辽宁省鞍山一中高考数学一模试卷(理科)及解析

2023年度高三第一次模拟考试数学试卷时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2-B.1- C.1D.22.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=ð（）A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}- D.{2,0}-3.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了221nn F =+(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =⨯，不是质数．现设()()4log 11,2,n n a F n =-= ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若3263n n S a =，则n =（）A.5B.6C.7D.84.已知平面向量a 与b 的夹角为60，()=2,0a ，=1b ，则2a b - 的值为（）A.B.2C.4D.125.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A.79-B.79C.29-D.296.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有（）种A.50B.60C.80D.1007.已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为2π，那么该圆锥的体积是（）A.3πB.23π C.πD.338.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x +=-，若[]0,1x ∈，()2xf x =，则()2023f =（）A.4B.2C.1D.0二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元10.已知函数()()()πsin cos 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()f x 的图象过点(，则下列结论中正确的是（）A.()f xB.()f x 的图象一条对称轴为π4C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象11.已知12,F F 分别是双曲线22:14xC y -=的左､右焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12,F F 为直径的圆经过点M ，则（）A.双曲线C 的渐近线方程为14y x =± B.以线段12F F 为直径的圆的方程为223x y +=C.点M 的横坐标为2或2- D.12MF F △的面积为12.m ）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥P ABCD -，则以下说法正确的是（）A.四棱锥P ABCD -的体积是33m 3B.四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是28m πC.异面直线PA 与CD 所成角的大小为60︒D.二面角A PB C --所成角的余弦值为13-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在32(x x-展开式中，常数项是___________.14.若函数()ln f x x a x =-的图像在点()1,1处的切线方程为32y x =-，则实数=a ______．15.若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为________.16.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ，且以线段1A ,2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为_____.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623sa a =+．（1）求数列的通{}n a 项公式：（2）若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B =︒，222a b c bc =+-，延长BC 至D ，使7BD =，ACD 332．（1）求AB 的长；（2）求ACD 外接圆的面积．19.甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/cm 160166172173173182体重/kg445055555664根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89.（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高(单位：cm )的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg 的频率p ，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg 的人数为X ，求X 的分布列及其数学期望(用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重).20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，90ABC ∠=︒，222AB BC CD ===，ADP △为等边三角形，且面ADP ⊥底面ABCD ．（1）若M 为BC 中点，求证：PM BC ⊥；（2）求面PAD 与面PBC 所成二面角的余弦值．21.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上点A 的横坐标为1，且4FA OA ⋅=uu r uu r.（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1x =分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.22.已知函数()()21ln ,02f x x a x a R a =-∈≠．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[)1,x ∞∈+，都有()12f x ≥成立，求a 的取值范围．2023年度高三第一次模拟考试数学试卷时间：120分钟，满分：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2-B.1- C.1D.2D【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D2.设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=ð（）A.{1,3}B.{0,3}C.