例12 证明: 方程sin cos 0x x x +⋅=在(0,)π内有实根.例13 证明: 方程32432+ax bx cx a b c ++=+在(0,1)内有实根.5. 研究函数的单调定理 设f 在区间I 上可导，则f 在I 上递增(减)⇔()()00f x x '≥≤，x I ∈.定理 设f 在(,)a b 上可导，则f 在(,)a b 内单调严格递增(减)⇔ 1) (,)x a b ∀∈，()()00f x '≥≤2) f 在(,)a b 的任何区间上()0f x '≡推论 6 若f 在区间I 上可导, ()()00f x '><，则f 在I 上严格递增(减)推论 7 若f 在区间I 上可导，则f 在f '的相邻零点之间必严格单调. (说明多项式函数必有有限个单调区间)例14 设()f x x x =-３，求f 的单调区间.例15 证明: 1) 1x x >+e ，()0x ≠;2) ()()22ln 1221x x x x x x -<+<-+. 0x >.例16 利用函数单调性，重证Bernoulli 不等式(利用()f x '')例17 证明: 0x >时，sin x x x >-33!.练习 1) x >１2时，2ln(1)arctan 1x x +>-.2) tan (0)sin 2x x x x x π<<<.习 题1. 用中值定理证明sin sin x y x y -≤-，,x y R ∀∈.2. 若f 在[,]a b 上可导，且'()f x m ≥，则()()()f x f a m x a ≥+- [,]x a b ∀∈3. 证明：函数()f x 在1(0,)π上存在ξ，使得'()0f ξ=，其中11sin 0()0x x f x xx π⎧⋅<≤⎪=⎨⎪=⎩4. 求函数2()3f x x x =-的单调区间.5. 证明: 若函数g f ,在区间],[b a 上可导,且)()(),()(a g a f x g x f ='>', 则在],(b a 内有)()(x g x f >.6. 应用函数的单调性证明下列不等式:1) )3,0(,3tan 3π∈->x x x x ;2)2sin xx x π<< (0,)2x π∈.3) 0,)1(2)1ln(222>+-<+<-x x x x x x x . 7. 设f 在[,]a b 上二阶可导，且()()0f a f b ==，且存在点(,)c a b ∈使得()0f c >， 证明: 至少存在一点(,)a b ξ∈使得"()0f ξ<.8. 设f 在[,]a b 上n 阶可导，若f 在[,]a b 上有1n +个零点，求证：()n f 在[,]a b 上 至少有一个零点.9. 试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间]1,1[-上能否应用Cauchy 中值定理得到 相应的结论, 为什么?10. 设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数, 证明: )()(2)()(lim2a f ha f h a f h a f h ''=--++→. 11. 设函数f 在点a 的某个领域具有二阶导数, 证明: 对充分小的h ，存在θ，10<<θ，使得2)()()(2)()(2h a f h a f h a f h a f h a f θθ-''++''=--++. 12. 若f 在[,]a b 上可微，则存在(,)a b ξ∈, 使得22'2[()()]()()f b f a b a f ξξ-=-.13. 设f 在[,]a b 上连续, (,)a b 上可导,且()()0f a f b ==,证明:对任何R λ∈, 存在c R ∈,使得 '()()f c f c λ=.14. 设f 在R 上可导,且x R ∀∈,'()1f x ≠, 证明: 方程()f x x =至多有一个根. 15． 设)(x p 为多项式, a 为0)(=x p 的r 重实根. 证明: a 必定是函数)(x p '的1-r 重实根.16． 设0,>b a .证明方程b ax x ++3=0不存在正根. 17． 证明:x x x x sin tan >,)2,0(π∈x .§2 未定型极限未定型(不定式)00 ∞∞(∞⋅∞∞-∞∞000，，0，1，等) 以导数为工具研究上述未定型极限，该方法称为'L Hospital 法则一、0型未定型极限定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足1) 0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==; 2) 在0x 的某去心邻域0()U x ︒都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A R A ∈=±∞∞，，,则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例1 