圆锥曲线综合练习卷二cf

综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y ＝－18x 2的准线方程是( ) A ．x ＝132 B ．y ＝2 C ．y ＝132D ．y ＝－2【解析】 将y ＝－18x 2化为标准形式为x 2＝－8y ，故准线方程为y ＝2. 【答案】 B2．以双曲线x 24－y 212＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( ) A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 216＝1 C.x 216＋y 24＝1D.x 24＋y 216＝1【解析】 双曲线的焦点为(±4，0)，顶点为(±2，0)，故椭圆的焦点为(±2，0)，顶点为(±4，0)，故选A.【答案】 A3．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A. 6B. 5C.62D.52【解析】 易求得渐近线方程为y ＝－12x . 因为焦点在x 轴上，令a ＝2t ，b ＝t (t ≠0)，所以c 2＝a 2＋b 2＝5t 2，则e ＝52. 【答案】 D4．抛物线y 2＝14x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1，0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116 C ．(0，1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0【解析】 ∵y 2＝14x 焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0，∴关于直线y ＝x 对称后抛物线焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116.【答案】 B5．设F 1，F 2是双曲线x 23－y 2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F 1PF 2的面积为2时，PF 1→·PF 2→的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】 设P (x 0，y 0)，又F 1(－2，0)，F 2(2，0)， ∴PF 1→＝(－2－x 0，－y 0)，PF 2→＝(2－x 0，－y 0)．|F 1F 2|＝4.S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝2，∴|y 0|＝1.又x 203－y 20＝1， ∴x 20＝3(y 20＋1)＝6，∴PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】 B6．(2014·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )A ．23pB ．43pC ．63pD ．83p【解析】 设A 、B 在y 2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx ＝30°，则OA 方程为y ＝33x .由⎩⎨⎧y ＝33x ，y 2＝2px ，得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p .【答案】 B7．已知方程ax ＋by ＋c ＝0和ax 2＋by 2＝ab (ab ≠0，a ≠b ，c >0)，它们所表示的曲线可能是( )【解析】 A 中直线斜率为负数，∴－ab <0，∴ab >0， ∴ax 2＋by 2＝ab 不可能为双曲线． C ，D 中直线斜率为正数，∴－ab >0， ∴ab <0，故曲线ax 2＋by 2＝ab 不可能为椭圆． 所以只有B 正确． 【答案】 B8．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP→＝13OA →＋23OB →，则动点P 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 29＋y 2＝1 D ．x 2＋y 29＝1【解析】 设P (x ，y )，A (0，y 0)，B (x 0，0)，由已知得(x ，y )＝13(0，y 0)＋23(x 0，0)，即x ＝23x 0，y ＝13y 0，所以x 0＝32x ，y 0＝3y .因为|AB →|＝3，所以x 20＋y 20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y )2＝9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x 24＋y 2＝1.9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．|FP 1|＋|FP 3|＝2|FP 2|D ．|FP 1|·|FP 3|＝|FP 2|2【解析】 由焦半径公式，知|FP 1|＝x 1＋p 2， |FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p2. 因为2x 2＝x 1＋x 3，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋p 2，即2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|. 【答案】 C10．若F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.72 C.74D.752【解析】 |F 1F 2|＝22，|AF 1|＋|AF 2|＝6， 则|AF 2|＝6－|AF 1|，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|cos 45° ＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，即(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，所以S ＝12×72×22×22＝72.11．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是等边三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52 D ．3【解析】 由tan π6＝c 2b ＝33，有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca ＝2，故选B. 【答案】 B12．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积是( )A ．3 2B ．2 2 C. 2D.322【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1，0)，又|AF |＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A (2，22)，∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 联立直线与抛物线的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22（x －1），y 2＝4x ，解之得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，∴S △AOB ＝12|OF |·|y A －y B |＝12×1×|22＋2|＝32 2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，若|AB |＝43，则焦点F 到直线AB 的距离为________．【解析】 由抛物线的方程可知F (1，0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴，得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴点F 到直线x ＝3的距离为2.【答案】 214．设F 1，F 2为曲线C 1：x 26＋y 22＝1的焦点，P 是曲线C 2：x 23－y 2＝1与C 1的一个交点，则△PF 1F 2的面积为________．【解析】 由题意知|F 1F 2|＝26－2＝4，设P 点坐标为(x ，y )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1，x 23－y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±322，y ＝±22.则S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y |＝12×4×22＝ 2. 【答案】 2图115．如图1，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．【解析】 由条件知，c ＝p2， ∴其中一个交点坐标为(c ，2c )， ∴c 2a 2＋4c 2b 2＝1，∴e 4－6e 2＋1＝0， 解得e 2＝3±22，∴e ＝±(2±1)． 又0<e <1，故e ＝2－1. 【答案】2－116．