12.3 角的平分线的性质
第1课时角的平分线的作法及性质
【知识与技能】
1.掌握角的平分线的作法.
2.会利用角平分线的性质.
【过程与方法】
经历折纸、画图、文字与符号的翻译活动,培养学生的联想、探索、概括归纳的能力.
【情感态度】
通过实际操作与探究交流,激发学生学习数学的兴趣.
【教学重点】
角平分线的性质及其应用.
【教学难点】
灵活应用两个性质解决问题.
一、情境导入，初步认识
活动 1 学生预习教材,掌握角平分线的作法,小组间交流并动手实际画一画,总结出画角平分线的步骤.
活动 2 让学生用准备好的白纸与剪刀,自己动手,剪一个角,把剪好的角对折,使角的两边叠合在一起,再把纸片展开,看到了什么?
【教学说明】发现第一次对折后的折痕是这个角的平分线;再折一次,又会出现两条折痕,而且这两条折痕是等长的.这种方法可以做无数次,所以这种等长的折痕可以折出无数对.
请同学们折出如图所示的折痕PD、PE,并研究这个图形中隐含了哪些等量关系,互相交流,形成结论.教师讲课前，先让学生完成“自主预习”.
二、思考探究，获取新知
由上述活动及交流情况,教师总结以下新知识:
1.角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.到角两边距离相等的点在角的平分线上.
【教学说明】
1.这两个性质的条件和结论正好相反,分别可以作为证线段相等和证角相等的依据.
2.在用几何语言表述性质时,注意强调“点到直线的距离”中的垂直条件.
例1 如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1∶20000）?
【教学说明】教师提出下列问题，引导学生理清思路：
(1)集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
(2)比例尺为1∶20000是什么意思？
(3)图形上，表示500m的是个什么距离？
例2 如图所示，BD为∠ABC的平分线，AB=BC,点P、D分别在BF上，PM⊥AD 于M,PN⊥CD于N，求证：PM=PN.
【分析】从一条线引两条垂线，要证明两条垂线段相等，可联想到角平分线的性质，将证线段相等转化为找角平分线，即证角相等.根据△ABD≌△CBD即可得证.
【证明】∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD.
在△ABD和△CBD中，
,
,
,
AB CB
ABD CBD
BD BD
=
⎧
∠=∠
=
⎪
⎨
⎪
⎩
∴△ABD≌△CBD(SAS).
∴∠ADB=∠CDB.
即射线DP为∠ADC的平分线.
又∵PM⊥AD,PN⊥CD,
∴PM=PN.
例3如图，点P是∠AOB的平分线OM上一点，作PD⊥
OB,PC⊥OA,垂足分别是点D、C，点E、F分别在线段OD,OC上，且∠PED=∠PFC,求证：OP平分∠EPF.
【分析】
欲证OP平分∠EPF，可设法证∠OPE=∠OPF,而要证∠OPE=∠OPF,需证∠OPD=∠OPC和∠DPE=∠CPF.
【证明】
∵OP平分∠AOB,PD⊥OB,PC⊥OA,垂足分别是点D，C，∴PD=PC，
∠ODP=∠OCP=90°.
在Rt△ODP与Rt△OCP中，
,
, PD PC OP OP
=
=
⎧
⎨
⎩
∴Rt△ODP≌Rt△OCP（HL）.
∴OD=OC,∠OPD=∠OPC.
在Rt△EDP与Rt△FCP中，
∠PED=∠PFC,∠ODP=∠OCP=90°,
∴90°-∠PED=90°-∠PFC,即∠DPE=∠CPF.
∴∠OPD-∠DPE=∠OPC-∠CPF,
∴∠OPE=∠OPF,即OP平分∠EPF.
三、运用新知，深化理解
1.角的平分线上的点到这个角的两边的______相等.
2.如图，在△ABC中,∠A=80°,∠B与∠C的平分线相交于点I,则∠BIC=___.
第2题图第3题图
3.已知在△ABC中,∠B=30°,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于D,且DE⊥AB于E,则∠BDE=_______=_______=_______.
【教学说明】指导学生解答上述习题时，应适当启发学生对角平分线性质的灵活运用.
【答案】1.距离 2.130°
3.∠EDA ∠CDA ∠CAB
四、师生互动，课堂小结
1.角平分线的两个性质应牢记并应用于解题中.
2.与角平分线有关的求证线段相等,角相等问题,我们可以直接用角平分线性质,不必再利用证三角形全等得到线段相等或角相等.
1.布置作业：从教材“习题1
2.3”中选取部分题.
2.完成练习册中本课时的练习.
本课时教学思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，充分体现了数学学习的必然性，教学时要始终围绕问题展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，再要求学生开展活动——折纸，体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出进一步的猜想和开展新活动——尺规作图，从中猜想结论并思考证明的方法，整堂课以学生操作、探究、合作贯穿始终，并充分给学生思考留下足够的空间与时间，形成动手、合作、概括与解决问题的意识与能力.
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