1) 0sin lim x xx→ 2) 132lim 1x x x x x x →-+--+33２3) lim (arctan )x x x π→+∞-2 4) 21cos lim cos tan x xx xπ→++5) 0lim x +→ 6) 012limln(1)xx e x x →-++１2２()7) 20ln(1sin 4)lim arcsin x x x x →++() 8) 02lim sin x x x e e x x x-→---注1 1) 在定理中，0x x →可改作0x x x x →→±∞→∞+，，等2) 若f g ''，或f g ''''，满足定理条件，可多次应用L 法则 3) 'L Hospital 条件仅是充分的，而不必要，即()lim()x x f x g x →''不存在0()lim ()x x f x g x →⇒不存在.例2 1) cos lim x x x x →∞+ 2) 0sinlim sin x x x x →⋅２１二、∞∞型未定型极限 定理 ('L Hospital ) 若函数f 和g 满足 1) 0lim ()() (lim ())x x x x g x f x →→=+∞-∞未必为无穷;2) 若0x 的某右去心邻域0()U x ︒内f ，g 都可导且()g x '≠0;3) 0()lim()x x f x A g x →'='()A A =±∞∞可看作实数或，, 则 00()()limlim ()()x x x x f x f x A g x g x →→'=='. 例3 1) ln lim x xx→+∞ 2) lim x x x e →+∞３----------回顾阶的比较3) 0ln(sin )limln(sin )x ax bx → 4) 2tan lim tan 3x xx π→三、其他未定型极限 1. 0⋅∞型 000∞⋅∞==∞ 例4 1) 0lim ln x x x +→ 2) 01limcot ln 1x xx x→+⋅-.2．∞-∞型 110000∞-∞=-= 例5 1) 011lim()sin x x x →- 2) 11lim()-1ln x x x x→-.3. 00型 0ln 00ln 000ee e ⋅⋅∞===例6 1) 0lim xx x +→ 2) 1ln 0lim sin kxx x ++→.4．1∞型ln1ln101ee e ∞∞∞⋅∞⋅===例7 1) 111lim xx x -→ 2) ()21lim cos x x x →.5: 0∞型ln 0ln 0ee e ∞⋅∞⋅∞∞===.例8 1) ln lim ()xx x →+∞１ 2) ln 0lim(cot )xx x +→１.练习 P 133　5.例9 设()()0x g x f x xx ≠⎧⎪=⎨⎪=⎩00, 已知(0)(0)0g g '==，(0)g ''=3，试求(0)f '.例10 证明2()x f x x e -=3为R 上的有界函数.习 题1. 求下列未定型极限1) 01lim sin x x e x →- 2) 612sin lim cos3x xx π→-3) 0ln(1)lim1cos x x x x →+-- 4) 0tan lim sin x x xx x→--5) 011lim()1x x x e →-- 6) 111lim xx x -→7) sin 0lim(tan )x x x → 8) 22011lim()sin x x x→- 2. 考虑下列极限应用'L Hospital 法则的可能性.1) lim x →+∞ 2) sin lim sin x x xx x →∞-+3. 计算1) 0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-++ 2) 211000lim x x e x -→3) 30tan sin limx x x x →- 4) 201cot lim x x xx →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 5) ln lim(ln )xx x x x →+∞ 6) 10(1)lim xx x e x→+-7) 20()lim x x x a x a x →+- 8) 10lim()x xx x e →+9) 1110lim (,,0)xx xnn x a a a a n →⎛⎫++> ⎪⎝⎭4. 教材1337P .5. 证明: 2()ln(1)/f x x x =+在(1,)+∞上有界.§3 Taylor 公式多项式函数是一种简单的函数，因而对任一函数，我们考察是否存在相应的多项式去逼近该函数. 在讨论这个问题之前，我们还是应先讨论一下多项式函数本身的性质.设012()...