最新选修2-1空间向量单元测试题(经典)

第三章单元质量评估（二）

时限：120分钟專^满分：150分

第I卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1. 已知空间四边形ABCD, G是CD的中点，连接AG,贝SAB +

2（BD + BC）=（）

A.AG

B.CG

T1T

C.BC

D.qBC

解析：在ABCD中，因为G是CD的中点，所以BG=g（BD + BC）, 从而A B+2（B D+BC）=A B+B G=A G,故选A.

答案：A

2. 设11的方向向量为a = （1,2, —2）, 12的方向向量为b= （-2,3, m），若A丄12，则m等于（）

A . 1 B. 2

1

C.2

D. 3

解析：J血，

「a b= 0,代入可解得m= 2.

答案：B

3. 已知i, j, k为单位正交基底，a= 3i + 2j —k, b= i —j + 2k, 则5a与3b的数量积等于()

A 15

C. —3

解析：J, j, k 两两垂直且|i|= j|= k|= 1,/5a3b= (15i + 10j —

5k) (3i —3j + 6k) = 45 —30 —30=—

15.

答案：A

4 .已知二面角a —l —B的大小为60 °m, n为异面直线，且m

丄a, n丄B,则m, n所成的角为( )

A . 30°B. 60°

C. 90°

D. 120°

解析：设m, n的方向向量分别为m, n.

由m丄a, n丄B知m, n分别是平面a, B的法向量.

1

"cos〈m, n> | = cos60 = 2,A= 60°或120°.

但由于两异面直线所成的角的范围为0, n，,

故异面直线m, n所成的角为60°.

答案：B

5. 已知向量a = (1,2,3), b= (—2,—4,—6), |c|= 14,若(a

+ b) c=乙则a与c的夹角为()

A. 30°

B. 60°

C. 120°

D. 150°

解析：设向量a+ b与c的夹角为a,因为a+ b= (—1,—2,—

— a + b c i

3, ）, |a + b |= 14, cos a= =5,

|a + b ||c |

2

所以a= 60°

C.

答案：C

6. 如图，空间四边形OABC 中，M , N 分别是OA , BC 的中点,

点 G 在线段 MN 上，且 MG = 2GN.设OG = xOA +yOB + zOC,则 x , y , z 的值分别为（）

1 1 1

1 1 1

代|, |, 3 B .|, 3, 6 1 1 1 1 1 1 C.|, 6’ 3

D.6, 3’ 3

解析：，.MG = 2GN ,「MG = 3M1N.

故 OG =OMi + MG =O M + 3（O N - OM I ）

因为向量a + b 与a 的方向相反, 所以a 与c 的夹角为120°.故选

=30M +|O N =*OA +12 OB +

O

B

=*OA+|OB+|O C.

答案：D

7. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC —A 1B 1C 1, CA =

CC i = 2CB ，则直线BC i 与直线AB i 夹角的余弦值为（

解析：不妨设CB = 1,则CA = CC 1 = 2.由题图知, (2,0,0), B 点的坐标为(0,0,1), B i 点的坐标为(0,2,1), (0,2,0).

所以BC i = (0,2,- 1),厢=(-2,2,1). 答案：A

8. 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M , N 分别是CD , CC 1

的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是（

）

5 C. 5

A 点的坐标为 C i 点的坐标为

所以 cos 〈 BC 1, A1B 1 >

0X -2 + 2X 2+ — 1 X 1

3.5

D.3

解析：如图，以D 为原点，DA , DC , DD i 所在直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设该正方体的棱长为2,则A i (2,0,2), M(0,1,0),

N(0,2,1).「A I M = (-2,1,— 2), DN = (0,2,1),「cos 〈A^l , DN 〉= A 1

严

=0.二异面直线A i M 与DN 所成角的大小是90°

|A^M| |DN|

答案：D

9. 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A i B i CQ i 中，M 、N 分别为A i B

和AC 上的点，A i M = AN = ^a ,贝卩MN 与平面BB i C i C 的位置关系是()

A . 30 C . 60

B . 45

解析：在正方体ABCD —A i B i C i D i 中,

••|A i B|= |AC|= 2a , •AM = 3A 1B , AN = 3AC ,

1

M N = MA i +A 1A + AlN =-3A I B +A 1A + AN

=3心+ 3AD = 2

酢+ gBTC i . 因此M N , B i C i 共面. 又'.MN?平面 BB i C i C , 「MN // 平面BB i C i C. 答案：B

iO .正三棱柱ABC — A i B i C i 的所有棱长都相等, BB i C i C 所成角的余弦值为（）

A .相交 C .

垂直

AC i 和平面