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§4数列在日常经济生活中的应用知识点一零存整取模型[填一填](1)单利：单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息,其公式为利息＝本金×利率×存期．若以P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本金和利息和(以下简称本利和),则有S＝P(1＋nr)．(2)复利：把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的．复利的计算公式是S＝P(1＋r)n.[答一答]1．简单总结一下本节课中几种模型的规律方法．提示：(1)银行存款中的单利是等差数列模型,本息和公式为S＝P(1＋nr)．(2)银行存款中的复利是等比数列模型,本利和公式为S＝P(1＋r)n.(3)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为P,对于时间x的总产值y＝N(1＋P)x.(4)分期付款模型：a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则b＝r(1＋r)n a (1＋r)n－1.知识点二数列知识的实际应用及解决问题的步骤[填一填](1)数列知识有着广泛的应用,特别是等差数列和等比数列．例如银行中的利息计算,计算单利时用等差数列,计算复利时用等比数列,分期付款要综合运用等差、等比数列的知识．(2)解决数列应用题的基本步骤为：①仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型；②挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列,还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题；③检验结果,写出答案．[答一答]2．数列应用题中常见模型是哪些？ 提示：等差模型和等比模型．1．数列实际应用题的解题策略解等差、等比数列应用题时,首先要认真审题,深刻理解问题的实际背景,理清蕴含在语言中的数学关系,把应用问题抽象为数学中的等差、等比数列问题,然后求解．2．处理分期付款问题的注意事项(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所产生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和,只有掌握了这一点,才可以顺利建立等量关系．类型一 单利计算问题【例1】 有一种零存整取的储蓄项目,它是每月某日存入一笔相同的金额,这是零存；到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取．它的本利和公式如下：本利和＝每期存入金额×⎣⎡⎦⎤存期＋12存期×(存期＋1)×利率. (1)试解释这个本利和公式；(2)若每月初存入100元,月利率5.1‰,到第12个月底的本利和是多少？(3)若每月初存入一笔金额,月利率是5.1‰,希望到第12个月底取得本利和2 000元,那么每月应存入多少金额？【思路探究】 存款储蓄是单利计息,若存入金额为A ,月利率为P ,则n 个月后的利息是nAP .【解】 (1)设每期存入金额A ,每期利率P ,存入期数为n ,则各期利息之和为 AP ＋2AP ＋3AP ＋…＋nAP ＝12n (n ＋1)AP .连同本金,就得：本利和＝nA ＋12n (n ＋1)AP ＝A ⎣⎡⎦⎤n ＋12n (n ＋1)P . (2)当A ＝100,P ＝5.1‰,n ＝12时,本利和＝100×⎝⎛⎭⎫12＋12×12×13×5.1‰＝1 239.78(元)． (3)将(1)中公式变形得 A ＝本利和n ＋12n (n ＋1)P＝ 2 00012＋12×12×13×5.1‰≈161.32(元)．即每月应存入161.32元．规律方法 单利的计算问题,是等差数列模型的应用．王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”,已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.(1)欲在3年后一次支取本息合计2万元,王先生每月大约存入多少元？(2)若教育储蓄存款总额不超过2万元,零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？(精确到1元)解：(1)设王先生每月存入A 元,则有A (1＋2.7‰)＋A (1＋2×2.7‰)＋…＋A (1＋36×2.7‰)＝20 000,利用等差数列前n 项和公式,得A ⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰＝20 000,解得A ≈529元．(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储蓄每月至多存入20 00036≈555(元),这样,3年后的本息和为：555(1＋2.7‰)＋555(1＋2×2.7‰)＋…＋555(1＋36×2.7‰)＝555⎝⎛⎭⎫36＋36×2.7‰＋36×352×2.7‰≈20 978(元)．类型二 关于复利模型问题【例2】 小张为实现“去上海,看世博”的梦想,于2005年起,每年2月1日到银行新存入a 元(一年定期),若年利率r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到2010年2月1日,将所有存款及利息全部取回,试求他可以得到的总钱数．【思路探究】 由题意知,本题为定期自动转存问题,应为等比数列前n 项和的模型． 【解】 依题意每一年的本息和构成数列{a n },则2005年2月1日存入的a 元钱到2006年1月31日所得本息和为a 1＝a (1＋r )．同理,到2007年1月31日所得本息和为 a 2＝[a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2008年1月31日所得本息和为[a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2009年1月31日所得本息和为[a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ), 到2010年1月31日所得本息和为[a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＋a ](1＋r )＝a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r ),所以2010年2月1日他可取回的钱数为a (1＋r )5＋a (1＋r )4＋a (1＋r )3＋a (1＋r )2＋a (1＋r )＝a ·(1＋r )[1－(1＋r )5]1－(1＋r )＝ar [(1＋r )6－(1＋r )](元)．