()n n n P x a a x a x a x a ++++≠２ｎ＝0, 易见0(0)n a P =，1(0)n a P '=，……，()(0)!n nn P a n ＝自然对于一般的函数f , 假设它在0x 处有直到n 阶的导数，由这些导数构成了一个新的多项式，记为：()00000()()()()()()!n n n f x T x f x f x x x x x n '= +- +...+-此时n T 与f 有何类的性质？00()()k k n T x f x =()() k n ≤≤(0)因而我们说()n T x 与f 在某种意义下“很接近” , 称()n T x 为f 在0x 处的Taylor多项式,而()n T x 的系数()0()!k f x k 称为Taylor 系数，记()()()n n R x f x T x =-称为余项. 我们将证明0()n n R x x x =-o(())，这实际就是带Peano 余项的Taylor 展式.一、带Peano 余项的Taylor 公式——误差的定性刻画定理 若函数f 在0x 处存在直至n 阶导数，则有0()()n n f x T x x x =+-o(())即()200000000()()()()()()()()!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n '''=+-+-++-+-...o(())2!.上述公式我们就称为f 在0x 处的Taylor 公式, ()()()n n R x f x T x =-称为Taylor 公式的余项，形如0n o x x -(())的余项称为带Peano 余项的Taylor 公式.注 1 00x =时，称()2(0)(0)()(0)(0)!n nn f f f x f f x x x x n '''=+++++...o()2!为带Peano 余项的Maclaurin 公式. 例1 验证下列Maclaurin 公式.1) 1!nxn x x e x o x n =+++++２...()2!2) ()11sin 1 (1)(1)!m m m x x x x o x m --=-+++-+-35223!5!2 3) 1cos 1...(1)(2)!m m m x x x x o x m +=-+++-+２４22()2!4! 4) 1ln(1)1...(1)nn n x x x x o x n-+=-+++-+２３()23 5)11n n x x x o x x=+++++-２1...() 6) (1)(1)1(1)1!n n n x x x x o x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=+++++２()...()2!1(1)(23)!!1(2)!!n nn n x x x o x n ---=+++++２11!!...()24!! 二、带Lagrange 型余项的Taylor 公式——误差的定量刻画定理 若函数f 在[,]a b 上存在直到n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在1n +阶导函数，则对任何0[,]x x a b ∈，至少存在一点(,)a b ξ∈使得()20000000()()()()()()()()!n nf x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-...2!(1)10()()(1)!n n f x x n ξ+++-+称为Lagrange 型余项，故上式又称为带有Lagrange 型余项的Taylor 公式，而00x =时，()(1)21(0)(0)()()(0)(0)!(1)!n n n n f f f x f x f f x x x x n n θ++'''=++++++...2! (0,1)θ∈ 称为(带Lagrange 型余项的) Maclaurin 公式. 例 2 将例1中的公式改为带Lagrange 型余项的Maclaurin 公式1) 11!1n xxn x x e e x x n n θ+=++++++２...2!()!, 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 2) 1121cos sin 1...(1)(1)(1)!(21)!m m m m x x x x x xm m θ--+=-+++-+--+3523!5!2 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞3) 122cos cos 1...(1)(1)(2)!(22)!mm m m x x x x x x m m θ++=-+++-+-+２４22!4! 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞4) 111ln(1)1...(1)(1)(1)(1)nn n nn x x x x x n n x θ+-++=-+++-+-++２３23 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞5) 1111(1)n nn x x x x x x θ++=+++++--２1... 