{2,1}-D.{2,0}-D【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以(){}U 2,0A B ⋃=-ð.故选：D.3.数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了221nn F =+(n ＝0,1,2，…)是质数的猜想，直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =⨯，不是质数．现设()()4log 11,2,n n a F n =-= ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和，若3263n n S a =，则n =（）A.5B.6C.7D.8B【分析】利用数列的递推关系求得通项公式，再结合等比数列求和公式即可求出结果．【详解】因为221nn F =+(n ＝0,1,2，…)，所以()2144log 1log 22nn n n a F -=-==，所以{a n }是等比数列，首项为1，公比为2，所以S n ＝1(12)12n --＝2n －1所以32(2n －1)＝63×2n －1，解得n ＝6，故选：B4.已知平面向量a 与b 的夹角为60，()=2,0a ，=1b ，则2a b - 的值为（）A. B.2 C.4D.12B【分析】先求出=2a ，由平面向量的数量积可求得a b ⋅，计算()2222a b a b -=- 的值，再开方即可求解.【详解】因为()=2,0a，所以=2a ，所以1cos 602112a b a b ⋅=⋅=⨯⨯=，所以()22222244a b a b a b a b-=-=+-⋅ 2224424414a b a b =+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，故选：B.5.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A.79- B.79 C.29-D.29A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A6.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有（）种A.50 B.60C.80 D.100C【分析】对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.【详解】若甲校分2名大学生，此时有22253260C C A =种分配方法；若甲校分3名大学生，此时有325220C A =种分配方法.综上所述，共有80种分配方法.故选：C.7.已知圆锥的母线长为2，侧面展开图扇形的面积为2π，那么该圆锥的体积是（）A.3πB.23π C.πD.33D【分析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，根据圆锥的侧面积求出r ，再由勾股定理求出h ，最后代入体积公式，即可得到答案；【详解】设圆锥底面半径为r ，高为h ，∴1(2)2212r r ππ⋅=⇒=，∴h ==，∴211(1)3333V Sh π==⨯⨯=，故选：D8.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()11f x f x +=-，若[]0,1x ∈，()2xf x =，则()2023f =（）A.4B.2C.1D.0B【分析】根据()()11f x f x +=-，结合()f x 是定义在R 上的偶函数，易得函数()f x 的周期为2，然后由()(101121)(122)03f f f =⨯+=求解.【详解】因为()()11f x f x +=-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()11f x f x +=-，令1t x =-，则1x t =+，所以(2)()f t f t +=，即()(2)f x f x =+，所以函数()f x 的周期为2，所以()(101121)(12023)2f f f =⨯+==.故选：B .二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入调查数据整理得到如下频率分布直方图（如图）：根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元C.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间D.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元ABC【分析】根据频率分布直方图求出该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率即可判断A ；根据频率分布直方图求出中位数即可判断B ；根据频率分布直方图求出家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率解判断C ；根据频率分布直方图求出平均数即可判断D .【详解】解：对于A ，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户得频率为0.020.040.066%+==，所以比率估计为6%，故A 正确；对于B ，因为0.020.040.100.140.200.5++++=，所以该地农户家庭年收入的中位数约为7.5万元，故B 正确；对于C ，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间频率为0.100.140.200.200.640.5+++=>，所以估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故C 正确；对于D ，该地农户家庭年收入的平均值为30.0240.0450.160.1470.280.290.1⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯100.1110.04120.02130.02140.027.68 6.5+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>，所以估计该地农户家庭年收入的平均值超过6.5万元，故D 错误.故选：ABC .10.已知函数()()()πsin cos 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()f x 的图象过点(2，则下列结论中正确的是（）A.()f x 2B.()f x 的图象一条对称轴为π4C.()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D.把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()π26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象AC【分析】根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的最值性质，可判断A;采用代入验证的方法可判断B;根据余弦函数的单调性可判断C;根据三角函数图象的平移变换规律可判断D.