(2015·福州高二检测)已知F 1为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，直线l ：y ＝x －1与椭圆C 交于A 、B 两点，那么|F 1A |＋|F 1B |的值为________．【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x －1消去y ，得3x 2－4x＝0，解得x 1＝0，x 2＝43，易得A (0，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13.又F 1(－1，0)， ∴|F 1A |＋|F 1B |＝12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫732＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝823. 【答案】 823三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，点P (3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．【解】 由共同的焦点F 1(0，－5)，F 2(0，5)，可设椭圆方程为y 2a 2＋x 2a 2－25＝1，双曲线方程为y 2b 2－x 225－b 2＝1(b >0)．点P (3，4)在椭圆上，则16a 2＋9a 2－25＝1，得a 2＝40，双曲线过点P (3，4)的渐近线方程为y ＝b 25－b2x ，即4＝b 25－b2×3，得b 2＝16.所以椭圆方程为y 240＋x 215＝1，双曲线方程为y 216－x 29＝1.18．(本小题满分12分)当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？【解】 (1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1.①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝ 2. ③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆．(3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线．19．(本小题满分12分)(2014·厦门高二检测)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，(1)若|AB |＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(1)⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x⇒x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝（2m －8）2－4m 2＞0，x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2.|AB |＝2|x 1－x 2|＝ 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10，得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716. (2)∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝0， 2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝0， 2m 2＋m (8－2m )＋m 2＝0， m 2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8. 经检验m ＝－8.20．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x .(1)求双曲线的标准方程；(2)设F 1和F 2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝41，求∠F 1PF 2的余弦值．【解】 (1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1. ∵双曲线过点P (－32，4)， ∴18a 2－16b 2＝1.①又b a ＝43，②由①②，得a 2＝9，b 2＝16， ∴所求的双曲线方程为x 29－y 216＝1. (2)设|PF 1|＝d 1，|PF 2|＝d 2，则d 1·d 2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d 1－d 2|＝2a ＝6.由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝d 21＋d 22－|F 1F 2|22d 1d2＝（d 1－d 2）2＋2d 1d 2－|F 1F 2|22d 1d 2＝941.21．(本小题满分12分)(2014·郑州高二检测)已知经过点A (－4，0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，AC→＝14AB →. (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围． 【解】 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由已知，当k l ＝12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4，得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝8＋p 2，又因为AC →＝14AB →，所以y 2＝14y 1或y 1＝4y 2.由p >0得：y 1＝4，y 2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x 2＝4y . (2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 中点坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝k （x ＋4）得x 2－4kx －16k ＝0.①所以x0＝x1＋x22＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.所以BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－1k(x－2k)，所以BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，对于方程①由Δ＝16k2＋64k>0得k>0或k<－4.所以b∈(2，＋∞)．22．(本小题满分12分)给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为a2＋b2的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为F(2，0)，且其短轴上的一个端点到F的距离为 3.(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；(2)点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个交点，试判断l1，l2是否垂直，并说明理由．【解】(1)由题意可知c＝2，b2＋c2＝(3)2，则a＝3，b＝1，所以椭圆方程为x23＋y2＝1.易知“准圆”半径为（3）2＋12＝2，则“准圆”方程为x2＋y2＝4.(2)①当l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，不妨设l1的斜率不存在，因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为x＝±3，当l1的方程为x＝3时，此时l1与“准圆”交于点(3，1)，(3，－1)，此时经过点(3，1)或(3，－1)且与椭圆只有一个公共点的直线是y＝1或y ＝－1，即l2为y＝1或y＝－1，显然直线l1，l2垂直；同理可证直线l1的方程为x＝－3时，直线l1，l2也垂直．②当l 1，l 2的斜率都存在时，设点P (x 0，y 0)，其中x 20＋y 20＝4.设经过点P (x 0，y 0)与椭圆只有一个公共点的直线为y ＝t (x －x 0)＋y 0， 由⎩⎨⎧y ＝tx ＋y 0－tx 0，x 23＋y 2＝1消去y ，得(1＋3t 2)x 2＋6t (y 0－tx 0)x ＋3(y 0－tx 0)2－3＝0. 由Δ＝0化简整理得，(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋1－y 20＝0.因为x 20＋y 20＝4，所以有(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0.设直线l 1，l 2的斜率分别为t 1，t 2，因为l 1，l 2与椭圆只有一个公共点，所以t 1，t 2满足方程(3－x 20)t 2＋2x 0y 0t ＋x 20－3＝0，所以t 1t 2＝－1，即l 1，l 2垂直．综合①②知，l 1，l 2垂直．。