01θ<<，(,)x ∈-∞+∞ 6) (1)(1)1(1)1!n n x x x x n ααααααα--⋅⋅⋅-++=++++２()...2!11(1)(1)(1)!n n n x x n ααααθ--+-⋅⋅⋅-+++()01θ<<，(,)x ∈-∞+∞三、函数的Taylor 公式(Maclaurin 公式) 1. 直接展开(例1,例2)例3 将tan y x =展到含5x 的具Peano 余项的Maclaurin 公式2. 间接展开 利用已知的展开式施行代数运算或变量代换,求得新的展开式. 例4 1) 分别求2sin x ，22x e -具Peano 余项的Maclaurin 展式;2) 求2cos x 的具Peano 余项的Maclaurin 展式; 3) 求35x+1在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;4) 分别求23x x --21在0x =处具Peano 余项的Maclaurin 展式;在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式;5) 求2x x -２1+3在1x =处具Peano 余项的Taylor 展式.四．Taylor 公式的应用举例 1. 利用Taylor 公式求极限例5 1) 2240cos lim x x x e x -→-.2) 02lim x x x a a x-→+-２.3) 21lim[ln(1)]x x x x →∞-+.2. 利用Taylor 公式求高阶导数值例6 设22()x f x e -=，求98(0)f ，99(0)f .3. 计算函数的近似值例7 证明: e 为无理数，并求e 精确到610-的近似值.4. 利用展式证明不等式例8 若函数f 在区间[,]a b 上恒有()0f x ''≥，则对(,)a b 内任何两点12,x x 都有1212()()()2f x f x x xf ++≥2例9 设函数f 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ''==，证明: 存在一点(,)a b ξ∈使得 2()()()()f f b f a b a ξ''≥--4.例10 当[0,2]x ∈时，() ()f x f x ''≤≤1，1, 证明: |'()| 2.f x ≤5. 中值点的存在性及其性质例11 设f 在[,]a b 上三阶可导，证明: 存在(,)a b ξ∈, 使得3()()()[()()]()()2f b f a b a f a f b b a f ξ'''''=+-+--１１12例12 证明：若函数f 在点a 处二阶可导，且()f a ''≠0，则对Lagrange 公式()()()f a h f a f a h h θ'+-=+⋅ 01θ<<中的θ，有0lim h θ→=12.练习 证明：若0x >，则存在11()[,]42x θ∈, 使得=;2. 01lim ()4x x θ→=，1lim ()2x x θ→+∞=.习 题一、给出下列函数带Peano 型余项的Maclaurin 公式.1. ()f x =2. arctan x 到含5x 的项3.()tan f x x =到含5x 的项4. 2()sin f x x =5. ln(2)x +6. ln(1)x e x +到3x 的项 二、利用Taylor 公式求下列函数极限1. 30sin (1)lim x x e x x x x →-+2. 201cot lim x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭ 3. 21lim[ln(1)]x x x x→∞-+4. 20lim sin x x e x x x →+-5. 74lim x x →+∞三、求下列函数在指定点处的带Lagrange 型余项的Taylor 公式 1. ln(1)x +在1x =处 2.2123x x --在2x =处 3.sin x 在4x π=处四、求下列极限1. 12ln(1)1lim(1)x x x --→- 2. 20ln(1)lim x x xe x x→-+ 3. 201sinlimsin x x x x→⋅ 4. sin lim sin x x x x x →+∞-+ 五、设函数f 在[0,]a 上具有二阶导数,且"()f x M ≤,f 在(0,)a 内取最大值,求证 ''(0)()f f a Ma +≤. 六、设f 在[,]a b 上二阶可导, ''()()0f a f b ==. 证明:'2[,]4sup ()()()()x a b f x f b f a b a ∈≥--.§4 函数的极值与最值一、极值判别1.