最新中考数学中的“新定义”

中考数学中的“新定义”

近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析．

一、定义新符号

例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3，

]=l ，按此规定1]=

分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3，

∴1]=2．故应填2．

二、定义新数

例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为

[2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论：

①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33

)； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于

32； ③当m <0时，函数在x > 14

时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )．

A ．①②③④

B ．①②④

C ．①③④

D ．②④

分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2，

22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33

)．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14

，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ．

三、定义新图形

(1)定义新点

例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，…

这样依次得到点123,,,n A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅．若点1A 的坐标为(3，1)，则点3A 的坐标为 ，点 2014A 的坐标为 ；若点1A 的坐标为(,a b )，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则,a b 应满足的条件为 ，

分析及解答 本题涉及到不等式的解法，规律探索依题意知点1A 的坐标为(3，1)，不难求出2A (O ，4)，3A (一3，1)，4A (0，一2)，5A (3，1)，…可知周期是4．因为2014= 503×4+2，故知点2014A 的坐标为(0，4)．若点1A 的坐标为(,a b )，对于任意的正整数n ，点n A 均在x 轴上方，则2A (1,1)b a -++，3A (,2)a b --+，4A (1,1)b a --+．因为点n A 的纵坐标都大于零，即列不等式组：b >0，a +1>0，

一b +2>0，一a

+1>0，解得一1

(2)定义新四边形——“等对角四边形”和“勾股四边形”

例4 (2014·嘉兴市)类比梯形的定义，我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．

(1)已知：如图1，四边形ABCD 是“等对角四边形”，∠A ≠∠C ，∠A =70°∠B =80°．求∠C ，∠D 的度数．

(2)在探究“等对角四边形”性质时：

①小红画了一个“等对角四边形ABCD ”(如图2)，其中∠ABC =∠ADC ，AB =AD ，此时她发现CB =CD 成立．请你证明此结论；

②由此小红猜想：“对于任意‘等对角四边形’，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”．你认为她的猜想正确吗?若正确，请证明；若不正确，请举出反例．

(3)已知：在“等对角四边形”ABCD 中，∠DAB =60°，∠ABC =90°，AB =5，AD =4．求对角线AC 的长．

分析及解答 (1)利用“等对角四边形”的定义加以解决；

(2)①利用等腰三角形的判定和性质证明；②利用画图找反例，一目了然；

(3)应分类讨论：①如图4若∠ABC =∠ADC =90°；②如图5，若∠BCD =∠BAD =60°．两种情况加以讨论．具体解答如下：

答：(1)如图1，在等对角四边形ABCD 中，由于∠A ≠∠C ，故∠D =∠B =80°，

∴∠C =360°-∠A -∠B -∠D =360°-70°-80°-80°

=130°． (2)①如图2，连接BD ．

∵AB =AD ．∴∠ABD =∠ADB ．

∵∠ABC =∠ADC ∴∠ABC 一∠ABD =∠ADC —∠ADB ，

即∠CBD =∠CDB ．∴CB =CD ．

②不正确．

反例：如图3，∠A =∠C =90°，AB =AD ，而此时BC ≠CD ．

(3)(I )如图4，当∠ABC =∠ADC =90°时，不妨延长BC ，AD 相交于点E ．

∵∠ABC =90° ∠DAB =60°．

∴∠E =30°．

∵AB =5 ∴AE =10 ∴DE =AE 一AD =10—4=6

在Rt △CDE 中，∠EDC =90°，∠E =30°，故CE =2CD ．

根据勾股定理，得222

CD DE CE +=，

即2226(2)CD CD +=，解得CD =23 在Rt △ACD 中，根据勾股定理，得222AD CD AC +=，即2224(23)AC +=，解得

27AC =

(II )如图5，当∠BAD =∠BCD =60°时，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂

足分别为点E ，F

∵DE ⊥AB ，∠BAD =60°，AD =4，知∠EDA =30°，

∴AE =2．DE =∴BE =AB —AE =5—2=3．

∵四边形DFBE 是矩形．∴DF =BE =3，BF =DE =23．

∵∠BCD =60°,tan ∠BCD =tan 60°=3DF CF CF

=， ∴CF =3．∴BC =BF +CF =23333+=

在Rt △ABC 中．∴222AB BC AC +=，即2225(33)AC +=，故AC =213

例 5 (2014·兰州)给出定义，若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．