规律方法 本例主要考查阅读理解能力,这里关键是每年2月1日又新存入a 元,因此每年到期时所得钱的本息和组成一个等比数列前n 项和模型．某牛奶厂2013年初有资金1 000万元,由于引进了先进生产设备,资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金后,余下的资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金,才能实现经过5年资金达到2 000万元的目标？解：设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金． 2013年底剩余资金是1 000(1＋50%)－x ；2014年底剩余资金是[1 000(1＋50%)－x ]·(1＋50%)－x ＝1 000(1＋50%)2－(1＋50%)x －x ；……5年后达到资金1 000(1＋50%)5－(1＋50%)4x －(1＋50%)3x －(1＋50%)2x －(1＋50%)x ＝2 000, 解得x ＝459(万元)． 类型三 分期付款模型【例3】 用分期付款的方式购买一件家用电器,其价格为1 150元．购买当天先付150元,以后每月这一天都交付50元,并加付欠款的利息,月利率为1%,分20次付完．若交付150元以后的第1个月开始算分期付款的第1个月,问：分期付款的第10个月需交付多少钱？全部贷款付清后,买这件家电实际花了多少钱？【思路探究】 构建等差数列模型,利用等差数列的前n 项和公式求解．【解】 购买时付款150元,欠1 000元,以后每月付款50元,分20次付清．设每月付款数顺次构成数列{a n },则a 1＝50＋1 000×1%＝60,a 2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5＝60－0.5×1, a 3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59＝60－0.5×2, ……a 10＝50＋(1 000－50×9)×1%＝55.5＝60－0.5×9, 则a n ＝60－0.5(n －1)＝－0.5n ＋60.5(1≤n ≤20)． 所以数列{a n }是以60为首项,－0.5为公差的等差数列,所以付款总数为S 20＋150＝20×60＋20×192×(－0.5)＋150＝1 255(元)．所以第10个月需交55.5元,全部付清实际花了1 255元．规律方法 解题时务必要注意第一次付款的利息是1 000元欠款的利息,而不是950元的利息,而最后一次付款的利息是50元欠款的利息．某人在2015年年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利率为3.375‰,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清,那么每月应还贷多少元？(参考数据：1.003 375120≈1.498 28)解：方法一：由题意知借款总额a ＝200 000(元),还款次数n ＝12×10＝120, 还款期限m ＝10(年)＝120(个月), 月利率r ＝3.375‰ .代入公式得,每月还款数额为： 200 000×0.003 375×(1＋0.003 375)120(1＋0.003 375)120－1≈2 029.66.故如果10年还清,每月应还贷约2 029.66元．方法二：设每月应还贷x 元,共付款12×10＝120(次),则有x [1＋(1＋0.003 375)＋(1＋0.003 375)2＋…＋(1＋0.003 375)119]＝200 000×(1＋0.003 375)120,解方程得x ≈2 029.66.故每月应还贷约2 029.66元． 类型四 增长率问题【例4】 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游业．根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少15,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元,写出a n ,b n 的表达式；(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？【思路探究】 (1)由题设知各年的投入费用及旅游业收入分别构成等比数列,利用等比数列的前n 项和公式易得a n 与b n ；(2)建立a n 与b n 的不等关系,解不等式即得．【解】 (1)第一年投入为800万元,第二年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15万元,…,第n 年投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元,各年投入依次构成以800为首项,1－15＝45为公比的等比数列,所以n 年内的总投入为a n ＝800⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n 1－45＝4 000－4 000·⎝⎛⎭⎫45n . 第一年旅游业收入为400万元,第二年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14万元,…,第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元,各年旅游业收入依次构成以400为首项,1＋14＝54为公比的等比数列,所以n 年内的旅游业总收入为b n ＝400⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫54n 1－54＝1 600⎝⎛⎭⎫54n －1 600. (2)设经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入,则b n －a n >0,即1 600⎝⎛⎭⎫54n－1 600－4 000＋4 000⎝⎛⎭⎫45n>0,化简得2⎝⎛⎭⎫54n ＋5⎝⎛⎭⎫45n－7>0.设⎝⎛⎭⎫45n＝x ,代入上式得5x 2－7x ＋2>0,根据二次函数y ＝5x 2－7x ＋2的图像解此不等式, 得x <25或x >1(舍去),即⎝⎛⎭⎫45n <25,由此得n ≥5.故至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．规律方法 当问题中涉及的各量依次以相同的倍数变化时,则考虑构建等比数列模型．其解题步骤为：(1)由题意构建等比数列模型(有时需要从特殊情况入手,归纳总结出一般规律,进而构建等比数列模型)；(2)确定其首项a 1与公比q ,分清是求第n 项a n ,还是求前n 项和S n ； (3)利用等比数列的通项公式及前n 项和公式求解； (4)经过检验得出实际问题的答案．