可微极值的必要条件----Fermat 定理定理 (Fermat ) 若f 在0x 可导，且0x 为f 的极值点，则0()0f x '=. (可导的极值点必为驻点) . 可疑极值点: 驻点，不可导点. 2. 极值点的充分条件定理 (极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续，在其去心邻域0(,)U x δ︒内可导 若 1) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≤0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≥0; 2) 当00(,)x x x δ∈-，()f x '≥0，而00(,)x x x δ∈+时，()f x '≤0; [1)，2)说明f '在0x 两侧异号时] 则f 在0x 处取得极值. 若f '在0x 两侧不异号时，则f 在0x 处不能取得极值. 注 在上述定理条件中未假设f 在0x 处可导.⎡⎤⎣⎦分析引入第二充分条件 当f 在0x 不仅可导而且是二阶可导时，我们有 定理 (极值的第二充分条件) 设f 在0x 的某邻域0U x δ(,)内一阶可导，在0x x = 处二阶可导，且00()0,()f x f x '''=≠0, 则 1) 若0()0f x ''<，则f 在0x 处取得极大值; 2) 若0()0f x ''>，则f 在0x 处取得极小值.[()]f x x =2利用去记忆例1 求()(2f x x =-的极值点与极值.例2 求()f x x x=+２432的极值与极值点.第二充分条件中0()0f x '=，0()f x ''≠0，若0()f x ''还等于0怎么办? 则我们可考察更高阶导数，一般地, 我们有定理 (极值的第三充分条件) 设f 在0x 的某邻域内存在直到1n -阶导数，而在0x 处存在n 阶导数(n 阶可导) 且0()0k f x =，1,2,...,1k n =-, ()0()0n f x ≠, 则1) 当n 为奇数时，f 在0x 不能取得极值;2) 当n 为偶数时，f 在0x 处取得极值且当()0()0n f x <时，取得极大值; 而()0()0n f x >时, 取得极小值. 例3 求3()(1)f x x x =-4的极值.注 上述三个定理均为极值的充分条件，而非必要.例4 1) ,,()0,0,x x e f x x -⎧≠⎪=⎨=⎪⎩2１0在0x =处取得极小值，而()(0)0n f = ()n N ∀∈.2) 2,sin ,(),,x x f x xx ⎧≠⋅⎪=⎨=⎪⎩4１000在0x =处取得极小值，考察f 在0x =是否满足第一第二充分条件.二、函数的最值最值与极值的区别与联系，整体与局部，最值点(,)a b ∈，则最值点必为相应的极值点，所以可能的最值点为端点，极值点，进一步设f 在闭区间[,]a b 上连续，且仅有有限个可疑极值点12,(,)n x x x a b ∈,..., 则 {}1[,]max ()max (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=;{}1[,]min ()min (),(),(),...,()n x a b f x f a f b f x f x ∈=.注 1) 由最值性定理，闭区间上的连续函数必有最大最小值.2) 上述结论中可疑点为导数不存在及导数为0的点，而无需判断 它们是否真的是极值点.例5 ()2912f x x x x =-+32在闭区间15[,]42-上的最大值与最小值.函数最值的几种特例 1) 单调函数的最值;2) 如果函数f 在区间[,]a b 上连续，且仅有唯一的极值点. 则若0x 是f 的 极大(小) 值点，则0x 必是()f x 在[,]a b 上的最大(小) 值点. (反证) 3) 如果函数f 在区间[,]a b 上可导，且仅有一个驻点0x ，则结论与2)同. 4) 对某具有实际意义的函数，可常用实际判断确定函数的最大(小)值.例6 设,A B两村距输电线分别为1km，1.5km，CD长为3km，现两村合用一变压器供电，问变压器设在何处使输电线总长AE BE最短.例7 如图所示，剪去正方形四角同样大小的正方形后制成一个无盖盒子，问剪去小方块的边长为何值时使盒子的容积最大？例8 [无盖水箱的例子]习 题1. 求下列函数的极值:1) 212)(x x x f +=; 2) )1ln(21arctan )(2x x x f +-= 2. 求函数543551y x x x =-++在[1,2]-上的最值与极值.3. 求函数242(1)()1x x f x x x +=-+的极值.4． 设421sin ,0,()0,0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩ 1) 证明:0=x 是极小值点;2) 说明f 的极小值0=x 处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件. 5． 