【详解】()4f x x πωϕ=++， 最小正周期为π，∴2ππω=，得2ω=，则()4f x x πϕ=++，()f x 的图象过点，(0))4f πϕ∴=+=，即sin()14πϕ+=，得242k ππϕπ+=+，得24k πϕπ=+，Z k ∈，||2πϕ< ，∴当0k =时，4πϕ=，则()))2442f x x x x πππ=++=+=，则()f x 最大值为，故A 正确，()042f ππ==≠，即()f x 图象的一条对称轴为4π错误，当02x π<<时，02x π<<，此时()2f x x =为减函数，故C 正确，把()f x 的图象向左平移6π个单位长度，得到2()63y x x ππ=+=+，无法得到()6g x x π=+的图象，故D 错误，故选：AC ．11.已知12,F F 分别是双曲线22:14xC y -=的左､右焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段12,F F 为直径的圆经过点M ，则（）A.双曲线C 的渐近线方程为14y x =± B.以线段12F F 为直径的圆的方程为223x y +=C.点M 的横坐标为2或2- D.12MF F △的面积为CD【分析】根据双曲线方程得,,a b c ，由此可得渐近线方程和以12F F 为直径的圆的方程，知AB 正误；联立渐近线与圆的方程，可求得M 坐标，由此可判断CD 正误.【详解】由双曲线方程知：2a =，1b =，C ∴的渐近线方程为12y x =±，A 错误；c == ∴以12F F 为直径的圆方程为225x y +=，B 错误；由22125y xx y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩得：21x y =⎧⎨=±⎩或21x y =-⎧⎨=±⎩，∴点M 的横坐标为2或2-，C 正确；1M y =，121212MF F M S F F y ∴=⋅⋅= ，D 正确.故选：CD .12.m ）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥P ABCD -，则以下说法正确的是（）A.四棱锥P ABCD -的体积是343m 3B.四棱锥P ABCD -的外接球的表面积是28m πC.异面直线PA 与CD 所成角的大小为60︒D.二面角A PB C --所成角的余弦值为13-BCD【详解】设正方形边长为a，则有22a a +=所以1)1)a =，解得2a =，折叠而成正四棱锥如图所示，其中O为外接球的球心，四棱锥P ABCD -的高PM ===，所以四棱锥P ABCD -的体积1422233V =⨯⨯=，所以选项A 错误；设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，球心O 到底面ABCD 的距离为d ，则有222()()2R d PM R d R d R d R d ⎧+===⎪⎨=+⇒+-=⇒-=⎪⎩解得R =P ABCD -外接球表面积428S ππ=⨯⨯=，因为//AB DC ，所以异面直线PA 与CD 所成角为60PAB ∠=︒，取PB 的中点H ，连接AH ，CH，如图，因为PAB ，PBC 均为等边三角形，所以AH PB ⊥，CH PB ⊥，所以AHC ∠为二面角A PB C --所成角的平面角，在AHC中，由余弦定理得1cos 3AHC ∠==-，故正确答案为BCD.故选：BCD第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在32x-展开式中，常数项是___________.6-【分析】求出二项展开式的通项公式，x 的指数为0的项即为所求.【详解】32x -的展开式通项33321332()(2),3)rr r r r rr T C C x r N r x--+=-=-∈≤，展开式的常数必使33012r r -=⇒=，此时，1123(2)6T C =-=-，所求常数项为6-.故答案为：6-14.若函数()ln f x x a x =-的图像在点()1,1处的切线方程为32y x =-，则实数=a ______．2-【分析】利用导数和切线斜率间的关系求实数a 的值.【详解】()ln f x x a x =-，则()1af x x'=-，依题意有()113f a '=-=，则实数-2a =.故答案为：-215.若正实数,a b ，满足1a b +=，则33b a b+的最小值为________.5【分析】将所求式子变形为333b aa b++，结合基本不等式即可求出最小值.【详解】解：因为1a b +=，所以()3333333a b b b b a a b a b a b++=+=++，因为0,0a b >>，所以333=53b a a b ++≥，当且仅当33b a a b =，即13,44a b ==时等号成立，即33b a b+的最小值为5.故答案为:5.【点睛】本题考查了利用基本不等式求最小值，属于基础题.本题的关键是将所求式子中的3换成()3a b +.16.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为1A ,2A ，且以线段1A ,2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则椭圆C 的离心率为_____.63【分析】根据直线与圆相切知，圆心到直线的距离等于半径，可得关于,a b 的方程，再利用离心率的计算公式可得63c e a ==.【详解】椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1(,0)A a -,2(,0)A a ,以线段1A ,2A 为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a ，根据直线与圆相切可得，圆心到直线的距离等于半径，a =，即222224()ab a a b =+，可得223a b =，椭圆的离心率为3c e a ====.故答案为：63四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列{}n a 的前n 项和为n s ，且满足()12n n n s s a n N *+=++∈，()54623sa a =+．（1）求数列的通{}n a 项公式：（2）若12na n nb a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T ．（1）2n a n=（2）211334nn n ++-⋅【分析】（1）根据11n n n a S S ++=-化简条件可得数列为等差数列，再由()54623s a a =+求出首项即可得出等差数列的通项公式；（2）根据等差、等比数列的求和公式利用分组求和即可求解.【小问1详解】()12n n n s s a n N *+=++∈ 12n n a a +∴-=，{}n a ∴是以2为公差的等差数列，()54623s a a =+ 352532a a ∴⨯=⨯，即1110(4)6(8)a a +=+，解得12a =，2(1)22n a n n∴=+-⨯=【小问2详解】11224na nn n b a n ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2231111111442(123)++++1444414n n n T n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+++++=++⎪⎝⎭- 211334nn n ++-⋅=.18.