某商场出售甲、乙两种不同价格的笔记本电脑,其中甲商品因供不应求,连续两次提价10%,而乙商品由于外观过时而滞销,只得连续两次降价10%,最后甲、乙两种电脑均以9 801元售出．若商场同时售出甲、乙电脑各一台,与价格不升不降比较,商场赢利情况是少赚598元．解析：设甲原价是m 元,则m (1＋10%)2＝9 801⇒m ＝9 8011.21,设乙原价是n 元,则n (1－10%)2＝9 801⇒n ＝9 8010.81.(m ＋n )－2×9 801＝9 801×⎝⎛⎭⎫11.21＋10.81－19 602＝9 801× 2.021.21×0.81－19 602＝20 200－19 602＝598.——多维探究系列——数列中的探索性问题探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题,此类题目的条件或结论不完备,要求考生自己去探索,结合已知条件,进行观察、分析、比较和概括．它对考生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法解决问题的能力提出了较高的要求．这类问题不仅考查考生的探索能力,而且给考生提供了创新思维的空间,所以备受高考的青睐,是高考重点考查的内容．探索性问题一般可以分为：条件探索性问题、规律探索性问题、结论探索性问题、存在探索性问题等．【例5】 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,S 4,S 2,S 3成等差数列,且a 2＋a 3＋a 4＝－18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ,使得S n ≥2 013？若存在,求出符合条件的所有n 的集合；若不存在,说明理由．【思路分析】 (1)根据已知条件得出关于a 1,q 的方程组,求解即可；(2)只需表示出前n 项和,解指数不等式．【规范解答】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a 1≠0,q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1. (2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ,使得S n ≥2 013,则1－(－2)n ≥2 013, 即(－2)n ≤－2 012.当n 为偶数时,(－2)n >0,上式不成立；当n 为奇数时,(－2)n ＝－2n ≤－2 012,即2n ≥2 012,则n ≥11.综上,存在符合条件的正整数n ,且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1,k ∈N ,k ≥5}．【名师点评】 求解此类题需要同学们熟练运用公式和相关概念来构建方程(组),进而求得数列的通项．本例题的难点在于对不等式2n ≥2 012的求解及对n 的奇偶性的讨论．建议熟记2的1～10次幂的值．已知数列{a n }中,a 1＝1,且点P (a n ,a n ＋1)(n ∈N ＋)在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n,S n 表示数列{b n }的前n 项和,试问：是否存在关于n 的关系式g (n ),使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在,写出g (n )的解析式,并加以证明；若不存在,试说明理由．解：(1)由点P (a n ,a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上, 即a n ＋1－a n ＝1,且a 1＝1,即数列{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列． 则a n ＝1＋(n －1)×1＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在满足条件的g (n ), 由b n ＝1n ,可得S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ,S n －S n －1＝1n (n ≥2),nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1, (n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1, …2S 2－S 1＝S 1＋1.以上(n －1)个等式等号两端分别相加得 nS n －S 1＝S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＋n －1,即S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝nS n －n ＝n (S n －1),n ≥2.令g (n )＝n ,故存在关于n 的关系式g (n )＝n ,使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立．一、选择题1．有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要( B )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析：依题意,得1＋21＋22＋…＋2n －1≥100, ∴1－2n 1－2≥100,∴2n ≥101,∴n ≥7, 则所求为7秒钟．2．某林厂年初有森林木材存量S 立方米,木材以每年25%的增长率生长,而每年末都砍伐固定的木材量x 立方米,为实现经过两次砍伐后的木材的存量增加50%,则x 的值是( C )A.S 32B.S 34C.S 36D.S 38解析：一次砍伐后木材的存量为S (1＋25%)－x ； 二次砍伐后木材存量为[S (1＋25%)－x ](1＋25%)－x ＝2516S －54x －x ＝S (1＋50%),解得x ＝S 36. 3．某工厂2013年年底制订生产计划,要使工厂的年总产值到2023年年底在原有基础上翻两番,则年总产值的平均增长率为( A )A ．4110－1B ．5110－1C ．3110－1D ．4111－1二、填空题4．一个工厂的生产总值月平均增长率是p ,那么年平均增长率为(1＋p )12－1.解析：一年12个月,故1月至12月产值构成公比为1＋p 的等比数列,设去年年底产值为a ,∴a 12＝a (1＋p )12,∴年平均增长率为a (1＋p )12－aa＝(1＋p )12－1.5．今年,某公司投入资金500万元,由于坚持改革、大胆创新,以后每年投入资金比上一年增加30%,那么7年后该公司共投入资金5 0003(1.37－1)万元．解析：设第n 年投入的资金为a n 万元, 则a n ＋1＝a n ＋a n ×30%＝1.3a n ,则a n ＋1a n＝1.3,所以数列{a n }是首项为500,公比为1.3的等比数列,所以7年后该公司共投入资金S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝500×(1－1.37)1－1.3＝5 0003(1.37－1)(万元)．。