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB的交点为Q 。

（1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112||||PC PD PQ +=.2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==⋅ （1）动点N 的轨迹方程；（2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=⋅AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围.3. 如图，椭圆134:221=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角.4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||22PM PN -=.记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ⋅的最小值.5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；（Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN +=(1)求点P 的轨迹方程； (2)若2·1cos PM PN MPN-∠＝,求点P 的坐标.7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线1222=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3MON π∠=，双曲线的焦距为4。

高三数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.如图，已知椭圆，双曲线(a＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为（）A．5B．C．D．【答案】C【解析】由已知，|OA|＝a＝设OA所在渐近线的方程为y＝kx(k＞0)，于是A点坐标可表示为A(x0，kx)(x＞0)于是，即A()，进而AB的一个三分点坐标为()该点在椭圆C1上，有，即，得k＝2即＝2，于是，所以离心率，选C【考点】圆的方程，椭圆的性质，双曲线的性质，双曲线的渐近线，直线与圆锥曲线的位置关系，双曲线的离心率.2.已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个焦点，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，因为，故，过点作，垂足为M，则轴，所以，所以，由抛物线定义知，，选B．【考点】1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线．3.已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；（ii）当最小时，求点T的坐标.【答案】(1) ；（2）【解析】（1）因为焦距为4，所以，又，由此可求出的值，从而求得椭圆的方程.（2）椭圆方程化为.设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.（ⅰ）设PQ的中点为，求出，只要，即证得OT 平分线段PQ.（ⅱ）可用表示出PQ，TF可得：.再根据取等号的条件，可得T的坐标.试题解答：（1），又.（2）椭圆方程化为.（ⅰ）设PQ的方程为，代入椭圆方程得：.设PQ的中点为，则又TF的方程为，则得，所以，即OT过PQ的中点，即OT平分线段PQ.（ⅱ），又，所以.当时取等号，此时T的坐标为.【考点】1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线；3、最值问题.4.已知的三个顶点在抛物线：上，为抛物线的焦点，点为的中点，；（1）若，求点的坐标；（2）求面积的最大值.【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）根据抛物线方程为，写出焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，把代入求得点的坐标，再由求得点的坐标；（2）设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，先求出的中点的坐标，再由，得出，用弦长公式表示，构造函数，用导数法求的面积的最大值.（1）由题意知，焦点为，准线方程为，设，由抛物线的定义知，，得到，代入求得或，所以或，由得或，（2）设直线的方程为，，，，由得，于是，所以，，所以的中点的坐标，由，所以，所以，因为，所以，由，，所以，又因为，点到直线的距离为，所以，记，，令解得，，所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，又，所以当时，取得最大值，此时，所以的面积的最大值为.【考点】抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积公式，平面向量的坐标运算.5.如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.（1）求椭圆C的标准方程；（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）直线方程为或.【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、计算能力.第一问，利用椭圆的离心率和三角形面积公式列出表达式，解方程组，得到基本量a和b的值，从而得到椭圆的方程；第二问，直线l过左焦点，所以讨论直线的斜率是否存在，当斜率不存在时，可以直接写出直线方程，令直线与椭圆联立，得到交点坐标，验证以PQ为直径的圆不过坐标原点，当斜率存在时，直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，证明，解出k的值.（1）由题意，，即，，即 2分又得：∴椭圆的标准方程：． 5分(2)①当直线的斜率不存在时，直线的方程为联立，解得或，不妨令，，所以对应的“椭点”坐标，．而所以此时以为直径的圆不过坐标原点． 7分②当直线的斜率存在时，设直线的方程为消去得，设，则这两点的“椭点”坐标分别为由根与系数关系得： 9分若使得以为直径的圆过坐标原点，则而，∴即，即代入，解得：所以直线方程为或． 12分【考点】椭圆的标准方程、直线的标准方程、圆的标准方程、韦达定理、向量垂直的充要条件.6.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为.若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB 的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果＝t，求实数t的值．【答案】（1）＋y2＝1（2）t＝2或t＝【解析】(1)设椭圆C的方程为：(a＞b＞0)，则，解得a＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－＜x＜，且m≠0)．将x＝m代入椭圆方程得|y|＝，所以S△AOB＝|m| ＝.