二次函数根的分布经典练习题及解析
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二次函数根的分布经典练习题及解析
1若不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对一切x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是( ) A(-∞,2]B [-2,2]C(-2,2]D(-∞,-2)
2设二次函数f (x )=x 2-x +a (a >0),若f (m )<0,则f (m -1)的值为( )
A 正数
B 负数
C 非负数
D 正数、负数和零都有可能
3已知二次函数f (x )=4x 2-2(p -2)x -2p 2-p +1,若在区间[-1,1]内至少存在一个实数c ,使f (c )>0,则实数p 的取值范围是_________
4二次函数f (x )的二次项系数为正,且对任意实数x 恒有f (2+x )=f (2-x ),若f (1-2x 2) 5已知实数t 满足关系式33log log a y a t a a = (a >0且a ≠1) (1)令t=a x ,求y =f (x )的表达式; (2)若x ∈(0,2]时,y 有最小值8,求a 和x 的值 6如果二次函数y =mx 2+(m -3)x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧,试求m 的取值范围 7二次函数f (x )=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足 m r m q m p ++++12=0,其中m >0,求证 (1)pf (1 +m m )<0; (2)方程f (x )=0在(0,1)内恒有解 8一个小服装厂生产某种风衣,月销售量x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P =160-2x ,生产x 件的成本R =500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于1300元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元? 参考答案 1解析当a -2=0即a =2时,不等式为-4<0,恒成立∴a =2,当a -2≠0时,则a 满足⎩ ⎨⎧<∆<-002a ,解得-2<a <2,所以a 的范围是-2<a ≤2 答案C 2解析∵f (x )=x 2-x +a 的对称轴为x = 2 1,且f (1)>0,则f (0)>0,而f (m )<0,∴m ∈(0,1), ∴m -1<0,∴f (m -1)>0 答案A 3解析只需f (1)=-2p 2-3p +9>0或f (-1)=-2p 2+p +1>0即-3<p <23或-21<p <1∴p ∈(-3,2 3) 答案(-3, 2 3) 4解析由f (2+x )=f (2-x )知x =2为对称轴,由于距对称轴较近的点的纵坐标较小, ∴|1-2x 2-2|<|1+2x -x 2-2|,∴-2<x <0 答案-2<x <0 5解(1)由log a 33log a y a t t =得log a t -3=log t y -3log t a 由t =a x 知x =log a t ,代入上式得x -3=x x y a 3log -, ∴log a y =x 2-3x +3,即y =a 332+-x x (x ≠0) (2)令u =x 2-3x +3=(x -23)2+4 3 (x ≠0),则y =a u ①若0<a <1,要使y =a u 有最小值8, 则u =(x -23)2+4 3在(0,2]上应有最大值,但u 在(0,2]上不存在最大值 ②若a >1,要使y =a u 有最小值8,则u =(x -23)2+4 3,x ∈(0,2]应有最小值 ∴当x =23时,u mi n =4 3,y mi n =43a 由43 a =8得a =16∴所求a =16,x =2 3 6解∵f (0)=1>0 (1)当m <0时,二次函数图象与x 轴有两个交点且分别在y 轴两侧,符合题意 (2)当m >0时,则⎪⎩⎪⎨⎧>-≥∆030m m 解得0<m ≤1 综上所述,m 的取值范围是{m |m ≤1且m ≠0} 7证明(1)])1 ()1([)1(2r m m q m m p p m m pf ++++=+ ]) 2()1()1()2([]2) 1([]1)1([22222+++-+=+-+=++++=m m m m m m p m p m pm pm m r m q m pm pm ) 2()1(122++-=m m pm ,由于f (x )是二次函数,故p ≠0,又m >0,所以,pf (1+m m )<0 (2)由题意,得f (0)=r ,f (1)=p +q +r ①当p <0时,由(1)知f (1+m m )<0 若r >0,则f (0)>0,又f (1+m m )<0,所以f (x )=0在(0,1 +m m )内有解; 若r ≤0,则f (1)=p +q +r =p +(m +1)=(- m r m p -+2)+r =m r m p -+2>0, 又f (1+m m )<0,所以f (x )=0在(1 +m m ,1)内有解 ②当p <0时同理可证 8解(1)设该厂的月获利为y ,依题意得 y =(160-2x )x -(500+30x )=-2x 2+130x -500 由y ≥1300知-2x 2+130x -500≥1300 ∴x 2-65x +900≤0,∴(x -20)(x -45)≤0,解得20≤x ≤45 ∴当月产量在20~45件之间时,月获利不少于1300元 (2)由(1)知y =-2x 2+130x -500=-2(x -2 65)2+16125 ∵x 为正整数,∴x =32或33时,y 取得最大值为1612元, ∴当月产量为32件或33件时,可获得最大利润1612元