高中数学必修2立体几何专题线面垂直典型例题的判定与性质
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线面垂直
●知识点
1.直线和平面垂直定义
如果一条直线和一个平面的任何一条直线都垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
2.线面垂直判定定理和性质定理
判定定理:如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.
判定定理:如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面.
判定定理:一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面.
性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
3.三垂线定理和它的逆定理.
三垂线定理:在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它和这条斜线垂直.
逆定理:在平面的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.
●题型示例
【例1】如图所示,已知点S是平面ABC外一点,
∠ABC=90°,SA⊥平面ABC,点A在直线SB和SC上的
射影分别为点E、F,求证:EF⊥SC.
【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径,假设
EF⊥SC成立,结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF,这样
SC⊥AE,结合AE⊥SB,可推证AE⊥平面SBC,因此证明
AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC,
∠ABC=90°,可以推证BC⊥AE,结合AE⊥SB完成AE⊥平
例1题图
面SBC的证明.
【规解答】
【解后归纳】题设中条件多,图形复杂,结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解决问题的关键.
【例2】已知:M∩N=AB,PQ⊥M于Q,PO⊥N于O,OR⊥M于R,求证:QR⊥AB.
【解前点津】由求证想判定,欲证线线垂直,方法有(1)a∥b,a⊥c⇒b⊥c;(2)a⊥α,b⊂α⇒a⊥b;(3)三垂线定理及其逆定理.
由已知想性质,知线面垂直,可推出线线垂直或线线平行.
【解后归纳】处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题,要抓住“一个面”、“四条线”.
所谓“一个面”:就是要确定一个垂面,三条垂线共处于垂面之上.
所谓“四条线”:就是垂线、斜线、射影以及平面的第四条线,这四条线中垂线是关键的一条线,牵一发而动全身,应用时一般可按下面程序进行操作:确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影,寻第四条线.
【例3】已知如图(1)所示,矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1分别为AA′,A1A′的三等分点,将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状(正三棱柱),若面对角线AB1⊥BC1,求证:A1C⊥AB1.
【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ,而结论是AB 1⊥A 1C ,题设,题断有对答性,可在ABB 1A 1上作文章,只要取A 1B 1中点D 1,就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面AB 1与BD 1垂直关系,这里要感三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法(对称原理)转换到同一平面,取AB 中点D 即可,只要证得A 1D 垂直于AB 1,事实上DBD 1A 1,为平行四边形,解题路子清楚了.
【解后归纳】 证线线垂直主要途径是:
(1)三垂线正逆定理,(2)线面,线线垂直互相转化.
利用三垂线正逆定理完成线线归面工作,在平面完成作解任务.
证线线垂直,线面垂直,常常利用线面垂直,线线垂直作为桥梁过渡过来,这种转化思想有普遍意义,利用割补法把几何图形规化便于应用定义定理和公式,也是不容忽视的常用方法.
【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值围是 .
【解前点津】 如图,在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,
AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,
∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为
974)36(22222=++=+AH HD
例4题图
【解后归纳】本题出题形式新颖、灵活性大,很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析,找出隐藏的条件很容易得出结论.
●对应训练分阶提升
一、基础夯实
1.设M表示平面,a、b表示直线,给出下列四个命题:
①M
b
M
a
b
a
⊥
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
//
②b
a
M
b
M
a
//
⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
⊥
③⇒
⎭
⎬
⎫
⊥
⊥
b
a
M
a
b∥M④⇒
⎭
⎬
⎫
⊥b
a
M
a//
b⊥M.
其中正确的命题是 ( )
A.①②
B.①②③
C.②③④
D.①②④
2.下列命题中正确的是 ( )
A.若一条直线垂直于一个平面的两条直线,则这条直线垂直于这个平面
B.若一条直线垂直于一个平面的无数条直线,则这条直线垂直于这个平面
C.若一条直线平行于一个平面,则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线
D.若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面
3.如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点.现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF和△BEF折起,使A、B、C三点重合,重合后的点记为P.那么,在四面体P—DEF中,必有 ( )
A.DP⊥平面PEF
B.DM⊥平面PEF
C.PM⊥平面DEF
D.PF⊥平面DEF
4.设a、b是异面直线,下列命题正确的是 ( )
A.过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B.过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C.过a一定可以作一个平面与b垂直
D.过a一定可以作一个平面与b平行
5.如果直线l,m与平面α,β,γ满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么必有 ( )
A.α⊥γ且l⊥m
B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m
D.α∥β且α⊥γ
6.AB是圆的直径,C是圆周上一点,PC垂直于圆所在平面,若BC=1,AC=2,PC=1,则P到AB的
第3题图