高中数学高一第一学期3.1函数的概念_教案10-沪教版

函数的概念

【教学目标】

（1）通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；

（2）了解构成函数的三要素；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示某些集合。

【教学重点】

理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

【教学难点】

理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数。

【授课类型】

新授课

【教学过程】

【第一课时】

一、问题链接：

1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？

2．回顾初中函数的定义：

在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

表示方法有：解析法、列表法、图象法。

二、合作探究展示：

探究一：函数的概念：

思考1：给出三个实例：

A．一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，射高为845米，且炮弹距地面高度h（米）与时间t（秒）的变化规律是2

h t t

=-。

1305

B．近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积的变化情况。（见课本P15图）

C．国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的

高低。“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数如下表。（见课本P16表）

讨论：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着怎样的对应关系？ 三个实例有什么共同点？

归纳：三个实例变量之间的关系都可以描述为：对于数集A 中的每一个x ，按照某种对应关系f ，在数集B 中都与唯一确定的y 和它对应，记作：

:f A B →

函数的定义：

设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作：

(),y f x x A =∈

其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。

注意：

① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，一个数，而不是f 乘x 。 思考2：构成函数的三要素是什么？ 答：定义域、对应关系和值域

小试牛刀。1下列四个图象中，不是函数图象的是（ B ）。

2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M

为定义域，

A.

B.

C.

D.

N 为值域的函数关系的是（ B ）。

归纳：（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；

（2）二次函数2y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域

244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ⎧⎫-⎪⎪=≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭

。

（3）反比例函数(0)k

y k x

=

≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 探究二：区间及写法：

设A 、B 是两个实数，且a

满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ，b]； 满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ，b ）；

满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ； 这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P17表格）

符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。我们把满足

,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞

(](),,,b b -∞-∞。

小试牛刀：

用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （学生做，教师订正） 三、例题讲解：

例1．已知函数1

()2

f x x =+， 求()()2

(3),(),33

f f f f --的值；

当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。 四、随堂检测：

1． 用区间表示下列集合：

{}{}{}{}4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或

2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2，求f （3）、f(-2)、f （A ）、f(a+1)的值； 3．课本练习2．

4．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝__3+2____；f ［(2)f ］＝_57_____。 5．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = —1。 归纳小结：

函数模型应用思想；函数概念；二次函数的值域；区间表示 【作业布置】