巧算的几种常见方法
一、知识梳理：
1、有理数的相关概念和性质法则
有理数的运算法则
①加法法则：同号相加一边倒，异号相加大减小，符号跟着大的跑。
②减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
③乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘任何数都得0。
④除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数。0不能作除数。
⑤有理数的乘方运算：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。
2、运算顺序及注意事项：
①有理数的加、减、乘、除四则混合运算，一定要先把减法改成加法，除法改成乘法。这样可以防止出错。
②对含有三级运算的情况，按先乘方、开方，再乘除，最后加减的运算顺序。同级运算从左到右依次运算。有括号时按小、中、大括号顺序进行，有时也可灵活去括号。
③应注意灵活运用运算律，使计算简便化，对互为相反数其和为零的要优先解决。
3、常用运算技巧
⑴巧用运算律⑵凑整法⑶拆项法（裂项相消）⑷分组相约法⑸倒写相加法
⑹错位相减法⑺换元法⑻观察探究、归纳法
二、【典型例题】
(一). 符号与括号
有理数运算是代数入门的重点，又是难点，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，由于负数的引入，符号“＋”与“－”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号，因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，从而使复杂问题变得较简单，在此应特别注意去添括号时符号的变化。
例1. 计算
+--++--+---+++--+ 12345678910111219971998199920002001
例2.计算
例3计算：
(三). 巧用添项法凑整
例4计算
例5. 计算：
例6.
计算 100
32114321132112111 ++++++++++++++
＝________
例7.
(五). 巧用反序相加减的方法
例8.计算
_____
（六）. 巧用整体换元法
例9. 计算
（七）、巧用错位相减
例10. ；
例11、计算
（九）、等比数列例12. 计算：
例13．购买5种物品，，，，的件数和用钱总数列成下表：
那么，购买每种物品各一件共需多少元？
（十一）、巧相约
例14、计算：
例15 、计算
11111
(1)(1)(1)(1)(1) 20042003100210011000 -⨯-⨯⨯-⨯-⨯-=
三、培优训练
1、 32333333251233()0.750.5()(1)()4()44372544-⨯+⨯-+
⨯⨯+÷-
2、 12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-
3、 计算：8.36
11315544322611-+-+--
4. 计算：
5、 计算：
6、计算：
7、计算：
8、计算
9、已知0为数轴的原点，A、B两点对应的数分别为1、2，设P1为AB的中点，P2为AP1的中点，…，P100为P99的中点，求P1，P2，P3，…，P100所对应的各数之和。
10、111111
261220309900
++++++
11、
1111122222333335859 ()()()() 2345960345596045659605960 ++-+++++++++++++++++（分析：由加法交换律和结合律将分母相同的数结合相加，可改变原式繁难的计算。）
12、计算：
111 111315131517293133
+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯
