导数典型例题讲解

导数典型例题讲解 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8-

资料一 ：导数.知识点

1．导数的概念

例1．已知曲线y =3x 上的一点P (0, 0)，求过点P

的切线方程·

解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0.

例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·

解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2

∴ k ＝00

lim lim(4)4x x y

x x ∆→∆→∆=+∆=∆.

∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0.

例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2

，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．

解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,

∴21S t t t

∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+, 即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒

∴ v (t )=S ’＝00

lim lim(21)21t t S

t t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆

即v (5)＝2×5＋1＝11.

∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数y =

x

在x =1处的导数。 解析：∆y =

11111x

x x

-+∆-=

+∆+∆, ∴ y x ∆∆=1(11)x x +∆++∆, ∴ 0lim

x y

x ∆→∆∆=01lim

2

1(11)x x x ∆→=-+∆++∆. 例5．已知函数f (x )=2

1sin 00

x x x

x ⎧≠⎪

⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数

解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－

f (0)=21

()sin x x

∆∆,

y x ∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0lim x y

x ∆→∆∆=01lim sin x x x ∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0. ∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.

例6．已知函数f (x )=2

1(1)12

1(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？

解析：f (1)=1, 20001

[(1)1]1

1

2lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,

001

(11)1

12lim lim 2

x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y

x x -

+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导． 例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.

解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,

∴ y x

∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0lim x y x ∆→∆∆=6x 2.

例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．

解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,

∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－6

1， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－

6

1

( x －1)，即 6y ＋x －31＝0. 例9．抛物线y ＝x 2

在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？

解析：∵ y ’=0lim x y

x ∆→∆∆=220()lim

2x x x x x x

∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.

例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值

(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆； (2) 000()()

lim x x

f x f x t x

∆→∆+-∆. 解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。

(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆=0000()()

lim ()'()x f x m x f x m m f x m x

∆→-∆-⋅-=-⋅-∆,

（其中－m ·∆x →0）

(2) 000()()

lim x x f x f x t x ∆→∆+-∆=0000()()11lim '()x x

f x f x t f x x t t

t

∆→∆+-⋅=⋅∆.

（其中1

0x t

∆→）

例11．设函数f (x )在x ＝1处连续，且1()

lim 21

x f x x →=-，求f ’(1).

解析：∵ f (x )在x ＝1处连续，∴ 1

lim ()x f x →=f (1).

而又1

1

11()()

lim ()lim(1)lim(1)lim 011

x x x x f x f x f x x x x x →→→→=-⋅

=-⋅=--×2=0. ∴ f (1)=0. ∴ f ’(1)=0

1(1)(1)()(1)lim

lim 21

x x f x f f x f x x ∆→→+∆--==∆-（将∆x 换成x －1） 即f ’(1)＝2.

例12．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)，通过点(1，1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值． 解析：由y ’＝

0lim

x y

x ∆→∆∆=220()()()lim 2x a x x b x x c ax bx c ax b x

∆→+∆++∆+-++=+∆, 由函数在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切, ∴ 2a ×2＋b ＝1，

又函数过点(1，1)，(2，－1), ∴ a ＋b ＋c =1， 4a ＋2b ＋c ＝－1， 由三式解得a ＝3，b ＝－11，c =9.

例13．设曲线y ＝sin x 在点A (6π，2

1)处切线倾斜角为θ，求tan(4π

－θ)的

值.

解析：∵ y =sin x ，∴ ∆y =sin(x +∆x )－sin x =2cos(x +2x ∆)sin 2

x

∆,

∴ y ’=0lim x y x ∆→∆∆=0002cos()sin sin

222lim lim cos()lim cos 22

x x x x x x

x x x x x

x ∆→∆→∆→∆∆∆+∆=+⋅=∆∆. 即y ’＝(sin x )’＝cos x , 令在A 点处切线斜率为k =cos

6π=2

3, ∴ tan θ=23, θ∈(0, π),

∴ tan(4π－θ)

＝

11tan 71tan θθ-

-==-+H ，