一元一次不等式方程组的解法

OSN教课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题

教育 - 1 - 课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题 题型一：整数解

例1 （2011江苏苏州，6，3分）不等式组30,32xx≥的所有整数解之和是（ ） A、9 B、12 C、13 D、15 考点：一元一次不等式组的整数解． 分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案． 解答：由①得：x≥3，由②得：x＜6， ∴不等式的解集为：3≤x＜6，∴整数解是：3，4，5， 所有整数解之和：3+4+5=12．故选B． 点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

练习 1．（2011山东泰安，18 ，3分）不等式组3-x＞04x3+32 ＞- x6 的最小整数解为( )． A.0 B.1 C.2 D.-1 【答案】A

（2011•南通）求不等式组的解集，并写出它的整数解. 专题：探究型。 分析：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并找出其公共解集内x的整数解即可． 解答：【解】解不等式3x－6≥x－4，得x≥1．解不等式2x＋1＞3(x－1)，得x＜4． 所以原不等式组的解集为1≤x＜4． 它的整数解为1，2，3．

点评：本题考查的是求一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式遵循的法则是解答此题的关键．

364213(1)xxxx

 OSN教课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题

教育 - 2 - 例2 ①（2011•恩施州14,3分）若不等式x＜a只有4个正整数解，则a的取值范围是 4＜a≤5 ． 考点：一元一次不等式的整数解。 分析：首先根据题意确定四个正整数解，然后再确定a的范围． 解答：解：∵不等式x＜a只有四个正整数解， ∴四个正整数解为：1，2，3，4， ∴4＜a≤5， 故答案为：4＜a≤5， 点评：此题主要考查了一元一次不等式的整数解，做此题的关键是确定好四个正整数解．

②已知关于x的不等式x－2a＜3的最大整数解－5，求a的取值范围． 解：x＜2a＋3，由题意，有－5＜2a＋3≤－4，－8＜2a≤－7，742a．

③关于x的不等式组2(1)3(2)6,1, 2xxxa①②恰好有两个整数解，求a的取值范围． 解：由①，得2x－2－3x－6＞－6，－x＞2，x＜－2， 由②得x＞2－a， 因为恰好有两个整数解－5≤2－a＜－4，所以－7≤－a＜－6，－7≥a＞6．

练习 1．关于x的不等式组121,232,xxxa只有3个整数解，求a的取值范围．

2．关于x的不等式组2135,20,xxxa恰好有4个整数解，求a的取值范围．

题型二：不等式(组)的解集 例3 已知不等式13ax的每一个解都是21122x的解，求a的取值范围；

解：由13ax，得x＜a－3，由21122x得x＜1，由题意有：a－3≤1，得a≤4． 点评：注意二者之区别． OSN教课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题

教育 - 3 - 练习 1．若不等式132xaxa的解集与x＜6的解集相同，求a的取值范围．

解：由132xaxa，得2x－2a－3x＋3a＞6，－x＞6－a，x＜a－6， 由题意，有a－6＝6，所以a＝12．

2．（2011山东日照，6，3分）若不等式2x＜4的解都能使关于x的一次不等式（a﹣1）x＜a+5成立，则a的取值范围是（ ） A．1＜a≤7 B．a≤7 C．a＜1或a≥7 D．a=7 考点：解一元一次不等式组；不等式的性质。 专题：计算题。 分析：求出不等式2x＜4的解，求出不等式（a﹣1）x＜a+5的x，得到当a﹣1＞0时， 51aa≥2，求出即可．

解答：解：解不等式2x＜4得：x＜2， ∴当a﹣1＞0时，x<51aa，

∴51aa≥2，∴1＜a≤7．故选A． 点评：本题主要对解一元一次不等式组，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键．

题型三：求参数a的取值范围 例3 ①关于x的方程组12,2xxm的解集是x＞5，求m的取值范围．

解：由122x，得x＞5，又因为方程组的解集是x＞5，所以m≤5． ②关于x的不等式组233(2),1,xxxm有解，求m的取值范围．

练习 1．关于x的不等式组12,xxm有解，求m的取值范围． 2．（2011年山东省威海市，11，3分）如果不等式组213(1)xxxm的解集是x OSN教课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题

