西南科技大学本科期末考试试卷
《 高等数学B1》（第1套）
参考答案及评分细则
一、填空题（每空3分，共15分）
1、答案：3
分析：易；考查知识点微分方程的阶。
2、答案：2
解
: 200lim x A A e dx +∞-→+∞=⎰⎰02lim 2A e x A -+∞→⋅-=2)22(lim 2=-=-+∞
→A A e 分析：易；考查知识点反常积分的计算方法。
3、答案：12s inx C x C -++
分析：易；考查知识点原函数与不定积分的概念。
4、答案：dx xy x xy y dy )
cos(1)cos(1++-= 分析：中；考查复合函数微分法、隐函数微分法及在某点处的微分表达式。
5、答案： 23
2)1(61
t t +
分析：难；考查在参数方程形式的曲率计算。
二、选择题（每题3分，共15分）
1、答案：B
分析：易；考查变限定积分求导、特值代入法。
2、答案：A
分析：易；考查知识点利用定积分的定义求数列极限。
3、答案：C
分析：易；考查极限的运算、洛必达法则。
4、答案：C
分析：中；考查函数左右连续的定义及连续与左右连续的关系。
5、答案：B
分析：易；考查拐点的定义及判定条件。
三、解答题(每小题8分，共56分)
1、解：原极限 2222232000cos (-sin )-sin 1-cos 1=lim =lim =lim =sin 36x x x x x x x x x x x x x →→→分
分分分 分析：易；考查等价无穷小、罗比达法则。
2、解：
3232()()3232dy x x f dx x x --''=⋅++……………………...3分 22
3212arctan()32(32)x x x -=⋅++……………………………3分 03|arctan134
x dy dx π=∴=⋅=……………………………...2分 分析：易；考查复合函数的导数及利用链式法则求导。
3、解：设ln y x =上一点(,ln )x x ，切线1ln ()Y x X x x
-=-与2,6x x ==交点 11(2,ln (2)),(6,ln (6))x x x x x x
+-+- 2分 切线与直线2,6x x ==和曲线ln y x =所围成的图形面积是
6212[2ln (82)]ln A x x xdx x
=+-+⎰ 3分 设1()ln (4)f x x x x =+-得214()04f x x x x
'=-=⇒= 这就是使得A 取得最小值的点，此时切线方程是12ln 2(4)4
y x -=- 3分 分析：难；考查切线方程与最值的综合运用。
4、解：原式3'2'3'
2231 tan (sec )(sec 1)(sec )sec sec 3xd x x d x x x C ==-=-+⎰⎰ 分析：易；考查直接积分及凑微分法。
5、解： 3分 3分 2分 分析：中；考查定积分化简技巧、分部积分法、Newton-Leibniz 公式。
6、解：令tan tan y u x
dy y y du x u dx x x dx
==+=⇒令 （2分） tan du dx u x ⇒=⎰⎰ （2分） （2分） （2分）
分析：中；考查知识点齐次方程的解法。
7、解：10
0)1ln(lim 0=--++→x x x ， （3分） 000sin lim 20=---→x x x x ， （3分） 所以0
)0()(lim 0--→x f x f x 不存在，()f x 在0x =处不可导。（2分） 分析：易；考查可导性的判别。
四、证明题(7分)
证明：令)(sin )(x xf x F = （3分） )(x F 在],0[π连续,在),0(π可导，)(0)0(πF F ==, （2分） 由罗尔定理 ),0(πξ∈∃，使得0cos )(sin )('=+ξξξξf f （2分） 分析：中；考查罗尔定理。
五、应用题(7分)
⎰+402cos 1πx xdx ⎰=402cos 2πx xdx ()x d x tan 2
40⎰=π[]40tan 2
1πx x =xdx tan 2140⎰-π[]40sec ln 218ππx -=.4
2ln 8-
=πcx
u =⇒sin cx x y =⇒sin
解：联立 ⎩⎨⎧==ex y e y x ，⎩⎨⎧==0
x e y x ，⎩⎨⎧==0x ex y 得交点)0,0(),1,0(),,1(e ………………………. (2’)
则有
dx ex e S x ⎰-=1
0)( ………………………. (3’) 12]2[102
-=-=e ex e x
………………………. (2’)
分析：中；考察求直角坐标下曲线所围成平面图形面积。