浅析数学在经济学中的应用一、微观经济学中的数学应用微观经济学主要研究个体经济单位（如个人、家庭、企业等）在资源配置和价格形成中的行为与决策。
数学在微观经济学中的应用主要体现在以下几个方面：1. 边际分析：边际分析是微观经济学的重要方法之一，其核心思想是通过求解边际变化来确定最优决策。
在经济学中，边际收益、边际成本等概念都是通过微积分来进行定义和计算的。
企业在决定生产规模时，需要通过边际成本和边际收益来确定最优产量，这就需要借助微积分进行计算和分析。
2. 供求关系与均衡分析：供求关系是微观经济学的基本内容之一，它描述了商品或劳务在不同价格下的供给量和需求量之间的关系。
通过建立供求曲线，可以求解市场均衡价格和数量。
而供求曲线的绘制和分析则离不开数学，尤其是函数的概念和图形分析方法。
3. 生产函数与边际产出：生产函数是描述生产要素（如劳动、资本等）与产出之间的数量关系的函数。
而边际产出则是指增加一个单位生产要素对产出的额外增量。
这些概念的确立和推导都需要运用到微积分和数学函数的分析方法。
二、宏观经济学中的数学应用宏观经济学研究整个国民经济和国际经济体系的运行和发展规律，与微观经济学相比，其研究对象更加宏大和复杂。
在宏观经济学中，数学同样扮演着重要的角色，具体体现在以下几个方面：1. 经济增长模型：经济增长模型是宏观经济学的重要内容之一，其研究目标是揭示一个国家或地区长期经济增长的规律和机制。
在经济增长模型的建立和求解过程中，数学方法通常是必不可少的工具。
Solow经济增长模型就是以微积分为基础进行建模和分析的。
2. 动态优化问题：宏观经济学中的一些经济政策问题以及经济系统的演化模型都可以归结为动态优化问题。
其核心是在一定的约束条件下，通过最大化或最小化某种指标来确定决策变量的最优值。
这些问题一般可以通过微积分和最优化理论进行求解。
3. 总量关系与宏观调控：在宏观经济学中，总量关系（如国民总产出、总投资、总消费等）的均衡和调节是非常重要的。
经济数学在金融经济领域中的应用经济数学在金融经济领域中的应用导言经济数学作为经济学与数学的交叉学科，在金融经济领域中发挥着重要作用。
它利用数学模型和方法，帮助我们理解和解决各种经济问题，为金融经济决策提供科学依据。
本文将探讨经济数学在金融经济领域中的应用，并以实例说明其在风险管理、投资组合优化、金融市场分析等方面的重要性。
一、经济数学在风险管理中的应用1.1 方差-协方差模型方差-协方差模型是风险管理中常用的方法之一。
该模型通过计算相关金融资产的方差和协方差，评估投资组合的风险水平。
例如，我们可以通过计算投资组合中各个资产的历史收益率，进而计算出它们的方差和协方差，从而得到整个投资组合的风险情况。
这一模型的应用可以帮助投资者更好地理解投资组合的风险特征，进而进行合理的风险分散和资产配置。
1.2 随机过程模型随机过程模型是现代风险管理中广泛使用的数学工具之一。
它通过建立数学模型，描述金融资产价格和市场波动的随机性变动。
例如，布朗运动模型可以用来描述股票价格的随机变动，从而帮助投资者预测股票价格的未来走势。
这一模型的应用可以帮助投资者更好地进行风险控制和预测，提高投资效益。
二、经济数学在投资组合优化中的应用2.1 马科维茨模型马科维茨模型是投资组合优化中常用的方法之一。
该模型通过最小化投资组合的风险，同时最大化预期回报，寻找风险和回报之间的平衡点。
例如，我们可以通过计算投资组合中各个资产的期望收益率和方差，利用马科维茨模型得到最优的资产配置方案。
这一模型的应用可以帮助投资者进行有效的资产配置，实现收益最大化和风险最小化。
2.2 线性规划模型线性规划模型是投资组合优化中常用的方法之一。
该模型通过建立线性关系，优化投资组合的权重分配。
例如，我们可以通过设定投资组合的约束条件，如风险水平、收益要求等，利用线性规划模型确定最优的资产配置方案。
这一模型的应用可以帮助投资者在考虑多种约束条件的情况下，找到最合适的投资方案。
数学在经济学中的应用数学作为一门基础学科，在各个领域都有着广泛的应用。
经济学作为一门研究社会资源配置的学科，自然也离不开数学的支持与应用。
本文将重点探讨数学在经济学中的应用，并举例说明其具体实践。
1.数学在经济学模型的构建与分析中的应用经济学研究的核心之一是通过建立合适的数学模型来解释经济现象，并进行分析。
在经济学模型的构建中，数学的应用十分广泛。
比如，在宏观经济学中，我们常常使用的菲利普斯曲线模型可以通过微分方程来描述。
通过对微分方程进行分析，我们可以研究经济中的通货膨胀和失业之间的关系。
同时，在微观经济学中，比如供需模型中，我们使用的曲线图经常依赖于数学方程的表示和求解。
2.数学在经济学中的最优化问题经济学中充斥着各种最优化问题，而数学作为解决优化问题的强有力工具，广泛应用于经济学中。
比如，在微观经济学中，我们经常遇到的约束条件下的最优决策问题可以通过数学建模来解决。
数学上的最优化理论可以帮助我们找到供给和需求之间的均衡点，以及企业在利润最大化时的最优产量和价格等决策。
3.数学在金融学中的应用金融学作为经济学的一个重要分支，与数学有着密切的联系。
在金融学中，数学被广泛应用于风险管理、资产定价、投资组合等领域。
比如，在期权定价中，我们可以通过使用数学模型，如布莱克-斯科尔斯模型，来计算期权的价格。
这些数学模型使得金融从业人员能够更好地理解和管理金融市场风险，提高投资决策的准确性和效率。
4.数学在经济数据分析中的应用经济学研究不可避免地要依赖于大量的经济数据，而数学在经济数据的分析中起着重要的作用。
比如，在经济增长的研究中，我们可以通过对时间序列数据进行数学建模和分析，来寻找经济增长的规律和周期。
此外，线性回归模型等数学工具也广泛应用于经济学中的数据分析，帮助我们识别和验证经济理论。
综上所述，数学在经济学中发挥着重要的作用，从经济学模型的构建与分析、最优化问题的求解到金融学和经济数据分析中的应用，数学的应用无处不在。
浅谈应用数学在社会生活中的应用随着科技的不断发展和社会的不断进步，应用数学已成为一门重要的学科，也逐渐走进我们的生活。
它应用于各个领域，如物理、工程、天文学、生物医学、金融与经济等，以及日常生活中的各种实际问题。
下面就谈一下应用数学在社会生活中的应用。
一、金融与经济领域杠杆效应，也就是财务的杠杆效应，是企业通过借贷来进行财务投资的一种手段。
应用数学的杠杆效应理论可以帮助企业在借贷活动中确定合适的杠杆率，降低企业的风险。
此外，情境分析是金融行业中常用的一种方法。
情境分析可以利用概率方法来分析风险和机会，帮助投资者做出更准确的投资决策。
二、交通运输领域在城市交通运输领域，应用数学可以帮助优化城市里的交通流量，改善人们的出行体验。
通常，数学模型被用来研究路况、最优路径等交通问题。
比如说，在城市中设置交通信号灯时，我们使用的决策规则是基于交通流量模型；在公共交通系统中，控制节奏和车辆数量是基于同样的模型。