解得m2＝或m2＝.①又＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，又点P在椭圆上，所以＝1.②由①②得t2＝4或t2＝.又因为t＞0，所以t＝2或t＝.7.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴焦点为，即，∵，∴，即，∴，则，即，∴．【考点】抛物线的标准方程及几何性质．8.已知双曲线＝1的左支上一点M到右焦点F2的距离为18，N是线段MF2的中点，O是坐标原点，则|ON|等于()A．4B．2C．1D．【答案】A【解析】设双曲线左焦点为F1，由双曲线的定义知，|MF2|－|MF1|＝2a，即18－|MF1|＝10，所以|MF1|＝8．又ON为△MF1F2的中位线，所以|ON|＝|MF1|＝4，所以选A．9.已知F1、F2为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，且满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由双曲线的性质可推得||＝b，则||＝3b，在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，可得a2＝2b2，即＝，因此渐近线方程为y＝±x．10.如图，已知，，，分别是椭圆的四个顶点，△是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆．（1）求椭圆及圆的方程；（2）若点是圆劣弧上一动点（点异于端点，），直线分别交线段，椭圆于点，，直线与交于点．（ⅰ）求的最大值；（ⅱ）试问：，两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．【答案】（1），，（2）（ⅰ），（ⅱ）.【解析】（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件. 由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为，求圆的方程，有两个选择，一是求圆的标准方程，确定圆心与半径，二是求圆的一般方程，只需代入圆上三个点的坐标.本题两个方法皆简单，如易得圆心，，所以圆的方程为（2）（ⅰ）本题关键分析出比值暗示的解题方向，由于点在轴上，所以，因此解题方向为利用斜率分别表示出点与点的横坐标. 设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，联立，消去并整理得，，解得点,因此当且仅当时，取“=”，所以的最大值为．（ⅱ）求出点的横坐标，分析与点的横坐标的和是否为常数. 直线的方程为，与直线的方程联立，解得点，所以、两点的横坐标之和为．试题解析：（1）由题意知，，，所以，，所以椭圆的方程为， 2分易得圆心，，所以圆的方程为．4分（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 6分联立，消去并整理得，，解得点，9分（ⅰ），当且仅当时，取“=”，所以的最大值为． 12分（ⅱ）直线的方程为，与直线的方程联立，解得点， 14分所以、两点的横坐标之和为．故、两点的横坐标之和为定值，该定值为． 16分【考点】椭圆与圆标准方程，直线与椭圆位置关系11. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆＝1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T(t ，m)的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，其中m>0，y 1>0，y 2<0.(1)设动点P 满足PF 2－PB 2＝4，求点P 的轨迹； (2)设x 1＝2，x 2＝，求点T 的坐标；(3)设t ＝9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)． 【答案】（1）x ＝（2）（3）见解析【解析】(1)解：设点P(x ，y)，则F(2，0)、B(3，0)、A(－3，0)．由PF 2－PB 2＝4，得(x －2)2＋y 2－[(x －3)2＋y 2]＝4，化简得x ＝，故所求点P 的轨迹为直线x ＝. (2)解：将x 1＝2，x 2＝分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0得M 、N.直线MTA的方程为，即y ＝x ＋1.直线NTB 的方程为，即y ＝x －.联立方程组，解得所以点T 的坐标为.(3)证明：点T 的坐标为(9，m)，直线MTA 的方程为，即y ＝(x ＋3)．直线NTB 的方程为，即y ＝(x －3)．分别与椭圆＝1联立方程组，同时考虑到x 1≠－3，x 2≠3，解得 M、N(证法1)当x 1≠x 2时，直线MN 的方程为，令y ＝0，解得x＝1，此时必过点D(1，0)；当x 1＝x 2时，直线MN 的方程为x ＝1，与x 轴交点为D(1，0)，所以直线MN 必过x 轴上的一定点D(1，0)． (证法2)若x 1＝x 2，则由及m>0，得m ＝2，此时直线MN 的方程为x ＝1，过点D(1，0)．若x 1≠x 2，则m≠2.直线MD 的斜率k MD ＝，直线ND 的斜率k ND ＝，得k MD ＝k ND ，所以直线MN 过D 点．因此，直线MN 必过x 轴上的点D(1，0)．12.已知F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,点P在椭圆C上,线段PF与圆（x-）2+y2=相切于点Q,且=2,则椭圆C的离心率等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】记椭圆的左焦点为F′,圆(x-)2+y2=的圆心为E,连接PF′、QE.∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2,∴==,∴PF′∥QE,∴=,且PF′⊥PF.又∵|QE|=(圆的半径长),∴|PF′|=b.据椭圆的定义知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,∴椭圆的离心率为.13.设抛物线的焦点为，点，线段的中点在抛物线上.设动直线与抛物线相切于点，且与抛物线的准线相交于点，以为直径的圆记为圆．（1）求的值；（2）试判断圆与轴的位置关系；（3）在坐标平面上是否存在定点，使得圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在【解析】（1）判断抛物线的焦点位置，得到焦点坐标，利用中点坐标公式得到FA的中点坐标带入抛物线即可求的P的值.（2）直线与抛物线相切，联立直线与抛物线，判别式为0即可得到k,m之间的关系，可以用k 来替代m，得到P点的坐标，抛物线准线与直线的方程可得到Q点的坐标，利用中点坐标公式可得到PQ中点坐标，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关系.（3）由(2)可以得到PQ的坐标(用k表示)，根据抛物线对称性知点在轴上，设点坐标为，则M点需满足，即向量内积为0，即可得到M点的坐标，M点的坐标如果为常数(不含k)，即存在这样的定点，如若不然，则不存在.试题解析：解：（1）利用抛物线的定义得，故线段的中点的坐标为，代入方程得，解得。