在 ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，60B =︒，222a b c bc =+-，延长BC 至D ，使7BD =，ACD．（1）求AB 的长；（2）求ACD 外接圆的面积．（1）1AB =或6（2）433π【分析】（1）利用余弦定理可求得60A =︒，从而可得ABC 为等边三角形，再利用三角形的面积公式即可得出答案；（2）利用余弦定理求出AD ，再利用正弦定理求得ACD 外接圆的半径，即可得解.【小问1详解】解：因为222222cos a b c bc b c bc A =+-=+-，所以1cos 2A =，又0180A <<︒︒，所以60A =︒，又因60B =︒，所以ABC 为等边三角形，故AB BC AC ==，由7BD =，可得77CD BC AB =-=-，故()13sin 724ADC S AC CD ACD AB AB =⋅⋅∠=⋅-= ，解得1AB =或6；【小问2详解】解：由（1）得：当1AB =时，6CD =，则2222sin AD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠1136216432⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AD =，设ACD 外接圆的半径为R ，由正弦定理可得2sin AD R ACD ==∠，所以R =所以ACD 外接圆的面积为2433R ππ=，当6AB =时，1CD =，则2222sin AD AC CD AC CD ACD=+-⋅∠1361261432⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以AD =，同理ACD 外接圆的面积为433π，综上所述，ACD 外接圆的面积为433π.19.甲､乙､丙三人，为了研究某地区高中男生的体重y (单位：kg )与身高x (单位：cm )是否存在较好的线性关系，他们随机调查了6名高中男生身高和体重的数据，得到如下表格：身高/cm 160166172173173182体重/kg445055555664根据表中数据计算得到y 关于x 的线性回归方程对应的直线的斜率为0.89.（1）求y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+；（2）从该地区大量高中男生中随机抽出10位男生，他们身高(单位：cm )的数据绘制成如图的茎叶图.①估计体重超过60kg 的频率p ，②视频率为概率，从该地区大量高中男生中随机选出2人，记这2人中体重超过60kg 的人数为X ，求X 的分布列及其数学期望(用（1）中的回归方程估测这10位男生的体重).（1）ˆ0.8998.19y x =-；（2）①310；②分布列答案见解析，数学期望：35.【分析】（1）先求出171,54x y ==，代入求出ˆa，得到回归方程；（2）由回归方程求出体重超过60kg 同学身高约为177.7，根据茎叶图得到有3个，计算频率；由题意分析随机变量X 的可能取值，求出对应的概率，写出分布列，求出数学期望.【详解】解：（1）依题意可知ˆ0.89b=171,54x y == ˆˆ540.8917198.19ay bx =-=-⨯=-故y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.8998.19y x =-()2①令ˆ0.8998.1960yx =-=得177.7x ≈故这10位男生的体重有3位体重超过60kg 所以频率310p =②X 的可能取值为0,1,2()202749010100P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭()127342211==101010050P X C ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭()22239210100P X C ⎛⎫===⎪⎝⎭则X 的分布列为X12P4910021509100()219302501005E X =++⨯=.【点睛】求离散型随机变量的分布列，应按以下三个步骤进行：（1）明确离散型随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；（2）利用概率的有关知识求出随机变量每个取值的概率；（3）按规范形式写出分布列并用分布列的性质进行检验.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ，90ABC ∠=︒，222AB BC CD ===，ADP △为等边三角形，且面ADP ⊥底面ABCD ．（1）若M 为BC 中点，求证：PM BC ⊥；（2）求面PAD 与面PBC 所成二面角的余弦值．（1）证明见解析（2）55【分析】（1）取AD 中点O ，连接OM ，则由梯形中位线定理可得OM AB ∥，再由已知可得OM BC ⊥，由ADP △为等边三角形，得PO AD ⊥，再结面面垂直的性质和线面垂直的性质可得PO BC ⊥，由线面垂直的判定定理得BC ⊥面POM ，从而可证得PM BC ⊥，（2）以O 为坐标原点，以向量MB ，OM，OP 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量求解即可【小问1详解】取AD 中点O ，连接OM ．因为在梯形ABCD 中，O ，M 分别为AD ，BC 的中点，所以OM AB ∥，又AB BC ⊥，所以OM BC ⊥．因为ADP △为等边三角形，故PO AD ⊥，又面ADP ⊥底面ABCD ，面ADP ⋂面ABCD AD =，PO ⊂面ADP ，故PO ⊥底面ABCD ．因为BC ⊂面ABCD ，所以PO BC ⊥．又因为OP OM O ⋂=，所以BC ⊥面POM ，而PM ⊂面POM ，故PM BC ⊥．【小问2详解】由（1）可知，以O 为坐标原点，以向量MB ，OM，OP 的方向分别作为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则13,,022B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，60,0,2P ⎛ ⎝⎭，所以()1,1,0AD =- ，60,0,2OP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，()1,0,0CB =，136,,222BP ⎛=-- ⎝⎭，设()111,,m x y z = 为平面PAD的一个法向量，则00m AD m OP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即1110602x y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则()1,1,0m = ．