《菱形》典型例题

菱形，矩形，正方形典型例题

例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：

（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面

例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F ．求证：AE=AF

例3 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =．

求证：GH 垂直平分CF ．

例4 如图，ABCD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==．

求证：AF BE ⊥．

例5 如图，在Rt △ABC 中，

90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四

边形．求证：AC 与DE 互相垂直平分

例6、如图，在是△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，点F 在直线DE 上，AF=CE ．

（1）说明，四边形ACEF 是平行四边形；（5分）

（2）当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？说明理由．（4分）

（3）四边形ACEF 可能是正方形吗？说明理由．（3分）

例7、如图，△

ABC 中，点O 是AC 边上一动点，过点O

作直线MN ∥BC,设MN 交∠BCA 的平分线于E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．

（1）说明：EO ＝OF

（2）当点O 运动到时，四边形BEFC 可能是菱形吗？并说明理由．

（3）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．

（4）在（3）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？并说明理由．

巩固练习

1、梯形ABCD 中，AD ∥BC,BD 平分∠ABC,∠C=60°,当AB=CD=4时，梯形ABCD 的周长

2、在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ， 对角线AC 平分∠BAD ，∠B ＝60º，CD ＝2cm ，则梯形ABCD 的面积为

3．如图,梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 为对角线，AE ⊥BC 于E ，AB ⊥AC ，若

∠ACB =30°，BE =2.则EC =___________.

5．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，若∠D =110°，∠ACD =30°，则∠BAC 等于

7．直角梯形一腰长16 cm,该腰和一个底所成的角为30°,那么另一腰长________ cm.

9、如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ，过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点. ⑴求证：四边形ACED 是平行四边形；

⑵若AD =3，BC =7，求梯形ABCD 的面积.

C D E A B F O F E C

D

B N M A

E 60 D C B A B A C D

参考答案

例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，

可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则A B D ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而

OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC ．

（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2

1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =

E 是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =

∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形．

∴.120260︒=⨯︒=∠ABC

（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.212121a AB BD OB ===

∴a a a OB AB OA 2

3)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.23321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅=

说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．

例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论．

证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，

AD AB = ，

∴DF AD BE AB -=-，

∴.AF AE =

例3 解答：连结AC .

∵四边形ABCD 为菱形，

∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.

∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.

∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB

∵︒=∠60EAF ，

∴CAF BAE ∠=∠

∴ACF ABE ∆≅∆

∴AF AE =

∵︒=∠60EAF ，

∴EAF ∆为等边三角形.

∴︒=∠60AEF

∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，

∴CEF ∠+︒=︒+︒601860

∴︒=∠18CEF

说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆ 例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF ．

证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形

∴BF DE //，CD AB //，

90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =

∴四边形BGDH 是平行四边形