直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

圆锥曲线综合练习及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。

（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。

2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。

（132322=+y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。

（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长（1）y=x+1(2)AB=62变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围。

例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值.解:(1)由题意得222222a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+.所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k +++.由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离212d k=+,所以△AMN 的面积为21||46||2k k S MN d +=⋅=.由22||4610123k k k +=+,解得1k =±. 变式1、已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=.(Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔=[来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,53225S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+=⇔===变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=．又2212121||||1()4AB x x k x x x x =-=++-222214(1)11622k k k ⎛⎫=-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22161168k k +∴=+，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

圆锥曲线综合练习例1、椭圆12322=+y x 内有一点P （1，1），一直线过点P 与椭圆相交于P 1、P 2两点，弦P 1P 2被点P 平分，求直线P 1P 2的方程。

（2x+3y-5=0）备份：1.过椭圆141622=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线方程。

2.椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆122=+by ax 与直线1=+y x 交于A 、B 两点，且22||=AB ，又M 为AB 的中点，若O 为坐标原点，直线OM 的斜率为22，求该椭圆的方程。

（132322=+y x ） 变式2、斜率为1的直线与双曲线1222=-y x 相交于A 、B 两点，又AB 中点的横坐标为1。

（1）求直线的方程 （2）求线段AB 的长 （1）y=x+1 (2)AB=62 变式3、已知抛物线x y C 42=：的焦点为F ，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点。

（1）若的方程；求直线l ,316|AB |=（2）求|AB|的最小值 变式4、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为23，且经过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B.（1）求椭圆的方程； （2）求m 的取值范围。

例2、已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A ,离心率为22.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)当△AMN 得面积为103时,求k 的值. 解:(1)由题意得222222a c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2b =.所以椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由22(1)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)4240k x k x k +-+-=.设点M,N 的坐标分别为11(,)x y ,22(,)x y ,则11(1)y k x =-,22(1)y k x =-,2122412k x x k +=+,21222412k x x k -=+. 所以|MN|=222121()()x x y y -+-=221212(1)[()4]k x x x x ++-=2222(1)(46)12k k k+++. 由因为点A(2,0)到直线(1y k x =-）的距离2||12k d k=+,所以△AMN 的面积为221||46||212k k S MN d k +=⋅=+. 由22||4610123k k k +=+,解得1k =±. 变式1、1已知21F F 分别是椭圆C :22a x +22by =1(0>>b a )的左、右焦点,A 是椭圆C 的上顶点,B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点,1260F AF ο∠=. (Ⅰ)求椭圆C 的离心率; (Ⅱ)已知1AF B ∆面积为403,求,a b 的值 【解析】(I)1216022c F AF a c e a ο∠=⇔=⇔== (Ⅱ)设2BF m =;则12BF a m =-在12BF F ∆中,22212122122cos120BF BF F F BF F F ο=+-⨯⨯ 2223(2)5a m m a am m a ⇔-=++⇔= [来源:学|科|网Z|X|X|K]1AF B ∆面积211133sin 60()40310,5,532252S F F AB a a a a c b ο=⨯⨯⨯⇔⨯⨯+⨯=⇔=== 变式2、已知抛物线C ：22y x =，直线2y kx =+交C 于A B ，两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0NA NB =，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．解、（Ⅰ）如图，设211(2)A x x ，，222(2)B x x ，，把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=， 由韦达定理得122kx x +=，121x x =-， ∴1224N M x x kx x +===，∴N 点的坐标为248k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．x Ay 11 2 M N B O设抛物线在点N 处的切线l 的方程为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 将22y x =代入上式得222048mk k x mx -+-=， 直线l 与抛物线C 相切，2222282()048mk k m m mk k m k ⎛⎫∴∆=--=-+=-= ⎪⎝⎭，m k ∴=．即l AB ∥．（Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB =，则NA NB ⊥，又M 是AB 的中点，1||||2MN AB ∴=． 由（Ⅰ）知121212111()(22)[()4]222M y y y kx kx k x x =+=+++=++22142224k k ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭． MN ⊥x 轴，22216||||2488M N k k k MN y y +∴=-=+-=． 又222121212||1||1()4AB k x x kx x x x =+-=++-2222114(1)11622k kk k ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪⎝⎭．22216111684k k k +∴=++，解得2k =±．即存在2k =±，使0NA NB =．例3、已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3(。

