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2015年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知＝i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b等于（）A．﹣1B．1C．﹣3D．32．（5分）阅读如图的程序图，当该程序运行后输出的x值是（）A．11B．14C．17D．203．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，右焦点坐标为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．4．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）＞9，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）5．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足，则等于（）A．B．C．D．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝（x+1）2+y2的最小值为（）A．5B．4C．D．8．（5分）如图，P A切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，若PB＝OB＝1，OD 平分∠AOC，交圆O于点D，连接PD交圆O于点E，则PE的长等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 9．（5分）在的展开式中x3的系数是．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．11．（5分）在△ABC中，BC＝2，B＝60°，若△ABC的面积等于，则AC 边长为．12．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a2＝1，a3•a9＝2a52，则a10等于．13．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离等于．14．（5分）若不等式2|x|﹣1＞a（x2﹣1）对满足﹣1≤a≤1的所有a都成立，则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知向量＝（cos x，sin x+cos x），＝（cos x﹣sin x，﹣sin x），f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的取值范围．16．（13分）在一次数学测试中，甲、乙两个小组各12人的成绩如下表：（单位：分）若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”，其余的等级都记为“合格”．（Ⅰ）在以上24人中，如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机选出2人，求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人，用X表示其中乙组的人数，求随机变量X的分布列和的数学期望．17．（13分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是正三角形，AB＝4，SA＝SC＝2，侧面SAC⊥底面ABC，D，E分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）求直线SC与平面ECD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．18．（13分）已知数列{a n}满足a n＞0，其前n项和S n＝（a n+1）（a n+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2（1+），并记T n为数列{b n}的前n项和，求证：3T n＞log2（），n∈N*．19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且它的左焦点F1与右顶点A的距离|AF1|＝6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点T（﹣3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝﹣于R，S两点，求证：直线RT与直线ST的斜率之积为定值．20．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）＝x ﹣a在区间（0，1]内是减函数．（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x＞0时，方程f（x）﹣g（x）＝x2﹣2x+3有唯一解；（3）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．2015年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知＝i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b等于（）A．﹣1B．1C．﹣3D．3【解答】解：∵＝i，∴a+2i＝﹣1+bi，∴a＝﹣1，2＝b，∴a+b＝1．故选：B．2．（5分）阅读如图的程序图，当该程序运行后输出的x值是（）A．11B．14C．17D．20【解答】解：模拟执行程序框图，可得S＝1，k＝1满足条件S＜100，S＝3，k＝2满足条件S＜100，S＝11，k＝3满足条件S＜100，S＝35，k＝4满足条件S＜100，S＝99，k＝5满足条件S＜100，S＝259，k＝6不满足条件S＜100，退出循环，计算并输出x的值为17．故选：C．3．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，右焦点坐标为（3，0），则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由题意可得，＝，c＝3，由c2＝a2+b2，可得a＝．则离心率e＝＝．故选：C．4．（5分）设函数f（x）＝，若f（x）＞9，则x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）B．（﹣2，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）【解答】解：若x＞1，则由f（x）＞9，得x2＞9，解得x＞3或x＜﹣3（舍），若x＜1，则由f（x）＞9，得3﹣x＞9，解得x＜﹣2，综上不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）故选：D．5．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a＝﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．6．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图因为M是BC的中点，根据向量加法的几何意义，＝2，又，所以＝＝．故选：A．7．（5分）设变量x，y满足约束条件，则z＝（x+1）2+y2的最小值为（）A．5B．