立体几何中的向量方法

教学过程

一、课堂导入

空间平行垂直问题

1．两条直线平行与垂直；

２．直线与平面平行与垂直；

３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题

1．两直线所成角；

２．直线和平面所成角；

３．二面角的概念；

空间距离问题

二、复习预习

（１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则

112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则

21||a a a a =⋅=+

（4）夹角公式：

2

cos ||||

a b

a b a b a

⋅

⋅=

=

⋅+

（5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则

221221221)()()(z z y y x x -+-+-==

．

三、知识讲解

考点1 平面法向量的求法

在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便．

求法一：先来看一个引理：

若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ，0，0)、B (0，b ，0)、C (0，0，c )，定义三点分别

在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A ＝ a ， y B ＝ b ， z C ＝ c （a ,b ,c 均不为0），则平面ABC 的法向量为111

(,,)(0)n a b c λλ=≠．参

数λ 的值可根据实际需要选取．

y

证明：→ AB ＝ (－a , b , 0), →

AC ＝ (－a , 0, c ), ∴ 0,0n AB n AC ⋅=⋅=,

∴ 111

(,,)n a b c λ=是平面ABC 的法向量．

这种方法非常简便，但要注意几个问题：

（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比

如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11

(0,,)n b c

λ=；若平面和x ,y

轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1

(0,0,)n c

λ=．

（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面． 求法二：求出平面方程，得到法向量．

我们先求过点0P ),,(000z y x 及以n ＝{}C B A ,,为法向量的平面的方程． 设),,(z y x P 是平面上的动点，于是有⋅P P 0n ＝0， 即0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A

整理得 0)(000=---+++Cz By Ax Cz By Ax

令=D 000Cz By Ax ---，有0=+++D Cz By Ax 这就是平面的一般方程.

平面的方程可用三元一次方程来表示．且z y x ,,的系数组成该平面的法向量．

注意：(1)有了平面的方程0=+++D Cz By Ax ，就能得到平面的法向量{}C B A ,,，可用平面内不共线的三点求出平面的方程．

(2)一些特殊情形的平面，方程会更简捷： 通过原点的平面，0=D ，方程为0=++Cz By Ax ； 平行于x 轴的平面，0=A ，方程为0=++D Cz By ； 通过x 轴的平面，0,0==D A ，方程为0=+Cz By ；

既平行于x 轴又平行于y 轴的平面,也就是一个平行于xoy 坐标面的平面，方程为0=+D Cz ； 类似地，可讨论其它特殊情形．

(3)两平面：01111=+++D z C y B x A 与02222=+++D z C y B x A 平行的充要条件是

21212121::::D D C C B B A A ≠==

求法三：用行列式求得法向量．

若{}1111,,z y x n =，{}2222,,z y x n =是平面内两个不共线向量，

计算行列式 2

2

2

111

z y x z y x k

j i

＝ck bj ai ++，

则平面的法向量为{}c b a

=．

n,,

考点2 用空间向量求解二面角

（一）用法向量解二面角

用法向量求解二面角时遇到一个难题：二面角的取值范围是[0, π ]，而两个向量的夹角取值范围也是[0, π ]，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢还是它的补角？如果是求解异面直线所成的角或直线与平面所成的角，只要取不超过

π

2 的那个角即可，但对二面角却是个难题. 笔者经过思考，总结出一个简单可行的方法，供读者参考.

用法向量解二面角首先要解决的问题就是：两个法向量所夹的角在什么情况下与二面角大小一致？其次，如何去判断得到的法向量是否是我们需要的那个方向？

对第一个问题，我们用一个垂直于二面角棱的平面去截二面角（如图一），两个平面的法向量12,n n

则应分别垂直于

图一