22x1解析 .'1020D. .'10 2把方程化为标准形式-1,第二章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 .已知抛物线的准线方程为 x =- 7,则抛物线的标准方程为()A . x 2=- 28yB . y 2= 28xC . y 2=- 28xD . x 2= 28y解析 由条件可知p =乙二p = 14,抛物线开口向右，故方程为 y 2= 28x. 答案 B2 22.设P 是椭圆25+ *= 1上的点.若F 1, F 2是椭圆的两个焦点， 则PF 11+等于()A . 4B . 5 D . 10解析由题可知a = 5, P 为椭圆上一点, 二 IPF 11+ |PF 2|= 2a = 10. 答案 D3 .双曲线3mx " — m/= 3的一个焦点是(0,2),则m 的值是(••• a 2—m, b 2 — m.解得m =— 1. 答案 A224 .椭圆%+ "9 =1上一点P 到两焦点的距离之积为 m ,则m 取最大值时，P 点坐标是（）（5,0）或（—5,0）（2,穿）或（2，— 323）（0,3）或（0,— 3）（523,2）或（-字，2）解析 |PF i |+ |PF 2匸 2a = 10, 二 IPF 1I IPF 2S （尸刊+尸冋）2 = 25.当且仅当|PF i |= |PF 2| = 5时，取得最大值, 此时P 点是短轴端点，故选C. 答案 C5. （2010天津）已知双曲线拿—治=1（a>0, b>0）的一条渐近线方程是y =「3x ，它的一个焦点在抛物线y 2 = 24x 的准线上，则双曲线的 方程为（）2 2宀—丄=1A.36 1081C f —忆=1C.108 36—解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属x 2 f 彳B.X - 27= 1 D — — _= 1 27 9于容易题.依题意知t c 6? a2= 9, b2= 27,C= 6, c2= a2+ b2,2 2所以双曲线的方程为x9—27= i.答案B6. 在y= 2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A . (—2,1) B. (1,2)C. (2,1)D. (—1,2)解析如图所示，直线I为抛物线y= 2x2的准线，F为其焦点,PN 丄I, AN」I ,N、N由抛物线的定义知，|PF|= |PN|,二|AP| + |PF|= |AP| + |PN|> IAN*,当且仅当A, P, N三点共线时取等号,P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1, 则可排除A、C、D项，故选B.答案B7. 已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M(m,—2)到焦点的距离为4,则m的值为()A.4或一4B. —2C. 4D.2或—2解析由题可知，p—(—2)= 4,・p=4.二抛物线的方程为x2= —8y.将(m,—2)代入可得m2= 16,二m= ±1.故选 A.答案A2 28. 设双曲线字一古=1(a>0, b>0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y2= 12x的准线上，则此双曲线的方程为(解析抛物线y2= 12x的准线方程为x=- 3,丁c= 3,1由题意，得a= 3,解得a2= 3, b2= 6,ac2= a2+ b2.x2y2故所求双曲线的方程为x—y= 1.3 6答案C9.动圆的圆心在抛物线y 2 = 8x 上，且动圆恒与直线x + 2= 0相 切，则动圆必过点( )A . (4,0)B . (2,0)C . (0,2)D . (0,— 2)解析 直线x + 2= 0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上， 由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0).答案 B 10.椭圆x 2 +治=1(a >b >0)上任意一点到两焦点的距离分别为d i , d 2,焦距为2c ,若d i,2c , d 2成等差数列，则椭圆的离心率为(A.2 C.解析 由椭圆的定义可知d i + d 2 = 2a , 又由d i,2c , d 2成等差数列, c 4c = d [ + d 2 = 2a ,— e =—= a 答案 A111.已知F 是抛物线y = 4X 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则 线段PF 中点的轨迹方程是( )2 1 2 1A . x = y — 2B . x 2 = 2y —16C . x 2= 2y — 1D . x 2 = 2y — 212.B.1解析由y=4X2? x2= 4y,焦点F(0,1),设PF 中点Q(x, y)、P(x0, y°),2x = 0 + X o , 贝S 2y = 1+ y °, x 2= 2y — 1.4y °=X0,答案 C 12.已知F i , F 2是双曲线孑—希=1（a>b>0）的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，若忙啓的最小值为8a ，则该双曲线的离心率的l PF i | 取值范围是（）A . (1,3) C . (1,3]血二 |PF 1| + 羽2解析 |PF 1| |PF 1|心l . 4a 2 _=|PF11+ |PF 〔|+ 4a 》8a ,4a 2当|PF 1匸旳，即|PF 1|= 2a 时取等号. 又 |PF 11 c — a,. • 2a 》c — a. c W 3a ,即 e W 3.•••双曲线的离心率的取值范围是（1,3] 答案 C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确 答案填在题中横线上）x 2 y 2 113. （2010福建）若双曲线-—器=1（b>0）的渐近线方程为y =分, 则b 等于 ________ .b 1解析由题意知2=2，解得b = 1.B . (1,2) D . (1,2]14. 若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点（4,0），离心率为舌则椭圆的标准方程为 ___________ .解析若焦点在x轴上，则a=4,由e=~2-，可得c= 2 3,••• b2= a2—c2= 16- 12 = 4,椭圆方程为16+4=1，若焦点在y轴上，贝y b= 4,由e=^，可得a=¥」c2=4a2.又a2—c2= b2,「. ga2= 16, a2=64.4二椭圆方程为£+ £= 1.16 642 2 2 2答案£+y-=1或乞+y-= 1答案16十64= ', 或16十 4 = I2x15. 设F1和F2是双曲线£4 —y2= 1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足/ F1PF2= 90°则厶F1PF2的面积为___________ .[IIPF1I —|PF2||= 4,①解析由题设知 2 2|PF『+ |PF2|2= 20,.②②一① 2得|PF1| |PF2| = 2.1•••△ F1PF2 的面积S= 2|PF1| |PF2|= 1.X 2 y16. ____________________ 过双曲线C ：孑—b = 1（a>0, b>0）的一个焦点作圆X 2+ y 2= a 2的两条切线，切点分别为 A , B 若/AOB = 120°0是坐标原点）, 则双曲线C 的离心率为.解析 如图，设双曲线一个焦点为F ,则厶 AOF 中，|0A|= a , |OF|= c ,Z FOA = 60°••• c = 2a 」e= a = 2.答案 2三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤）17. （10分）求与椭圆4X 2 + 9y 2= 36有相同的焦距，且离心率为丁 的椭圆的标准方程.X 2 y 2解把方程4x 2 + 9y 2= 36写成9+ 丁 =1， 则其焦距2c = 2 5,— c = ,5.,•—a= 5.b 2 = a 2 —c 2 = 52 — 5 = 20,x 2 y 2、v 2 /故所求椭圆的方程为 庶+亦=1,或庶+乔=1.25 20 25 2018. (12分)已知抛物线y 2 = 6x ,过点P(4,1)引一条弦 好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及 尸尸2|.解设直线上任意一点坐标为(x , y), 弦两端点 P 1(X 1 , V 1), P 2(X 2, V 2).T P 1, P 2在抛物线上，y 1= 6x 1, y 2 = 6X 2.P 1P 2使它恰两式相减，得(v1 + V2)(y1 —V2)= 6(x1 —X2).(1)由椭圆定义知---F，+占：^2 = '■又 2 AB = AF , I ：i F、得AB 一解:-y1 + y2 = 2,k=y1 —y2X—6y1 + y2=3..直线的方程为y— 1 = 3(x—4)，即3x—y—11 = 0.由y2= 6x，y = 3x—11,得y2—2y—22 = 0,…y1 + y2 = 2, y1 y2= —22..|P1P2|= 1+1.'22—4X —22 = 2• (3019、(本小题满分12分)2设F1, F2分别是椭圆E: x2 + ^=1 (0< b< 1)的左、右焦点，过bE相交于A、B两点，且IAF2I , | AB , BF2成等差数列。

