证明圆的切线方法及例题
证明圆的切线常用的方法有:
一、若直线I过O O上某一点A，证明I是O O的切线，只需连OA，证明OA丄I 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直•
例1 如图，在厶ABC中，AB=AC ,以AB为直径的O O交BC于D ,交AC于E, B为切点的切线交0D延长线于F.
求证：EF与O 0相切.
证明：连结OE, AD.
•/ AB是O 0的直径，
••• AD 丄BC.
又••• AB=BC ,
•••/ 3= / 4.
——
• BD=DE，/ 1 = / 2.
又••• OB=OE , OF=OF ,
•••△ BOF ◎△ EOF ( SAS)
•••/ OBF= / OEF.
••• BF与O O相切，
• OB 丄BF.
•••/ OEF=9O°.
• EF与O O相切.
说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的
例2 如图，AD 是/ BAC 的平分线, 求证：PA
与O O 相切.
证明一：作直径AE ，连结EC.
•/ AD 是/ BAC 的平分线， •••/ DAB= / DAC. •/ PA=PD , •••/ 2= / 1+ / DAC.
•••/ 2= / B+ / DAB , •••/ 1 = / B.
•/ AE 是O O 的直径,
• AC 丄 EC ,/ E+ / EAC=90°. •••/ 1 + / EAC=90°. 即OA 丄PA. • PA 与O O 相切.
•/ PA=PD , •••/ PAD= / PDA. 又•••/ PDA= / BDE,
证明二：延长AD 交O O 于E ,连结
•/ AD 是/ BAC 的平分线, •
BE=CE ,
• OE 丄 BC.
•••/ E+/ BDE=90 0.
•/ OA=OE , •••/ E=/ 1. P
P 为BC 延长线上一点，且 PA=PD.
说明：例3 求证：证明一
证明二
•••/ 1 + / PAD=90°
即OA丄PA.
• PA与O O相切
此题是通过证明两角互余，证明垂直的
如图，AB=AC，AB是O O的直径，
DM与O O相切.
:连结OD.
-AB=AC ,
•/ B= / C.
-OB=OD ,
•/ 仁/ B.
•/ 仁/C.
•OD // AC.
-DM 丄AC,
•DM 丄OD.
•DM与O O相切
:连结OD, AD.
•/ AB是O O的直径，
•AD 丄BC.
又••• AB=AC,
• / 1= / 2.
•/ DM 丄AC ,
•/ 2+Z 4=90°
，解题中要注意知识的综合运用
O O交BC于D, DM丄AC于M • / 3+/4=90°.
即0D 丄DM. ••• DM 是O O 的切线
解题中注意充分利用已知及图上已知
例4 如图，已知：AB 是O 0的直径，点 D 在AB 的延长线上.
求证：DC 是O 0的切线 证明：连结OC 、BC.
•/ OA=OC ,
•••/ A= / 1= / 30°.
•••/ BOC= / A+ / 1= 60°. 又••• OC=OB , • △ OBC 是等边三角形 • OB=BC. •/ OB=BD , • OB=BC=BD. • OC 丄 CD. • DC 是O O 的切线.
说明：此题是根据圆周角定理的推论
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且OA 2=OD • OP. 求证：PC 是O O 的切线. 证明：连结OC
•/ OA 2=OD • OP , OA=OC ,
说明：证明一是通过证平行来证明垂直的
.证明二是通过证两角互余证明垂直的,
C 在O O 上，且/ CAB=30 °, BD=OB ,
3证明垂直的，此题解法颇多，但这种方法较
• OC2=OD • OP,
OC op OD
OC .
又•••/ 1= / 1,
•••△ OCP s\ODC.
•••/ OCP= / ODC.
•/ CD 丄AB ,
•••/ OCP=9O°.
• PC是O O的切线.
说明：此题是通过证三角形相似证明垂直的
例6 如图，ABCD是正方形，G是BC延长线上一点，AG交BD于E,交CD于F.
求证：CE与厶CFG的外接圆相切
分析：此题图上没有画出△ CFG的外接圆，但△ CFG是直角三角形，圆心在斜边
FG的中点, 证明：为此我们取FG的中点O,连结. OC,证明CE丄OC即可得解.取FG中点O,连结OC.
T ABCD是正方形，
• BC 丄CD , △ CFG 是
Rt△
•/ O是FG的中点，
E
C • O是Rt A CFG的外心.
•/ OC=OG ,
•••/ 3= / G,
•/ AD // BC,
• / G= / 4.
•/ AD=CD , DE=DE ,
/ ADE= / CDE=45°,
• △ ADE CDE (SAS)