三、医学领域医学领域也应用数学的方法，例如疾病的传播，医疗费用分配等等。
这些应用数学的问题在医疗领域起到极大的作用，如我们现在面对的新型冠状病毒，就需要数学模型来分析病毒传播规律，预测疫情的发展趋势和疫苗接种策略等。
气象学也是应用数学的典型领域。
气象预报、气体浓度的测量等工作须使用到统计学、微积分等数学知识。
复杂的气象数值预报模型正是使用多个数学分支纳入的，比如在衬衫工厂生产时需要考虑到温度、湿度、气压等因素，其生产效率也必须考虑到这些因素的影响。
五、环保领域环保领域也是应用数学的领域之一。
气候变化与环境保护紧密关联，而这些都需要从多个角度进行分析和预测。
单一模型往往无法完全解决问题，需要多个模型进行整合。
应用数学的方法可以帮助我们预测环境暴露与环境影响的关系，以及制订环境保护策略。
六、体育领域体育领域也是应用数学的领域之一。
比如，足球比赛中的进球概率，通过对历史数据的收集和分析，可以得出每个球队的进球概率，并能够预测比赛结果。
数学模型在经济学中的应用案例解析引言：数学模型作为一种工具，已经被广泛应用于各个领域，其中包括经济学。
经济学作为一门研究人类经济活动的学科，需要对经济现象进行建模和分析。
本文将以几个经典案例为例，探讨数学模型在经济学中的应用。
案例一：供求模型供求模型是经济学中最基础的模型之一，用于分析市场的供给和需求关系。
假设有一种商品，其价格和需求量之间存在一定的关系。
通过建立数学模型，可以推导出供给曲线和需求曲线的交点，即市场均衡点。
在市场均衡点上，供给量和需求量相等，价格也达到了最优水平。
通过这个模型，经济学家可以分析价格变动对市场的影响。
例如，当商品价格上涨时，需求量可能会下降，从而导致供给过剩。
而当商品价格下跌时，需求量可能会上升，从而导致供给不足。
这种分析可以帮助企业和政府制定合理的价格策略和市场调控政策。
案例二：经济增长模型经济增长模型用于分析一个国家或地区的经济增长过程。
其中，最经典的模型之一是所罗门模型。
该模型假设经济增长受到资本积累和技术进步的影响。
通过建立数学模型，可以推导出经济增长率与资本积累率和技术进步率之间的关系。
这个模型的应用非常广泛，例如可以用来分析一个国家的经济政策对经济增长的影响。
如果一个国家加大对教育、科技等方面的投资，那么技术进步率可能会提高，从而促进经济增长。
而资本积累率的提高也可以通过各种政策手段来实现，例如减税、鼓励企业投资等。
案例三：风险管理模型风险管理是金融领域中非常重要的一个问题。
数学模型在风险管理中发挥了重要作用。
例如，著名的Black-Scholes期权定价模型就是基于数学模型的。
该模型可以用来计算期权的理论价格，从而帮助投资者进行风险管理和决策。
通过这个模型，投资者可以根据市场价格、期权到期时间、标的资产价格波动率等因素，计算出一个合理的期权价格。
这对于投资者来说是非常有价值的信息，可以帮助他们进行投资决策。
同时，这个模型也可以用来分析市场中的套利机会和风险。
数学与经济学的关系小学生学习数学在经济学中的应用数学与经济学的关系：小学生学习数学在经济学中的应用数学和经济学是两个看似截然不同的学科，但它们在某种程度上有着紧密的联系。
对于小学生而言，学习数学不仅是为了提升计算能力，还可以为将来的经济学学习奠定基础。
本文将探讨数学与经济学之间的关系，以及小学生学习数学在经济学中的应用。
一、数学与经济学的关系数学和经济学是两个互相依存的学科。
数学提供了经济学所需的工具和方法，而经济学则为数学提供了应用的场景和问题。
具体来说，数学在经济学中的应用包括但不限于以下几个方面。
1. 数据分析：经济学家经常需要进行大量的数据分析来研究经济现象和趋势。
数学中的统计学和概率论为经济学家提供了数据处理和预测的方法。
小学生学习数学中的统计和概率知识可以为他们将来的经济学研究打下坚实的基础。
2. 建模和优化：经济学是一个涉及到决策和优化的学科，而数学提供了建立模型和进行优化的工具。
小学生学习数学中的代数和几何等知识，可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力，为将来的经济学建模提供基础。
3. 经济方程式：经济学中经常使用各种方程式来描述经济现象和关系。
而这些方程式大多基于数学的原理和概念。
小学生学习数学中的方程式和函数等内容，可以为他们将来理解和运用经济学中的方程式提供帮助。
二、小学生学习数学在经济学中的应用尽管小学生学习的数学内容相对简单，但它们在经济学中的应用可以培养孩子的数学思维和经济意识。
以下是一些小学生数学在经济学中的应用案例。
1. 货币概念的学习：小学阶段，孩子们接触到了货币的概念和使用。
通过学习数学中的货币计算，他们可以理解货币的重要性、价值的概念以及货币在经济活动中的作用。
2. 时间和计算的训练：小学生在学习数学的过程中，会学习到日历、时钟和时间单位等概念。
这些知识不仅有助于他们日常生活的时间管理，还培养了他们在经济学中进行时间和计算的能力。
3. 数量和比例的认知：小学生会学习数的大小和数量关系，以及比例和百分数等概念。
数学运算与生活应用数学是一门抽象而又具有广泛应用的学科，它在生活中发挥着至关重要的作用。
本文将探讨数学运算在生活应用中的几个方面。
一、财务管理财务管理是每个人都会面临的一个问题。
数学运算在财务管理中发挥着重要的作用。
例如，计算存款的利息、各项费用的比较与优化、投资回报率的计算等等，都需要运用数学运算来进行分析和决策。
此外，数学运算还能用于解决复杂的税收计算、财务规划和风险管理等问题。
二、商业与经济商业与经济是与人们生活息息相关的领域，而数学运算在商业与经济中起着不可或缺的作用。
商业数学常用于市场预测、销售数据分析、价格优化和供应链管理等方面。
同时，经济学中的模型和公式也依赖于数学运算。
通过运用数学方法，可以帮助企业和个人做出更准确的决策，提高效益并降低成本。
三、工程与科学工程和科学领域离不开精确的数学运算。
无论是建筑设计、电子电路、机械工程还是化学实验，数学都是必不可少的工具。
例如，计算机辅助设计软件能够通过数学运算模拟出复杂的建筑结构；电子工程中的电路设计则依赖于数学方程和计算；化学反应方程的推导和解析也需要运用数学的思维方法。
四、个人生活数学运算在个人生活中不经意地融入进来，给我们带来方便和便利。
例如，我们每天会在家庭预算中运用数学来计算开销和收入；数学也可以帮助我们评估购物打折的优惠力度；在旅行中，数学可以用于计算行程时间和距离；甚至在烹饪中，量的把控和食谱的调整都需要用到数学运算。
总结起来，数学运算在生活中的应用无处不在。
从个人的财务管理到商业的决策，从工程设计到科学研究，数学都在为我们提供思维工具和解决问题的方法。
因此，掌握基本的数学运算和思维方法，对每个人来说都十分重要。
希望本文能给读者带来对数学运算与生活应用之间关联的更深刻理解，并进一步发掘数学在生活中的潜力。
谈高等数学理论在经济领域中的应用高等数学在当今的世界里非常重要，在经济学领域里也是如此。
随着市场变得比较复杂，知识经济时代的到来，经济学系统更加复杂，对高等数学理论的应用也更加明显。
首先，高等数学可以用于经济学研究中的一般模型分析。
