浙江大学现代测试技术第二讲作业
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第二讲作业解答
3. 试说出离散及连续信源信息量的量化公式，并解释其中各变量。 答：
，I(x i )是信源输出状态发生所含有的信息
量，在离散的信源信息中P(x i )(i 1,2,..., N) 为各个状态出现的概率（可能性），在连续的信源信息中P(x i )是随机变量的概率密度函数，对数的底数a 大于1。
4. 什么是最大离散熵定理？试举例说明。证明当信源有两状态时 的最大离散熵定理。
答：在离散信源中，当信源的输出符号是等概率分布时，信源的熵去最大值，这就是最大离散熵定理。例如，假设信源有两个状态，P(x 1）=0.5, P(x 2）=0.5,则熵为H 1(X)=-(0.5log 20.5+0.5log 20.5)=1,而当P(x 1）=0.25, P(x 2）=0.75时,则熵为
H 2(X)=-(0.25log 20.25+0.75log 20.75)=0.811。显然H 1(X)> H 2(X)。 证明：当信源有两状态时，
1122''()()log (1/())()log (1/())log (1)log (1)()log ((1)/)
()0,1/2()n n n n n H x p x p x p x p x x x x x H x x x H x x H x =+=-+--=-==当即时 有最大值
12. 试解释相关函数的由来。以正弦信号为例解释自相关函数和互 相关函数的性质。
答：相关函数描述了两个信号之间的关系或相似程度，也可以描述同一信号的现在值与过去值的关系，或者根据过去值、现在值来估计未来值。
自相关函数的性质：
1）自相关函数是τ的偶函数；
2）当τ =0时，自相关函数具有最大值；
3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
例如正弦函数的自相关函数为
为偶函数。
当τ =0时，取得最大值1，进而使取得最大值。
可以看出和是具有同频率的周期信号，但不具有原信号的相位信息。
互相关函数的性质：
1）互相关函数不是偶函数，但有。
2）互相关函数的最大值不一定发生在τ =0处。
3）两同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
4）两个非同频的周期信号互不相关。
例如正弦函数和正弦函数的互相关函数为
R yx(τ)=cos(wτ+θ)
可以看出互相关函数不是偶函数，但有。
当wτ-θ=0时取得最大值，最大值不一定发生在τ =0处。
这两个同频率周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，但保留了原信号的相位信息。
又例正弦函数和正弦函数
的互相关函数为
可以看出两个非同频的周期信号互不相关。
13. 现有一测得的相关函数图形，如题图。试问这个图形是自相关函数还是互相关函数图形？从图形中可以得到原信号的哪些信息？
答：此图是互相关函数的图形。从图形中可以得到的信息有原信号的周期（频率）和相位信息。
14. 在频域分析中，周期信号、非周期信号以及随机信号分别可采 用哪些物理量加以描述？这些物理量是如何定义的？每个物理量 的单位是什么？
答：1）周期信号可以用幅值谱、相位谱及功率谱描述。 幅值谱——之间的关系。 相位谱——之间的关系。 功率谱——
之间的关系。
2）非周期信号可以用幅值谱密度、能量谱密度和相位谱密度描述。 幅值谱密度：
；能量谱密度：
；相位谱密度：
。
3）随机信号可以用自功率谱密度与互谱密度描述。 自功率谱密度：；
互谱密度：
。
15. 什么是维纳-辛钦公式？试证明之。 答：平稳随机过程的自功率谱密度
与自相关函数
是一个
Fourier
变换偶对，即。
证明：
T T X E S X T X 2]
),([lim
)(2
ωω∞→=
)]
,(),([21
lim
*ωωT X T X E T X X T ∞→=
＝T T 21lim
∞→])()([2211
2
1⎰⎰---T T t j T T t j dt e t X dt e t X E ωω
交换积分和数学期望顺序
＝⎰⎰----∞→T T T T t t j T dt dt e t X t X E T 21)
(2112)]()([21lim
ω ＝⎰⎰----∞→-T T T T t t j X T dt dt e t t R T 21)
(1212)(21lim ω
设
12t t -=τ，12t t u +=，则
22u
t +=
τ，
21τ
-=
u t 所以：
21212
1
21
2
1
),(),(21=-=∂∂=u t t J τ
则
du e R d T S j X T
T T T X ωτττττω--+-∞→⎰⎰=)(21{21lim
)(2022}
)(210222du e R d j X T T T ωτττττ--+--⎰⎰+
＝}
)(2121{lim 2222du e R d T j X T
T T T T ωτττττ---+-∞→⎰⎰
＝τττωτ
d e R T T j X T T
T --∞→⎰-)()2(21lim
22
＝τ
ττ
ωτd e R T
j X T
T T --∞→⎰-
)()21(lim
22
＝⎰∞
∞
--τ
τωτ
d e
R j X )(－τ
ττ
ωτd e R T
j X T
T T --∞
→⎰)()2lim
22
＝
⎰∞
∞--ττωτ
d e R j X
)(
证毕。
17. 什么是相干函数？试采用系统输入和输出的互谱密度函数以及 自谱密度函数描述系统的频率响应函数，并证明之；同时说明相干函