设)(x f 在区间I 上连续,并且在I 上仅有唯一的极限值0x , 证明: 若0x 是f 的 极大(小)值点, 则0x 必是)(x f 在I 上的最大(小)值点.6．有一个无盖的圆柱形容器,当给定体积为V 时,要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器高的比例应该怎样?§5 函数的凸性, 拐点, Jensen 不等式一、凸性定义及判定 1. 凸函数定义(由直观引入，强调曲线弯曲方向与上升方向以2y x =，y =) 定义 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点,x x １2和任意实数(0,1)λ∈，总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-11,则称f 为I 上的凸函数. 反之若总有22((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-11,则称f 为I 上的凹函数. 如果上两式中的不等式均为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数. 易见f 为I 上的凸函数⇔f -为I 上的凹函数 几何意义(凸函数) 曲线上任两点的连线(线段) 总在区间的上方. (引出割线斜率) 2. 凸函数性质与判定引理 f 为区间I 上的凸函数⇔对I 上任意三点123x x x <<总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--注 同理可证 f 为I 上的凸函数⇔对区间I 上任意三点123x x x <<有313221213132()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x ---≤≤---割线的极限 → 切线↓ ↓割线斜率递增 → 切线斜率应该为递增定理 设f 为区间I 上的可导函数，则下列命题等价 1) f 为I 上的凸函数(严格凸函数); 2) f '为I 上的增函数(严格增函数);3) 对I 上的任两点12,x x ，有21121()()()()f x f x f x x x '≥+-，12,x x I ∈,(21121()()()()f x f x f x x x '>+-, 12,x x I ∈, 12x x ≠) .注 由定理可见凸函数的几何意义1) 曲线上任两点的割线在曲线的上方(定义) ; 2) 切线的斜率(割线的斜率) 递增; 3) 曲线在其上任一点处切线的上方.推论 1) 设f 为I 上的二阶可导函数，则f 为凸函数⇔()0f x ''≥(x I ∈) ;2) ()0f x ''≥且在I 的任何子区间上f f ''≡⇔0在I 上严格凸; 3) ()0f x ''>则f 在I 上严格凸.注 f ''的符号确定函数f 的凸凹性，f '的符号确定单调性例1 讨论函数()f x =()arctan g x x =的凸凹性。

微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。

微积分中值定理及其应用
前言:
关于微分中值定理的证明问题是数学分析中的难点，本文将从微分中值定理的证明入手，对其进行证明，讨论了微分中值定理的内在联系及推广，并给出其在解题中的应用，如：微分中值定理在一些定理中的证明，利用几何意义思考解题，讨论导函数零点的存在性，研究函数性态，证明不等式和求极限等。

主题：
有关定理：
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
Cauchy 中值定理统一了微积分中值定理各种形式,从而建立了微分中值定理和积分中值定理之间的
内在联系. 以Rolle 中值定理为基础,借助不同形式辅助函数可对其它几个中值定理作出多种形式的统一证
明;利用Taylor 公式可以进一步导出微积分中值定理的推广形式.
作为微积分知识体系中十分重要的三个中值定理之一,拉格朗日中值定理中中值的存在性问题, 对理解和应用定理有着十分重要的意义。

一般意义上说, 同数学中许多存在性问题一样, 只需关注是否存
在即可。

但是, 认真分析拉格朗日中值定理的结构, 就会产生这样的问题其中值〔的存在是否具有函数属性, 在什么条件下能够具有函数的属性。

总结：
在解关于微分中值的题目时，大多数题是有一定技巧的。

在习题解题答中可以看到这方面的应用，虽然有些实例，但却凌乱无序，不成系统，本文针对这个问题，通过总结归纳，以建立初具规模的体系框架。

微积分概念和基本定理已成为大众化的知识，但是由于种种原因，例如，对相关数学知识的研究不够透彻，使得微积分中值定理应用存在某些问题，通过对例题的分析和总结，对微积分的应用作了更为清晰和简便的解法，对提高微积分课程，尤其是微分中值定理的教学质量和效果发挥了良好的作用。