经济学分析中使用的一般模型大都建立在数学基础之上，如公式、微分方程等，而这些公式和微分方程的结构大多是数学基础上建立的。
因此，深入、系统地学习高等数学的同学有更多的机会参与经济学研究。
其次，高等数学还可以用来研究应用数量经济学。
应用数量经济学主要是利用数学模型来研究经济问题，以求得更好的经济管理解决方案以实现有效的经济管理。
高等数学首先提供了建立数量经济学模型所需要的数学理论，其次是运用数学理论与实践相结合，进行决策分析，以及提出合理的经济解决方案。
此外，高等数学还可以应用到金融学的研究中。
金融学的核心研究是利用统计分析、概率论和数理经济学方程进行金融定量分析，而其中的基础也是数学和计算。
高等数学包含了统计学、概率论等基础知识，是金融学研究所需要的基础理论，也是金融数学建模中基础理论及基础计算工具。
同时，高等数学还可以应用到经济发展研究中。
中国经济发展历史悠久，经济发展过程也渐趋复杂。
高等数学方法包括可微分理论、多元函数理论等在内的多项数学方法可以有效地提供分析各类经济数据的方法，从而逐渐形成复杂的经济发展模型，为经济发展提供新的见解。
综上所述，可以看出高等数学是当今经济学研究和发展研究中不可或缺的理论工具。
虽然只是一门基础学科，高等数学却与现在的日常生活已经深深相连，相当多的重大经济事件正是建立在高等数学之上的。
总之，这都与高等数学有着密不可分的关系，已经在经济领域中发挥着重要作用。
数学模型在经济学中的应用经济学是一门研究资源分配、生产、交换和消费的社会科学。
随着经济环境日益复杂和全球化程度的提高，经济学家们逐渐认识到数学模型在经济学研究中的重要性。
数学模型的引入不仅提供了一种精确和系统的分析工具，还能够帮助经济学家更好地理解和预测经济现象。
本文将探讨数学模型在经济学中的应用，并举例说明其在经济学研究中的重要性。
一、供求模型供求模型是经济学中最基础的数学模型之一，用来描述市场上商品供给和需求之间的关系。
通常，供求模型由需求曲线和供给曲线组成，其中需求曲线表示商品的需求量与价格之间的关系，供给曲线则表示商品的供给量与价格之间的关系。
通过数学模型，经济学家可以计算出市场的均衡价格和数量，从而帮助决策者制定合理的定价策略，实现市场的稳定和效益最大化。
二、经济增长模型经济增长模型用来描述一个国家或地区的经济总量如何随着时间的推移而增长。
其中，最著名的经济增长模型之一是所罗门模型（Solow Model）。
这个模型通过引入生产函数、资本累积率和劳动力增长率等变量，解释了技术进步、资本积累和人口增长对经济增长的影响。
通过数学模型的分析，经济学家可以评估特定政策措施对经济增长的影响，为决策者提供科学的政策建议。
三、成本效益分析成本效益分析是一种通过数学模型来评估项目或政策的经济效益和成本的方法。
在进行成本效益分析时，经济学家可以将项目或政策的成本和效益以数学模型的形式进行建模，然后通过对模型进行计算和分析来评估其经济可行性和可持续性。
成本效益分析广泛应用于公共政策领域，如基础设施建设、环保项目等，能够帮助政府和企业做出理性的决策，以最大限度地实现经济效益。
四、风险管理模型在金融领域，数学模型被广泛应用于风险管理和投资决策。
例如，著名的马科维茨模型（Markowitz Model）通过数学模型对投资组合进行优化，以最大化投资者的收益并控制风险。
同时，Black-Scholes期权定价模型是金融衍生品领域中最重要的数学模型之一，它通过数学公式计算期权合约的市场价值，并为投资者提供合理的定价参考。
概率论与数理统计在经济生活中的应用概率论与数理统计是数学中的两大分支，它们虽然在学科体系中独立存在，但它们的应用却是相互交织的，并且在经济生活中起着重要的作用。
本文将从以下几个方面介绍概率论与数理统计在经济生活中的应用。
1. 风险分析风险分析是经济学中的重要分支，它通过对经济活动中的不确定性因素进行分析，提高对风险的认识，从而制定出更为科学的风险管理策略。
概率论和数理统计作为风险分析的核心工具，可以为经济活动的风险管理提供科学地依据。
以金融市场为例，投资者在选择投资标的时，往往需要面对不确定性的风险。
通过概率论和数理统计可以对金融市场的波动情况进行分析，制定更为科学的投资策略，提高投资的效益和安全性。
2. 假设检验假设检验是数理统计的一个分支，它可以通过检验某个假设在样本数据中是否成立来判断某种现象的真实性。
在经济生活中，假设检验可以用于研究市场经济中的各种现象，以便更好地制定经济政策和管理措施，保证市场经济的健康发展。
例如，在经济学中广泛应用的均值检验，可以帮助研究人员判断某个经济指标是否存在显著差异，从而更好地分析经济现象之间的关系，指导政策制定。
3. 统计预测统计预测是指利用过去的数据和经验，通过数学模型来预测未来的发展趋势。
概率论和数理统计中的时间序列分析、回归分析等方法都可以用于经济生活中的统计预测。
例如，在销售预测方面，通过对历史销售数据进行回归分析，可以预测未来的销售情况，从而更好地调整生产计划和销售策略，确保企业在市场竞争中保持优势。
4. 财务风险评估财务风险评估是企业管理中非常重要的一环，它可以通过对企业的财务数据进行分析，评估企业的偿付能力和经营风险。
而在分析过程中，概率论和数理统计可以提供很好的支持。
例如对于信贷风险的评估，可以通过对贷款人的历史信用记录、收入状况、债务情况等数据进行回归分析，从而预测贷款人在未来的偿还能力。
另外，对于企业的经营风险评估，可以通过对财务指标进行时间序列分析，预测企业的未来发展趋势和经营风险。
数学模型在经济学中的应用举例经济学是一门应用广泛的学科，数学模型则是经济学理论实践的重要工具之一。
它可以帮助经济学家解释现象、理论和政策，并为经济学研究提供分析框架。
本文将着重与读者分享数学模型在经济学中的应用举例，让读者更好地了解这一领域。
1. 劳动力市场模型劳动力市场模型是研究劳动市场中供求关系的一个数学模型。
当人们在劳动市场上供应劳动力时，他们的行为会受到个人收入、教育程度、健康状况和家庭状况等因素的影响，并且还受到用工单位提供的工资、工作条件和福利待遇等的影响。
此外，政府政策和宏观经济状况也会对劳动力市场产生影响。
劳动力市场模型研究的是市场上供给劳动力的人数、劳动供给的数量，和企业用工的需求和数量。
通过建立这个模型，我们可以分析劳动力市场的价格和数量变化，以及调控劳动力市场的政策对市场的影响。
2. 生产函数模型生产函数模型是研究生产过程的一个数学模型。
它考虑生产工具和劳动力的相互作用，以及这些因素对生产能力的影响。
通常，生产函数模型需要考虑的因素包括原材料、劳动力、资本和技术水平等。
其中，劳动力和资本是生产因素的要素，他们的数量和质量都会影响到生产效率；而技术水平能够提高生产效率、降低生产成本和提高产品质量。
通过生产函数模型，我们可以研究生产过程中的最优配置问题，以及如何提高生产效率和降低生产成本的问题。
3. 货币初步供需模型货币供求模型可以研究货币的总量与预算的关系以及货币的购买力。
在货币初步供需模型中，货币供给和货币需求的关系是分析问题的核心。
在这个模型中，货币供给是由中央银行通过调整货币政策来控制的。
货币需求则取决于货币的购买力和货币增减的预期。
