2
几何概型例题分析及练习题(含答案)
［例1］甲、乙两人约定在下午4:00~5:00间在某地相见他们约好
当其中一人先到后一定要等另一人 15分钟，若另一人仍不 到则可以离去，试求这人能相见的概率。
解：设X 为甲到达时间，y 为乙到达时间.建立坐标系，如图
［例2］设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能任取一点与 A 连接，
求弦长超过半径 2倍的概率
［例3］将长为1的棒任意地折成三段，求三段的长度都不超过
丄
2
的概率。
解：设第一段的长度为x ，第二段的长度为y ，第三段的长度
为1 x y ，则基本事件组所对应的几何区域可表示为
{(x,y)|O x 1,0 y 1,0 x y 1}，即图中黄色区域，此区
域面积为1。
2
事件“三段的长度都不超过 1”所对应的几何区域可表
2 示为
1 1 1
A {( x, y)|(x, y) ， x -,y J x y 才
即图中最中间三角形区域，此区域面积为 丄(丄)2 1
2 2 8
1
此时事件“三段的长度都不超过
1
”的概率为P -8 1 2 1
4
|x y| 15时可相见，即阴影部分
602 452 602
rin
x-尸一 13
fl
J 1 S 哎
y
60 K
解：| AB| | AC| ,2R .
BCD
圆周
7 16
A
［例4］两对讲机持有者张三、李四，为卡尔货运公司工作，他们
对讲机的接收范围是25,下午3： 00张三在基地正东30内 部处，向基地行驶，李四在基地正北 40内部处，向基地行 驶，试问下午3： 00,他们可以交谈的概率。
解：设x,y 为张三、李四与基地的距离x ［0,30］，y ［0,40］，以
基地为原点建立坐标系.他们构成实数对（x,y ），表示区域总 面积为1200，可以交谈即x 2 y 2 25
程x 2 ax b 0两根均为正数的概率
a 2 4
b 0
-252 1200
25 192
［例5］在区间［1,1］上任取两数a,b ， 运用随机模拟方法求二次方
解:
（2）X2 a 0
x2 b 0
（1 ）利用计算器产生
变换 a a1 2 1，0至1区间两组随机数a1,b1
b1 2 1
，事件A表示b
三角形的概率。
解法1：记ABC的三内角分别为
是锐角爲2且a 0且b 0的数m
4
5
ABC是锐角三角形”，则试验的全部结果组成集合
{( ，)|0 ，,0 }O
因为ABC是锐角三角形的条件是
0,—且—
2 2
所以事件A构成集合
A {( , )| —,0 , -}
2 2
由图2可知，所求概率为
1 ( )2
A的面积2(2) 1
。
(的面积1
2 4
2
解法2:如图3所示建立平面直角坐标系，A、B、C i、C2为单位圆与坐标轴的交点，当ABC为锐角三角形，记为事件A。则当C点在劣弧C£上运动时，ABC即为锐角三角形，即事件A发生, 所以
1
1
P(A)
4
解决问题的关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率。
［例7］将长为L的木棒随机的折成3段，求3段构成三角形的概率.
解：设M “3段构成三角形”
2
8］在区间［0,1］上任取三个实数x, y, z ,事件
［例.x, y分别表示其中两段的长度，
2 2 2
A {(x y, z)| x y z 1}.
(1)构造出此随机事件对应的几何图形；
)利用该图形求事件A的概率.
解：(1)如图2所示，构造单位正方体为事件空间，正方体以0为球心，以1为半径在第一卦限的1球即为事件A .
8
•3
90°时的概率，转化为求以线段为直径的半圆的面积与矩(5)2互，
矩形的面积为
2 8
点评：挖掘出点P必须落在以线段为直径的半圆内是解答本题的关键。
形的面积的比，依题意得， 1
A 2
25
35，故所求的概率为P(A) -8-
35
5
56
(2) P(A)8
4
3
13
n
6
解：由于是向该矩形内随机投一点
会是均等的，故可以认为矩形是区域足点P落在以线
段为直径的半圆内，区域A.记“点P落在以线段为直
径的半圆内”为事件
APB
P,点P落在矩形内的机.要
使得APB 90°，须满以线段为
直径的半圆可看作
A,于是求
3次，至少出现两次正面的概率是(
- C. 3D. 2 2 8 3
［课后习题］
1.一枚硬币连掷
A. 1
B.
4
) 答案:
2.在正方形ABCD 内任取一点P ,则使 APB 90。的概率是（ ）
A. -
B. n
C. n
D.卫 答案：
16
8
4
2
B
6 .在线段［0,3］上任取一点，则此点坐标小于1的概率 是
.答案：1
3
7. 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架贮藏着石油， 假如在海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率 是
答案：丄
250
8. _________ 从1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子， 从中随机 取出10 ,则其含有麦锈病的种子的概率 是 . 答
案： 0.01
9•将数2.5随机地（均匀地）分成两个非负实数，例如 2.143和 0.357或者-.3和2.5 - 3，然后对每一个数取与它最接近的整数， 如在上述第一个例子中是取 2和0,在第二个例子中取 2和1. 那么这两个整数之和等于 3的概率是多少？（答案：2 ） 5
11. 在等腰直角三角形中，在斜边上任取一点 M 求小于的概率。
（答案：3）
4
A. n
B. n 8
4
3 .已知地铁列车每10到站一次， 台立即乘上车的概率是（ ）
A.丄
B. 1
C. 11
10 6 60
C. 1 -
D. 1 - 8
4
且在车站停 答案：C
则乘客到达站
D. 4. 在两根相距6m 的木杆上系一根绳子， 则灯与两端距离都大于 2m 的概率是（ A.
1
2
B
5. 在腰长为 B.-
3
C.-
4
D.
丄 11
并在绳子上挂一盏
灯， ） 1 5
答案：D
答案:
2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三 角形的直角顶点的距离不大于 1的概率是（ ）