设()222,,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则有则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即222201360222x x y z =⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令26z =则(0,6n =．于是25cos ,5210m n m n m n⋅===，因为由图可知面PAD 与面PBC 所成的二面角为锐角，所以面PAD 与面PBC 所成的二面角的余弦值为55．21.已知抛物线C 的顶点是坐标原点O ，对称轴为x 轴，焦点为F ，抛物线上点A 的横坐标为1，且4FA OA ⋅=uu r uu r.（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 的焦点作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1x =分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.（1）24y x =；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程()220y px p =>，焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，抛物线上点A 的横坐标为1，可设出点A 坐标含有未知数y ，再由4FA OA ⋅=uu r uu r可列出()1,1,42p y y ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，再由()220y px p =>，代入即可解得p ，即可求出抛物线方程.（2）由题意设直线l ：()()10y k x k =-≠，211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，再把抛物线与直线进行联立消x ，得124y y =-.直线OM 的方程为14y x y =，与1x =联立可得：141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得241,B y ⎛⎫⎪⎝⎭，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令0y =，即可求出以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点.【小问1详解】由题意可设抛物线方程为()220y px p =>，()1,A y ､,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由4FA OA ⋅=uu r uu r.可得()1,1,42p y y ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，即1242pp -+=.解得2p =抛物线方程为：24y x =.【小问2详解】设直线l ：()()10y k x k =-≠，211,4y M y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，222,4y N y ⎛⎫⎪⎝⎭，由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩联立得，2440ky y k --=.则124y y =-.直线OM 的方程为14y x y =，与1x =联立可得：141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理可得241,B y ⎛⎫⎪⎝⎭.以AB 为直径的圆的圆心为12122()(1,y y y y +，半径为r =()222122112122()4()1y y y y x y y y y y ⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令0y =.则()2121610x y y -+=.即()214x -=，解得=1x -或3x =.即以AB 为直径的圆经过x 轴上的两个定点()1,0-，()3,0.22.已知函数()()21ln ,02f x x a x a R a =-∈≠．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的[)1,x ∞∈+，都有()12f x ≥成立，求a 的取值范围．（1）答案见解析（2）()(],00,1∞-⋃【分析】（1）求出()()20a x a f x x x x x-'=-=>，分别讨论a 不同范围下()f x ¢的正负，分别求单调性；（2）对任意的[)1,x ∈+∞，都有()12f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 12f x ≥，然后，结合（1）的单调性求出m in ()f x 即可求解【小问1详解】该函数的定义域为()0,+∞，()()20a x a f x x x x x-'=-=>，①当a<0时，()20x a f x x-'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,+∞；②当0a >时，令()0f x ¢=，解得x =x =所以函数()f x 的递增区间为)∞+，递减区间为(，所以当a<0时，函数()f x 的递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()f x 的递增区间为)∞+，递减区间为(．【小问2详解】对任意的[)1,x ∈+∞，都有()12f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 12f x ≥，①当a<0时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()112f ≥，而()112f =，所以a<0满足题意；②当01a <≤时，01<≤，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥，而()112f =，所以01a <≤满足题意；③当1a >1>，()f x 在⎡⎣上是减函数，在⎤+∞⎦上是增函数，所以只需12f≥即可，而()112f f <=，从而1a >不满足题意；综上①②③可得：实数a 的取值范围为()(],00,1-∞⋃．。

2023年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)数学(供理科考生使用)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）参考公式:如果事件A 、B 互斥,那么 球地表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=42Rπ如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球地半径 P(A ·B)＝P(A)·P(B) 球地体和只公式如果事件A 在一次试验中发生地概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次地概率 V =243R π ()(1)(0,1,2,,)kkn kn n P k C P p k n -=-= 其中R 表示球地半径一、选择题1.已知集合{}30,31x M xN x x x ⎧+⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭…,则集合{}1x x …为( )A.M NB.M NC.()R M N ðD.()R M N ð解析:C解析:本小题主要考查集合地相关运算知识。