当货币需求高于货币供给时，货币的价值会升高，货币购买力会降低，货币的购买力增加则会导致对于财产和服务的支出下降；反之亦然。
4. 消费函数模型消费函数模型可以帮助我们研究消费行为的规律。
通过这个模型，我们可以分析消费者收入、财产、需求和偏好等因素对消费者行为的影响。
浅谈数学在生活中的应用 [关键词]数学 生活应用 重要性
数学这一抽象学科要尽可能地贴近实际，有效地激发学生的学习兴趣，就会收到良好的教学效果。现将所用的数学应用实例作一筛选整理，以期对这门学科的教学与学习有所帮助。
一、数学在经济工作中的应用 1.求盈亏转折点或供需平衡点——相交直线的应用 如：某厂日产手表的总成本y（元）与手表日产量x（块）之间有成本函数y=10x+4000，而手表的出厂价格为每块20（元）且可全部售出。试问该厂至少应日产手表多少块才不亏本（即求盈亏转折点）？
已知解这类问题用的是相交直线的交点问题，即求出由两条直钱的方程组成的方程组的解，此解即为所求的盈亏转折点或供需平衡点。（这里略解）
2.计算利息、工资总额——数列的应用 如：已知一笔资金的本金P=10000元，单利率i=0.24%，期数n=10，求本利和F10
解：根据单利公式Fn=P（1+ni）， 得F10=10000（1+10×0.24%）=10240元。 从以上的例子可以看出：题中所用的是求数列中的某一项。如果不了解数列的这些知识，就很难准确地解决这个问题。
3.求最小成本、最大利润问题——导数的应用 仪器厂生产的某种精密仪器，每年产量为Q台，产理与销量一致，总成本函数为C（Q）=40+0.1Q2，该产品需求函数为Q=39.6-P，价格、成本、收益、利润等的单位为“万元”。求：
（1）产量为多少时，平均成本最低？并求此时的平均成本。 （2）产量为多少时，总利润最大？最大利润是多少？ 解此类问题用的是导数的应用，即求出平均成本函数和利润函数的导数，并求出它们的导数为零时的产量Q的值，就是所求的产量，再将此产量代入平均成本函数和总利润函数便可得到最低平均成本和最大利润。（解略）
二、在其它方面的应用 1.在科学研究中的应用 我们知道数学是以真实的外界现象和过程、以抽象的数量关系形式反映各观规律的。现在，许多重大科学技术问题不利用数学方法便不能解决。在经济研究中，数量关系起着相当重要的作用，不能不是利用数学的重要领域。
身边的数学数学是一门追求真理和美感的学科，它的应用也无处不在。
在我们身边，有很多日常生活中常见的数学现象和数学应用。
一、数学在日常生活中的应用1. 勾股定理：勾股定理是数学中最基本的公式之一，在我们的日常生活中也经常被用到。
比如我们需要进行地理测量、建造房屋等等，都需要使用勾股定理。
比如，在测量直角三角形中的斜边长时，我们就需要利用勾股定理进行计算。
2. 计算日常开支：在日常生活中，我们经常需要计算一些开支，比如购买商品、支付账单等等。
这时候就需要进行简单的加减乘除运算。
通过数学的知识，我们可以更加准确地计算开支，避免产生错误。
3. 发现规律：在我们的日常生活中，很多事情都会有规律性。
比如，植物的生长规律、物体的运动规律等等。
通过数学的知识，我们可以更加清晰地发现这些规律，进而更好地了解和预测事物。
4. 解决数学难题：有时候，在学校的数学课上，老师会给我们出一些数学难题。
通过解决这些难题，我们可以锻炼自己的数学思维能力，也能在日常生活中解决一些复杂的数学问题。
二、数学在实际应用中的地位1. 数学在科学中的应用：在科学研究方面，数学是一种基础学科，它在各个领域都有广泛的应用。
比如在物理学中，数学被广泛用于解决各种问题；在化学中，数学可以描述化学反应的速率和平衡状态等等。
2. 数学在经济中的应用：在经济中，数学也被广泛地应用。
比如在需求和供给之间的平衡上，可以用到微观经济学。
在宏观经济学中，数学可以通过数学模型来预测经济发展的趋势。
3. 数学在工程中的应用：在工程设计中，数学在各个方面起着重要作用。
比如在建筑设计中，需要用到三角函数、三角学等知识，来计算建筑物的高度、长度等等。
在电子工程中，为了设计更加精确的电路，也需要用到微积分、向量等数学知识。
4. 数学在计算机科学中的应用：在计算机科学中，数学知识也是必不可少的。
比如，计算机科学家们需要利用数学中的离散数学、图论、概率论等知识，来设计更加严密和高效的算法。
数学思维在经济分析中的应用有哪些在当今复杂多变的经济环境中，数学思维已成为经济分析中不可或缺的工具。
它不仅为经济学家提供了精确的分析方法，还帮助决策者做出更明智的选择。
那么，数学思维在经济分析中的应用具体有哪些呢？首先，数学中的函数与方程思维在经济分析中发挥着重要作用。
函数可以用来描述经济变量之间的关系，例如，需求函数可以表示商品的需求量与价格之间的关系，供给函数则可以反映商品的供给量与价格的关联。
通过建立这些函数模型，经济学家能够预测市场的供求变化，从而为企业的生产决策和政府的政策制定提供依据。
方程思维则有助于解决经济中的均衡问题。
例如，在市场中，当供给量等于需求量时，市场达到均衡状态。
我们可以通过建立供求方程来求解均衡价格和均衡数量。
这种分析方法能够帮助我们理解市场的自我调节机制，以及政策干预对市场均衡的影响。
其次，微积分在经济分析中的应用也十分广泛。
边际分析是微积分在经济学中的一个重要应用。
边际概念包括边际成本、边际收益和边际效用等。
边际成本是指每增加一单位产量所增加的成本，边际收益则是每增加一单位产量所增加的收益。
通过比较边际成本和边际收益，企业可以确定最优的生产规模，以实现利润最大化。
弹性分析也是基于微积分的一种重要方法。
需求价格弹性衡量了商品需求量对价格变动的敏感程度。
如果需求价格弹性较大，意味着消费者对价格变动较为敏感，企业在制定价格策略时就需要更加谨慎。
弹性分析有助于企业和政府预测价格变动对市场需求的影响，从而制定合理的价格政策和营销策略。
再者，概率论与数理统计在经济分析中也具有重要地位。
在经济预测中，我们常常需要处理大量的数据和不确定性。
概率论可以帮助我们评估各种经济事件发生的可能性，例如，预测某种金融资产未来价格上涨或下跌的概率。
数理统计则可以用于对经济数据进行分析和处理。
通过抽样调查和统计推断，我们可以了解总体的经济特征，例如，消费者的平均收入水平、市场的平均价格等。
这有助于政府和企业制定基于数据的决策，提高决策的科学性和准确性。
数学在经济生活中的应用
数学在经济生活中的应用
例1
设:生产x个产品的边际成本C=100+2x,其固定成本为C(0)=1000元,产品单价
规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,问生产量为多少时利润最大？并
求最大利润
解:总成本函数为
C(x)=∫x0(100+2t)dt+C(0)=100x+x 2+1000
总收益函数为R(x)=500x
总利润L(x)=R(x)-C(x)=400x-x2-1000,L’=400-2x,令L’=0,得x=200,因为
L’’(200)<0。所以,生产量为200单位时,利润最大。最大利润为
L(200)=400×200-2002-1000=390009(元)
例2
