习题三
1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与
出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.
0 1 2 3 1 0 0 3
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.
0 1 2 3 0 0 0 1 0
2
P (0黑,2红,2白)=
3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤
≤≤≤.,
020,20,sin sin 其他ππy x y x
求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ
{0,}(3.2)463
P X Y <≤
<≤公式 题3图
说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度
f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,
0,
0,0,)43(其他y x A y x e
求：（1） 常数A ；
（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}. 【解】（1） 由
-(34)0
(,)d d e d d 112
x y A
f x y x y A x y +∞+∞
+∞
+∞
+-∞
-∞
==
=⎰⎰
⎰
⎰
得 A =12 （2） 由定义，有
(3) {01,02}P X Y ≤<≤< 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
X
Y
X
Y
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<<--.,
0,
42,20),6(其他y x y x k
（1） 确定常数k ；
（2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有
故 1
8
R =
（2） 13
{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞
<<=⎰⎰
(3) 1
1.5
{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=
⎰⎰⎰⎰如图
(4) 2
4
{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=
⎰⎰⎰⎰如图b
题5图
6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为
f Y （y ）=⎩
⎨⎧>-.,0,
0,55其他y y e
求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }. 题6图
【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为
而 所以
(2) 5()(,)d d 25e d d y y x
D
P Y X f x y x y x y -≤≤=
⎰⎰⎰⎰如图
7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为
F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,
0,
0,0),1)(1(24其他y x y x e e
求（X ，Y ）的联合分布密度.
【解】(42)28e ,0,0,
(,)(,)0,
x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.
8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,
0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨
⎩
其他
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
⎰
题8图 题9图
9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,
0,
0,其他e y x y
求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
⎰
题10图
10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,
0,
1,22其他y x y cx
（1） 试确定常数c ；
（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）
(,)d d (,)d d D
f x y x y f x y x y +∞+∞
-∞
-∞
⎰⎰
⎰⎰如图
得
21
4
c =
. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
⎰
11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为
f （x ，y ）=⎩⎨
⎧<<<.
,
0,
10,,1其他x x y
求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.
题11图 【解】()(,)d X f x f x y y +∞
-∞
=
⎰
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大
的号码为Y .
（1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立？
3 4 5 1 2 0 3 0 0
(2) 因{1}{3}{1,3},101010010
P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立
Y
X