高二数学圆锥曲线综合测试题（考试时间：120分钟，共150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)1．抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点到其准线的距离是 ( ) A.|a |4 B.|a |2 C ．|a | D ．－a 22．过点A (4，a )与B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝ ( )A ．6 B.2 C ．2 D ．不确定3．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．若直线ax ＋2by －2＝0(a ＞0，b ＞0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．5C ．4 2D ．3＋2 2 5．若双曲线x 2a2－y 2＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为 ( )A.255B.32C.233D ．26．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是 ( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1(x ＞3)D.x 216－y 29＝1(x ＞4)7．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝5e5x (e 为双曲线离心率)，则有( )A ．b ＝2aB ．b ＝5aC ．a ＝2bD ．a ＝5b 8．抛物线y ＝－4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( )A.1716B.1516 C ．－1516 D ．－17169．若直线2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是（ ）A ．（315,315-） B ．（315,0） C ．（0,315-） D ．（1,315--） 10．双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)相切，则r ＝( )A. 3 B ．2 C ．3 D ．611．已知双曲线x 22－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则1PF ·2PF ＝ ( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 12．抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于（ ） A ．23 B ．2 C ．25D ．3 1 2 34 5 6 7 8 9 10 11 12二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知点(x 0，y 0)在直线ax ＋by ＝0(a ，b 为常数)上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2的最小值为________． 14．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p ＝________.15．直线l 的方程为y ＝x ＋3，在l 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x 2－4y 2＝3的焦点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为______________．16．双曲线221tx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则这双曲线的离心率为__ _。