依题{}{}31,3M x x N x x =-<<=-…,∴{|1}M N x x ⋃=<,()R M N = ð{}1.x x …2.135(21)lim(21)n n n n →∞++++-+ 等于( )A.14 B.12C.1D.2解析:B解析:本小题主要考查对数列极限地求解。

依题22135(21)1lim lim .(21)22n n n n n n n n →∞→∞++++-==++ 3.圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点地充要条件是( )A.(k ∈B.(,)k ∈-∞+∞C.(k ∈D.(,)k ∈-∞+∞ 解析:C解析:本小题主要考查直线和圆地位置关系。

依题圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点1d ⇔=>⇔(k ∈4.复数11212i i +-+-地虚部是( ) A.15i B.15 C.15i - D.15-解析:B解析:本小题主要考查复数地相关运算及虚部概念。

2021届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. sec1200=（ ）A ．233-B ．33-C ．12- D ．-2 2.已知全集{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}U =，集合{0,1,3,5,8}A =，集合{2,4,5,6,8}B =，则()()U U C A C B ⋂=（ ）A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6} 3.设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4.1201x dx -=⎰（ ）A ．πB ．2πC.4πD ．05.若0.522log 3log 0.5a b c π===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >> C. c a b >> D ．b c a >> 6.已知2x =是函数3()32f x x ax =-+的极小值点，那么函数()f x 的极大值为（ ） A ．15 B ．16 C.17 D ．187.函数||(1)xx a y a x=>的图象大致形状是（ ）A ．B ． C. D ．8.已知函数21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[0,1) C. (,1)-∞ D ．[0,)+∞ 9.4cos50tan 40-=（ ）A B ．1 10.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数123x x x ，，满足123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．2026(,]33 B ．2026(,)33 C. 11(,6]3 D ．11(,6)311.已知函数2()sin 21x f x x =++，则(2)(1)(0)(2)f f f f -+-++=（ ）A ．0B ．5 C. 4 D ．112.已知函数22,0,()ln(1),0,x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩若|()|f x ax ≥恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞ C. [2,1]- D ．[2,0]-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知sin cos 11tan()1cos 222αααβα=-=-，，则tan β=____________.14.若()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又有(3)0f -=，则()0xf x <的解集是_________. 15.对于函数()y f x =，若存在区间[,]a b ，当[,]x a b ∈时的值域为[,](0)ka kb k >，则称()y f x =为k 倍值函数.若()ln f x x x =+是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________. 16.如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12x x ，都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x 为“H 函数”.下列函数①x y e x =+；②2y x =；③3sin y x x =-；④ln ||,00,0x x x ≠⎧⎨=⎩ 是“H 函数”的所有序号为_______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知函数())12f x x x R π=-∈，.（1）求()3f π的值；（2）若33cos (,2)52πθθπ=∈，，求()6f πθ-. 18. （本小题满分12分）已知命题:p 指数函数2()lg(4)f x ax x a =-+的定义域为R ；命题:q 不等式222x x ax +>+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立.（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围. 19. （本小题满分12分）已知函数()(sin cos )sin 2f x a x x x =++，其中a R ∈. （1）当2a =时，求()f x 值域；（2）若()f x 最小值为()g a ，求()g a 表达式及()g a 最大值. 20. （本小题满分12分）已知函数22()(23)()xf x x ax a a e x R =+-+∈，其中a R ∈. （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率； （2）当23a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值. 21. （本小题满分12分）已知定义在R 上的函数满足：()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x <. （1）求证：()f x 为奇函数； （2）求证：()f x 为R 上的增函数；（3）解关于x 的不等式：22()(2)()(2)f ax f x f ax f a ->-.