某企业每月生产Q(吨)产品的总成本C(千元)就是产量Q的函数,C(Q)=Q
2-10Q+20。如果每吨产品销售价格2万元,求每月生产10吨、15吨、20吨时的
边际利润。
解:每月生产Q吨产品的总收入函数为:
R(Q)=20Q
L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q2-1Q+20)
=-Q2+30Q-20
L’(Q)=(-Q2+30Q-20)’=-2Q+30
则每月生产10吨、15吨、20吨的边际利润分别为
L’(10)=-2×10+30=10(千元/吨);
L’(15)=-2×15+30=0(千元/吨);
L’(20)=-2×20+30=-10(千元/吨);
以上结果表明:当月产量为10吨时,再增产1吨,利润将增加1万元;当月产
量为15吨时,再增产1吨,利润则不会增加;当月产量为20吨时,再增产1吨,利
润反而减少1万元。
例3
设生产某产品的固定成本为60000元,变动成本为每件20元,价格函数p=60-Q1000(Q为
销售量),假设供销平衡,问产量为多少时,利润最大？最大利润就是多少？
解:产品的总成本函数C(Q)=60000+20Q
收益函数R(Q)=pQ=(60-Q1000)Q=60Q-Q21000
则利润函数L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q21000+40Q-60000
L’(Q)=-1500Q+40,令Ｌ’(Q)=0得Q=20000
∵L’’(Q)=-1500<0∴Q=2000时L最大,L(2000)=340000元
所以生产20000个产品时利润最大,最大利润为340000元。
数学在经济生活中的应用
例4
X银行提供每年支付一次,复利为年利率8%的银行帐户,Y银行提供每年支付四次,复利
为年利率8%的帐户,它们之间有何差异呢？
解 两种情况中8%都就是年利率,一年支付一次,复利8%表示在每年末都要加上当前余
额的8%,这相当于当前余额乘以1、08、如果存入100元,则余额A为
一年后:A=100(1、08), 两年后:A=100(1、08)2,…,t年后:A=100(1、08)t、
而一年支付四次,复利8%表示每年要加四次(即每三个月一次)利息,每次要加上当前余
额的8%/4=2%。因此,如果同样存入100元,则在年末,已计入四次复利,该帐户将拥有100(1、
02)4元,所以余额B为
一年后:B=100(1、02)4,二年后:B=(1、02)4×2,…,t年后:B=(1、02)4t。
注意这里的8%不就是每三个月的利率,年利率被分为四个2%的支付额,在上面两种复利
方式下,计算一年后的总余额显示
一年一次复利:A=100(1、08)=108、00,一年四次复利:B=100(1、02)4=108、24、因此,随
着年份的延续,由于利息赚利息,每年四次复利可赚更多的钱、所以,付复利的次数越频繁可赚
取的钱越多(尽管差别不就是很大)、
例5
您买的彩票中奖1百万,您要在两种兑奖方式中进行选择,一种为分四年每年支
付250000元的支付方式,从现在开始支付;另一种为一次支付总额920000元的一
次付清方式,也就就是现在支付,假设银行利率为6%,以连续复利方式计息,又假
设不交税,那么您选择哪种兑奖方式？
解:我们选择时考虑的就是要使现在价值(即现值)最大,那么设分四年每年支付
250000元的支付方式的现总值为P,
则
P=250000=250000e06.0 +250000e206.0x +250000e306.0x =250000+235411+221730+
208818=915989＜920000
因此,最好就是选择现在一次付清920000元这种兑奖方式
例6:
设银行存款现值P与将来值B,年利率为r.则t年后的本利与即将来值
B=(1+r)t
数学在经济生活中的应用
若一年分n次计算复利,则每期利率为三,一年后的本利与即将来值为
B=P(1+nr)n
而t年后的本利与即将来值为 B=P(1+nr)tn
当∞→n时,则t年后的本利与即将来值为 B=lim(x->∞)P(1+nr)tn=pet
从而现值p与将来值B之间的关系为 B= pet
现值P为1,利息r为100%,t=1,则得 B= e
例7:某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为
C=C(q)=100+4q-0、2q2+0、01q3
求生产水平为q=10(万件)时的平均成本与边际成本,并从降低成本角度瞧,继续提高产量就是
否合适？
解: 当q=10时的总成本为
C(10)=100+4×10-0、2×102+0、01×103=130(万元)
所以平均成本(单位成本)为C(10)÷10=130÷10=13(元/件)
边际成本MC=C′(q)=4-0、4q+0、03q2
MC│q=10=4-0、4×10+0、03×102=3(元/件)
因此在生产水平为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元,远低于当前的单位成本,从降
低成本角度瞧,应该继续提高产量。
例8:
某公司总利润L(万元)与日产量q(吨)之间的函数关系式(即利润函数)为1500、
005q-2qL(q)L2−==。试求每天生产150吨,200吨,350吨时的边际利润,并说明经济含义。
解:边际利润 ML=L(q)=2-0、01q
q
ML
=2-0、01×150=0、5
q
ML
=2-0、01 ×200=0
q
ML
=2-0、01×350=-1、5
从上面的结果表明,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0、5万元;当日产
量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350吨时,每天产量再增加1
吨反而使总利润减少1、5万元,由此可见,该公司应该把日产量定在200吨,此时的总利润最
大为:L=2×200-0、005 ×200²-150=50(万元)
从上例可以发现,公司获利最大的时候,边际利润为零。
例9
数学在经济生活中的应用
设供给函数Q=f(P)= -12+4P+2P2,求当P=3 时的供给价格弹性。解由于供给价格弹性
解ES=P· f ′(P) =P4=2p/-12+4p+p ²所以当P=3 时ES= 310
由上可知供给函数在点P 的供给价格弹性的经济意义就是在价格为P 时如果价格提
高或降低1供给由Q起增加或减少的百分数。供给价格弹性反映了当价格变动时供给
量变动对价格变动的灵敏程度、
例10
设某商品的需求函数为Q=e-p5,求(1)需求弹性函数;(2)P=3,P=5,P=6时的需求弹性。
解:(1)η(p)=-f’(p)pf(p)=-(-15)e-p5、pe-p5=p5;
(2)η(3)=35=0、6;η(5)=55=1;η(6)=65=1、2 η(3)=0、6<1,说明当P=3时,价格上涨1%,需
求只减少0、6%,需求变动的幅度小于价格变动的幅度。η(5)=1,说明当P=5时,价格上涨1%,
需求也减少1%,价格与需求变动的幅度相同。