( )（4,0 ）,则双曲线的方程为 ()2 2 2 2x —1 Dx y110 66 10()16D53,则P 到y 轴的距离为 ( )AF I 3 AF 2 ,则双曲线的离心率为为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）A. y 2=± 4B. y 2=± 8x C . y 2= 4xD. y 2 = 8x&已知直线丨1： 4x - 3y + 6= 0和直线12： x =— 1，抛物线y 2= 4x 上一动点 P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是 （）1137A. 2B. 3C.D.；516 2 21•椭圆xy1的焦距为。

259A. 5B. 3 C .4 D 82.已知双曲线的离心率为 2,焦点是 (-4,0 ),2 22 2A. X y1B.x y 1 C4 1212 42 23. 双曲线xy1的两条准线间的距离等于34A.口B.3^7 C.18 7752 24.椭圆1上一点 P 到左焦点的距离为43A. 1B. 2C. 3 D 45. 双曲线的渐进线方程为 2x 3y 0 , F(C、单选题（每题 6分共36 分）为。

( )2 2y x A.1 B.2 2x y 1 C. 13y 213x 21 D 13y 213x 2 1499 4100225225 100A..5 2B.7.设斜率为2的直线I 过抛物线y 2= ax ( a * 0)的焦点 F ,且和y 轴交于点 A ,若厶OAFO5）为双曲线的一个焦点，则双曲线的方程2 2X y6•设F I ,F 2是双曲线 —2 1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ,使 F 1AF 2 90且a b9. 已知直线l i：4x—3y + 6= 0和直线I 2：x =- 1，抛物线y= 4X上一动点P到直线11和直线丨2的距离之和的最小值是（）10. 抛物线y2= 4x的焦点为F,准线为I，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A, AKL I，垂足为^则厶AKF的面积是（）A. 4B. 3 3 C . 4 3 D. 8二•填空题。

高中数学：二轮专题圆锥曲线的方程-综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）于是|PF|+|PQ|=|PD|+|PQ|=|QD|=8，在抛物线C上任取点P′，过P′作准线x=−1的垂线，垂足为D′，3连P′F,P′Q,D′Q，则有|P′F|+|P′Q|=|P′D′|+|P′Q|≥|D′Q|≥|QD|，当且仅当点P′与点P重合时取等号，.所以|PF|+|PQ|的最小值为83故选：A.=1(b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，圆8．（5分）（2022·四川省高二期末（理））已知双曲线C:x2−y2b2(x−1)2+y2=3与C的渐近线相切.P为C右支上的动点，过P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B.给出以下4结论：①C的离心率e=2；②两渐近线夹角为30∘；③|PA|⋅|PB|为定值3；4.④|AB|的最小值为√32则所有正确结论为（）A．①②B．①③C．③④D．①③④【解题思路】根据圆与渐近线相切可求出b=√3，c=2，根据离心率公式求出离心率可判断①正确；根据渐近线方程可得倾斜角，从而可得两渐近线的夹角，可判断②不正确；设P(x0,y0)(x0≥1)，根据点到直线距离公式求出|PA|⋅|PB|为定值，可判断③正确；设P(x0,y0)(x0≥1)，联立直线方程解得A,B的坐标，再根据两点间的距离公式求出|AB|可判断④正确.与C的渐近线相切，【解答过程】因为圆(x−1)2+y2=34所以圆心(1,0)到渐近线bx−y=0的距离等于圆的半径√3，2二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2021·甘肃·高二阶段练习（文））设命题p ：方程x 21;2m+y 2m:2=1表示双曲线；命题q ：“方程C 1:x 2m 2+y 22m:8=1表示焦点在x 轴上的椭圆”.(1)若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围.【解题思路】（1）由题意可得{m 2>2m +82m +8>0，解不等式即可求解；（2）先求出命题p 为真命题时实数m 的取值范围，由题意可得p,q 一真一假，再分别讨论p 真q 假，p 假q 真时m 的取值范围即可. 【解答过程】(1)若q 为真，则{m 2>2m +82m +8>0 ，解得：−4<m <−2或m >4.(2)若p 为真命题，则(1−2m )(m +2)<0，可得m >12或m <−2，因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p,q 一真一假， 若p 真q 假，则：{m <−2或m >12m ≤−4或−2≤m ≤4解得：m ≤−4或12<m ≤4，若p 假q 真，则：{−2≤m ≤12−4<m <−2或m >4，此时无解，综上所述，实数m 的取值范围为：m ≤−4或12<m ≤4.18．（12分）（2021·江苏省高二阶段练习）已知双曲线C 的焦点在x 轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为y =43x.(1)求C 的标准方程；(2)过C 的右顶点，斜率为2的直线l 交C 于A ，B 两点，求|AB|. 【解题思路】(1)由条件设双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，根据条件列方程求a,b,c 即可；(2)联立方程组，求出交点坐标，利用两点距离公式求|AB|. 【解答过程】（1）因为焦点在x 轴上，故设C 的标准方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0).∵双曲线的焦距为10，∴c =5，。