（其中0a >且a 为常数）. 22.（本小题满分12分） 已知函数2()(1)ln f x a x x =--.（1）若()y f x =在2x =处取得极小值，求a 的值； （2）若()0f x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（3）求证：当2n ≥时，2211132ln 2ln 3ln 22n n n n n--+++>+.2021届辽宁省鞍山市第一中学高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题参考答案一、选择题1-5:DBACA 6-10:DBCCD 11、12：BD 二、填空题 13.13 14. (3,0)(0,3)- 15.1(1,1)e+ 16.①③ 三、解答题17.解：（1）())33124f ππππ=-=)=1.………………4分（2）∵33cos (,2)52πθθπ=∈，，4sin 5θ==-，∴1())cos sin sin )64445f ππππθθθθ-=-=+=-.……………………10分18.解：（1）由题意：当0a =时，()lg(4)f x x =-的定义域不为R ，不合题意.………………2分 当0a ≠时，0∆<且0a >，故2a >.………………4分 （2）若q 为真，则221a x x >-+，对(,1)x ∀∈-∞-上恒成立，221y x x=-+为增函数且(,1)x ∈-∞-，故1a ≥.………………6分“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，等价于p q ，一真一假， 故12a ≤≤.………………12分19.解：（1）设sin cos x x t +=，[2,2]t ∈-,则2sin 21x t=-，所以221y t t =+-， 求得值域为[2,122]-+.………………6分 （2）21[2,2]y t at t =+-∈-，，综上212,22()12,221,22224a a g a a a a a ⎧⎪+≤-⎪=-≥⎨⎪⎪---<<⎩，且其最大值为-1.………………12分20.解：（1）当0a =时，22()'()(2)xxf x x e f x x x e ==+，，故'(1)3f e =. 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为3e .………………4分 （2）解：22'()[(2)24]xf x x a x a a e =++-+. 令'()0f x =，解得2x a =-，或2x a =-.由23a ≠知，22a a -≠-. 以下分两种情况讨论： 若23a >，则22a a -<-.当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：所以()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数.函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)3af a ae--=.函数()f x 在2x a =-处取得极小值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=-.若23a <，则22a a ->-，当x 变化时，'()()f x f x ，的变化情况如下表：所以()f x 在(,2)(2,)a a -∞--+∞，内是增函数，在(2,2)a a --内是减函数. 函数()f x 在2x a =-处取得极大值(2)f a -，且2(2)(43)a f a a e --=-.………………12分21.解：（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得：(0)(0)(0)f f f =+，即(0)0f =.再令0x y +=，即y x =-，得：(0)()()f f x f x =+-.∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数.………………4分（2）设12x x R ∈、，且12x x <，则120x x -<. 由已知得：12()0f x x -<，∴121212()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=-<， ∴12()()f x f x <.即()f x 在R 上是增函数.………………8分 （3）∵22()(2)()(2)f ax f a f ax f x +>+， ∴22(2)(2)f ax a f a x x +>+， ∴2222ax a a x x +>+.即22(2)20ax a x a -++>. ∵0a >，22()20x a x a-++>， ∴2()()0x x a a-->.当2a a <，即a >2{|x x a <或}x a >.当2a a =，即a ={|x x ≠.当2a a >，即0a <<时，不等式解集为{|x x a <或2}x a>.………………12分 22.解：（Ⅰ）∵()f x 的定义域为(0,)+∞，1'()2f x ax x =-，∵()f x 在2x =处取得极小值，∴'(2)0f =，即18a =.此时，经验证2x =是()f x 的极小值点，故18a =.………………2分（Ⅱ）∵1'()2f x ax x=-，①当0a ≤时，'()0f x <，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x >时，()(1)0f x f <=矛盾.………………4分②当0a >时，221'()ax f x x-=，令'()0f x >，得x >'()0f x <，得0x <<. 1>，即102a <<时，x ∈时，'()0f x <，即()f x 递减，∴()(1)0f x f <=矛盾. 1≤，即12a ≥时，[1,)x ∈+∞时，'()0f x >，即()f x 递增，∴()(1)0f x f ≥=满足题意.综上，12a ≥.………………8分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知令12a =，当[1,)x ∈+∞时，21(1)ln 02x x --≥， （当且仅当1x =时取“=”）∴当1x >时，212ln 1x x >-.………………10分 即当2,3,4,x n =，有2221111112()ln 2ln 3ln 21311n n +++>+++--- 11112()132435(1)(1)n n =++++⨯⨯⨯-⨯+22111111132[(1)()()()]324351122n n n n n n--=-+-+-++-=-++.………………12分。