教育 - 4 - ＜2，那么m的取值范围是（ ）． A、m=2 B、m＞2 C、m＜2 D、m≥2 考点：解一元一次不等式组；不等式的解集． 专题：计算题．

分析：先解第一个不等式，再根据不等式组213(1)xxxm的解集是x＜2，从而得出关于m的不等式，解不等式即可． 解答：解：解第一个不等式得，x＜2，

∵不等式组213(1)xxxm的解集是x＜2， ∴m≥2，故选D． 点评：本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．求不等式的公共解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

例4 如果关于x的不等式组22,4,xaxa有解，并且所有解都是不等式组－6＜x≤5的解，求a的取值范围． 解：∵不等式22,4,xaxa有解，所以2a－2＜4－a，a＜2，

所以其解集为：2a－2＜x＜4－a，其每一个解都是不等式组－6＜x≤5的解， 所以226,45,aa解之得a≥－1，所以不等式的解集为－1≤a＜2．

例5 （2011湖北随州，7，3）若关于x，y的二元一次方程组3313yxayx的解满足x+y＜2，则a的取值范围为 a＜4 ． 考点：解一元一次不等式；解二元一次方程组。 专题：方程思想。 分析：先解关于关于x，y的二元一次方程组的解集，其解集由a表示；然后将其代入x+y＜2，再来解关于a的不等式即可．

解答：解： ② ①3313yxayx

由①－③×3，解得y＝1－8a； 由①×3－③，解得x＝83a； ∴由x+y＜2，得1+4a＜2，即＜1，解得，a＜4． OSN教课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题

教育 - 5 - 故答案是：a＜4． 点评：本题综合考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式．解答此题时，采用了“加减消元法”来解二元一次方程组；在解不等式时，利用了不等式的基本性质： （1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变； （2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变．

例6 ①化简：|x－6|＋|x＋2|； ②．化简：|x＋5|－|x－2|； ③|x－2|＋|x＋4|．

例7 某中学有若干名学生住宿，若每间宿舍住4人，则有20人没有宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍住不满，求住宿舍的学生人数及宿舍的间数。 解：设有x间房间，总人数为：(4x＋20)人， 由题意有：0＜(4x＋20)－8(x－1)＜8， 有：0＜－4x＋28＜8，－28＜－4x＜－20，7＞x＞5， 又∵x是整数，∴x＝6，∴学生人数为：4x＋20＝44人， 答：有6个房间，人数为44人。

例8 某工厂现有甲种原料194千克，乙种原料170千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共30件。已知生产一种A种产品需要甲种原料7千克，乙种原料4千克；生产一件B种产品需要甲种原料5千克，乙种原料9千克。请你设计出所有符合题意的生产方案。 解：设生产A种产品x件，则生产B种产品(30－x)件。 由题意有：7x+5(30x)194(1)4x+9(30x)170 (2)－ －

由①得：2x≤44，x≤22， ⑵得：－5x≤－100，x≥20， ∴不等式组的解集是：20≤x≤22， 答：当生产A种产品20、21、22件时，生产B种产品分别为10、9、8件． OSN教课程要点：一元一次不等式（组）

一元一次不等式(组)的解法及其应用题

教育 - 6 - 例9 为加强贫困地区的卫生医疗条件，北京和上海计划向外地支援先进的医疗设备，其中北京有40台，上海有100台，将运往贵州80台和四川60台，所需要费用如右表所示： 有关部门计划用78000元运送这批医疗设备，请你设计一种方案，使贵州和四川能得到所需要的医疗设备，而且运费正好够用． 解：设北京运往四川x台，则北京运往贵州(40－x)台，上海运往四川(60－x)台，上海运往贵州[100－(60－x)]台，由题意有：300x＋500(40－x)＋400(60－x)＋800[100－(60－x)]＝78000． 3x＋5(40－x)＋4(60－x)＋8(40＋x)＝780， 3x＋200－5x＋240－4x＋320＋8x＝780， 2x＋760＝780，x＝10． 所以北京运往四川10台，运往贵州30台；上海运往四川50台，运往贵州50台．

运费表（单价：元/台）上海北京贵州四川终点起点800400500300