绝对值的三角不等式典型例题

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1.4绝对值三角不等式

☆教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;

2.掌握定理1的两种证明思路及其几何意义;

3.理解绝对值三角不等式;

4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 ☆教学重点:定理1的证明及几何意义。 ☆教学难点:换元思想的渗透。 ☆教学过程: 一、引入:

证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:

(1)b a b a +≥+ (2)b a b a +≤- (3)b a b a ⋅=⋅ (4)

)0(≠=

b b

a

b

a 请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理?

实际上,性质b a b a ⋅=⋅和

)0(≠=

b b

a

b

a 可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证明

b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题:设a 为实数,a 和a 哪个大?

显然a a ≥,当且仅当0≥a 时等号成立(即在0≥a 时,等号成立。在0

含有绝对值的不等式的证明中,常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。

二、典型例题:

例1、证明 (1)b a b a +≥+, (2)b a b a -≥+。 证明(1)如果,0≥+b a 那么.b a b a +=+所以.b a b a b a +=+≥+

,

0<+b a 那么).(b a b a +-=+所以

b a b a b a b a +=+-=-+-≥+)()(

(2)根据(1)的结果,有b b a b b a -+≥-++,就是,a b b a ≥++。 所以,b a b a -≥+。 例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。 例3、证明 c b c a b a -+-≤-。

思考:如何利用数轴给出例3的几何解释? (设A ,B ,C 为数轴上的3个点,分别表示数a ,b ,c ,则线段.CB AC AB +≤当且仅当C 在A ,B 之间时,等号成立。这就是上面的例3。特别的,取c =0(即C 为原点),就得到例2的后半部分。)

探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式b a b a +≥+的几何解释? 定理1 如果,a b R ∈, 那么b a b a +≥+. 在上面不等式中,用向量,a b 分别替换实数,a b , 则当,a b 不共线时, 由向量加法三角形法则:

向量,a b ,a b +构成三角形, 因此有|a+b |<|a |+|b |

其几何意义是什么?

含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例1,例2和例3的结果来证明。

例4、已知 2

,2c

b y

c a x <-<-,求证 .)()(c b a y x <+-+

证明 )()()()(b y a x b a y x -+-=+-+ b y a x -+-≤ (1)

2

,2c b y c a x <-<

- , ∴c c

c b y a x =+<-+-2

2 (2)

由(1),(2)得:c b a y x <+-+)()(

例5、已知.6,4a

y a x <<

求证:a y x <-32。 证明 6,4a y a x << ,∴2

3,22a

y a x <<,

由例1及上式,a a

a y x y x =+<+≤-2

23232。

注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法,只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习:

1、已知.2,2c

b B

c a A <-<

-求证:c b a B A <---)()(。 2、已知.6

,4c

b y

c a x <-<-求证:c b a y x <+--3232。

作业:习题1.2 2、3、5

1.4绝对值三角不等式学案

☆预习目标: 1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程;

2.了解定理1的两种证明思路及其几何意义;

3.理解绝对值三角不等式。 ☆预习内容:

1.绝对值的定义:a R ∀∈,||a ⎧

⎪=⎨

⎪⎩

2. 绝对值的几何意义:

10. 实数a 的绝对值||a ,表示数轴上坐标为a 的点A

20. ∀两个实数,a b ,它们在数轴上对应的点分别为,A B ,

那么||a b -的几何意义是 3.定理1的内容是什么?其证法有几种?

4.若实数,a b 分别换成向量,a b 定理1还成立吗? 5、定理2是怎么利用定理1证明的? ☆探究学习:

1、绝对值的定义的应用

例1 设函数()14f x x x =+--.

()1解不等式()2f x >;()2求函数()y f x =的最值.

2. 绝对值三角不等式:探究||a ,||b ,||a b -之间的关系. ①0a b ⋅>时,如下图, 容易得:||||||a b a b ++.

②0a b ⋅<时,如图, 容易得:||||||a b a b ++.