九年级数学旋转几何综合检测题(WORD版含答案)

九年级数学旋转几何综合检测题（WORD版含答案）

一、初三数学旋转易错题压轴题（难）

1．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，

AP＝1

3

AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，

连接PC，且ABE为等边三角形．

（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是，AP 与EC的数量关系是．

（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为

93，求线段AC的长．

【答案】（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）

7 7

【解析】

【分析】

（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；

（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．

【详解】

解：（1）∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，

∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，

即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；

（2）成立，理由如下，

∵△ABE是等边三角形，

∴∠ABE＝60°，AB＝BE，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴∠CBP＝60°，BC＝BP，

∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，即∠ABP＝∠EBC，

∴△ABP≌△EBC（SAS），

∴AP＝EC；

（3）过点C作CD⊥m于D，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，∴△PBC是等边三角形，

∴3

2

93

∴PC＝3，

设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，∴AC＝2t，

∵m∥n，

∴∠CAD＝∠AEB＝60°，

∴AD＝1

2

AC＝t，CD33，

∵PD2+CD2＝PC2，∴（2t）2+3t2＝9，

∴t＝37

7

（负值舍去），

∴AC＝2t 67

．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得

解．

2．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点

E 关于AB 的对称点，连接A

F 、BF ．

（1）求AF 和BE 的长；

（2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF 为

''A BF ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的

长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）129,55AF BF =

=；（2）95

m =或16

5m =；（3）存在4组符合条件的点

P 、点Q ，使DPQ 为等腰三角形； DQ 的长度分别为2或

258

9

1055或3

5105 【解析】 【分析】 （1）利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解；

（2）依题意画出图形，如图①-1所示．利用平移性质，确定图形中的等腰三角形，分别求出m 的值；

（3）在旋转过程中，等腰△DPQ 有4种情形，分别画出图形，对于各种情形分别进行计算即可． 【详解】

（1）∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠BAD=90°，

在Rt △ABD 中，AB=3，AD=4， 由勾股定理得：2222345AB AD +=+=，

∵S △ABD 12=

BD•AE=1

2

AB•AD ，

∴AE=AB AD3412 BD55

⋅⨯

==，

∵点F是点E关于AB的对称点，

∴AF=AE

12

5

=，BF=BE，

∵AE⊥BD，

∴∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，AB=3，AE

12

5 =，

由勾股定理得：BE

2

222

129

3

55 AB AE

⎛⎫

=-=-=

⎪

⎝⎭

；

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①-1所示：

由对称点性质可知，∠1=∠2．BF=BE

9

5 =，

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4=∠1，BF=B′F′

9

5 =，

①当点F′落在AB上时，

∵AB∥A′B′，

∴∠3=∠4，

根据平移的性质知：∠1=∠4，∴∠3=∠2，

∴BB′=B′F′

9

5

=，即

9

5

m=；

②当点F′落在AD上时，∵AB∥A′B′，AB⊥AD，

∴∠6=∠2，A′B′⊥AD，∵∠1=∠2，∠5=∠1，

∴∠5=∠6，

又知A′B′⊥AD，

∴△B′F′D为等腰三角形，