辽宁省鞍山市第一中学2019届高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题）1.已知全集，集合，，则A. B.C. D.2.已知，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.函数的定义域为（）A. B. C. D.4.等差数列和的前n项和分别为与，对一切自然数n，都有，则等于A. B. C. D.5.函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则实数的取值范围是A. B. C. D.6.中为其内角，设，，且，则（）A. B. C. D.7.已知函数，在其定义域上单调，则的值不可能的是A. B. C. D.8.若均为锐角且，，则=（）A. B. C. D.9.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的A. 外心B. 重心C. 垂心D. 内心10.定义在R上的偶函数，满足，且在为减函数，则在锐角中有A. B.C. D.11.已知是等边的外接圆，其半径为4，M是所在平面内的动点，且，则的最大值为A. 4B. 6C. 8D. 1012.已知，若关于的方程恰好有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若复数，则__________．（是的共轭复数）14.已知数列是等差数列，数列是等比数列，满足：，，则__________．15.已知函数的图象与直线的三个交点的横坐标分别为，，，其中，那么的值为______．16.是R上可导的奇函数，是的导函数已知时，，则不等式的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.己知数列的前n项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18.已知函数（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且△ABC的面积为，求a，b 的值.19.已知等差数列的公差不为零，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，的前n项和为，求．20.已知函数在点处的切线方程为．（1）求a，b的值；（2）求证：．21.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，S为的面积，．（1）证明：；（2）若，且为锐角三角形，求S的取值范围．22.已知函数．（1）若对的定义域内的任意x都有，求实数a的取值范围；（2）若，记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数k的最大值．。

一、选择题(本大题共10个小题.每小题5分，共50分)1.已知集合A={x|xA.a≤1B.a<1C.a≥2D.a>22.下列命题①?x∈R，x2≥x;②?x∈R，x2≥x;③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1或x≠-1”.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.33.设偶函数f(x)满足f(x)=x3-8(x≥0)，则{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4}B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6}D.{x|x<-2或x>2}4.点M(a，b)在函数y=1x的图象上，点N与点M关于y轴对称且在直线x-y+3=0上，则函数f(x)=abx2+(a+b)x-1在区间[-2,2)上()A.既没有值也没有最小值B.最小值为-3，无值C.最小值为-3，值为9D.最小值为-134，无值5.函数与的图像关于直线()对称;A.BCD6.已知函数，这两个函数图象的交点个数为()A.1B.2C.3D.47.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)=ax+b的图象是()8.如下四个函数：①②③④，性质A：存在不相等的实数、，使得，性质B：对任意，以上四个函数中同时满足性质A和性质B的函数个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个9.若定义在上的函数满足：对任意有，且时有，的值、最小值分别为M、N，则M+N=()A.2009B.2010C.4020D.401810.幂指函数在求导时，可运用对数法：在函数解析式两边求对数得，两边同时求导得，于是，运用此方法可以探求得知的一个单调递增区间为()A.(0,2)B.(2,3)C.(e,4)D.(3,8)二、填空题(本大题共有5个小题，每小题5分共25分)11.设集合，，若，则_________.12.则.13.已知函数在上为增函数，则实数a的取值范围为___________14.已知函数f(x)的值域为[0,4](x∈[-2，2])，函数g(x)=ax-1，x∈[-2,2]任意x1∈[-2,2]，总存在x0∈[-2,2]，使得g(x0)=f(x1)成立，则实数a的取值范围是________.15、已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，g(x)=f[f(x)]，其中真命题的个数是_________个。

辽宁省数学高考2024年模拟试卷与参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）1. 若函数 f(x) = x^3 - 3x 在区间（-∞，a）上是减函数，则实数 a 的取值范围是（）A. a ≤ 0B. a ≤ 1C. a ≤ 2D. a ≤ 32. 设集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 < 0}，B = {x | x - 3 > 0}，则 A ∩ B = （）A. (-∞，2)B. (2，3)C. (3，+∞)D. (2，+∞)3. 若等差数列 {an} 的前 n 项和为 S_n，且 S_3 = 12，S_6 = 36，则数列的公差 d = （）A. 2B. 3C. 4D. 54. 若函数 g(x) = x^2 + kx + 1 在区间（-∞，1）上是减函数，则实数 k 的取值范围是（）A. k ≤ 2B. k ≤ 1C. k ≤ 0D. k ≤ -25. 若函数 h(x) = x^2 - 2x + 3 在区间 [1，3]上的最大值为 M，最小值为 m，则 M + m = （）A. 5B. 6C. 7D. 86. 若三角形 ABC 的内角 A、B、C 满足 cosA + cosB + cosC = 0，则三角形 ABC 必然是（）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 无法确定二、填空题（每小题5分，共30分）7. 若等差数列 {an} 的前 n 项和为 S_n = 2n^2 + n，则该数列的通项公式为 an = _______。

8. 若函数 f(x) = x^2 - 2x + 1 在区间 [0，2] 上的最小值为 m，则 m = _______。

9. 已知三角形 ABC 的内角 A、B、C 满足 sinA + sinB + sinC = 3/2，则三角形 ABC 的最大内角是_______度。

10. 若函数 g(x) = x^3 - 3x + 1 在区间 [0，3] 上的最大值为 M，最小值为 m，则 M - m = _______。