4C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，z的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的距离的平方，由图象知D到直线AB：2x+y﹣2＝0的距离最小，此时D到直线的距离d＝，则z＝d2＝，故选：D．8．（5分）如图，P A切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，若PB＝OB＝1，OD平分∠AOC，交圆O于点D，连接PD交圆O于点E，则PE的长等于（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，PB＝OB＝1，P A切圆O于点A，所以∠AOB＝60°，因为OD平分∠AOC，所以∠AOD＝60°，所以∠POD＝120°，由余弦定理得，PD2＝OD2+OP2﹣2OD•OP cos120°＝1+4﹣2×1×2×（﹣）＝7，所以PD＝．根据割线定理PE•PD＝PB•PC得，PE＝1×3，所以PE＝故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷上. 9．（5分）在的展开式中x3的系数是160．【解答】解：在的展开式中，通项T r+1＝（2x2）6﹣r x﹣r＝26﹣r x12﹣3r，令12﹣3r＝3，r＝3．故展开式中x3的系数是23＝160，故答案为160．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为48 cm3．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（3+3）×6＝36cm2，高h＝4cm，故锥体的体积V＝＝48cm3，故答案为：48．11．（5分）在△ABC中，BC＝2，B＝60°，若△ABC的面积等于，则AC边长为．【解答】解：∵在△ABC中，BC＝a＝2，B＝60°，且△ABC的面积等于，＝a•c•sin B＝，即c＝1，∴S△ABC由余弦定理得：AC2＝b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝4+1﹣2＝3，则AC＝，故答案为：12．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a2＝1，a3•a9＝2a52，则a10等于16．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∵a2＝1，a3•a9＝2a52，∴a1q＝1，a12•q10＝2（a1q4）2，两式联立解得a1＝，q＝，∴a10＝（）9＝16，故答案为：16．13．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离等于1．【解答】解：已知直线l的参数方程为（t为参数），转化成直角坐标方程为：4x﹣3y+1＝0．圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，整理得：ρ2＝2ρcosθ转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣2x＝0，转化成标准形式为：（x﹣1）2+y2＝1．所以：圆心坐标为（1，0），半径为1．则：圆C到直线的距离为d＝＝1．故答案为：1．14．（5分）若不等式2|x|﹣1＞a（x2﹣1）对满足﹣1≤a≤1的所有a都成立，则x的取值范围是﹣2＜x＜1﹣或．【解答】解：原不等式化为（x2﹣1）a﹣（2|x|﹣1）＜0．令f（a）＝（x2﹣1）a﹣（2|x|﹣1）（﹣1≤a≤1）．则解得﹣2＜x＜1﹣或﹣1＜x＜2．故答案为：﹣2＜x＜1﹣或﹣1＜x＜2．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）已知向量＝（cos x，sin x+cos x），＝（cos x﹣sin x，﹣sin x），f（x）＝•．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的取值范围．【解答】解：（1）向量＝（cos x，sin x+cos x），＝（cos x﹣sin x，﹣sin x），f（x）＝•＝cos x cos x﹣cos x sin x﹣sin x sin x﹣sin x cos x＝cos2x﹣sin2x＝﹣2sin（2x﹣）．由，k∈Z，解得，k∈Z．函数f（x）的单调递增区间，k∈Z；（2）x∈[﹣，]，可得：，﹣2sin（2x﹣）∈[，2]．函数f（x）的取值范围：[，2]．16．（13分）在一次数学测试中，甲、乙两个小组各12人的成绩如下表：（单位：分）若成绩在90分以上（包括90分）的等级记为“优秀”，其余的等级都记为“合格”．（Ⅰ）在以上24人中，如果按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，再从这6人中随机选出2人，求选出的2人中至少有一人等级为“优秀”的概率；（Ⅱ）若从所有等级为“优秀”的人当中选出3人，用X表示其中乙组的人数，求随机变量X的分布列和的数学期望．【解答】解：（I）设“选出的2人中至少有一人等级为“优秀””为事件A．由于24人中成绩≥90的共有8人，按等级用分层抽样的方法从中抽取6人，则其中优秀的有2人，其余的4人为合格．再从这6人中随机选出2人，则P（A）＝＝．（II）由已知可得：等级为“优秀”的人共有8人，其中甲组有5人，乙组有3人．因此X的可能取值为0，1，2，3．P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．随机变量X的分布列为：E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．17．（13分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC是正三角形，AB＝4，SA＝SC＝2，侧面SAC⊥底面ABC，D，E分别为AB，SB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥SB；（Ⅱ）求直线SC与平面ECD所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角E﹣CD﹣B的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取AC的中点，连接OB，OS．∵SA＝SC，AB＝CB，∴AC⊥SO，AC⊥BO．又∵平面SAC⊥平面ABC，且AC是平面与平面的交线，∴SO⊥平面ABC．如图所示建立空间直角坐标系O﹣xyz．…（1 分）由已知得A（2，0，0），B（0，2，0），C（﹣2，0，0），S（0，0，），D （1，，0），E（0，，）．∴＝（﹣4，0，0），＝（0，2，﹣2）．∴•＝（﹣4，0，0）•（0，2，﹣2）＝0，∴AC⊥SB．…（5 分）（Ⅱ）解：＝（2，，），＝（﹣1，0，）．＝（﹣2，0，﹣2）．设平面ECD的法向量为＝（x，y，z），∵•＝0，•＝0∴，令z＝1，则x＝，y＝．故＝（，，1）为平面ECD的一个法向量．…（8 分）则cos＜，＞＝＝＝﹣∴直线SC与平面ECD所成角的正弦值为﹣．…（10分）（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知＝（，，1）为平面ECD的一个法向量，而＝（0，0，2），为平面BCD的一个法向量．设二面角E﹣CD﹣B的大小为θ，易知二面角E﹣CD﹣B是锐角，∴cosθ＝||＝＝∴二面角的余弦值等于．…（13分）18．（13分）已知数列{a n}满足a n＞0，其前n项和S n＝（a n+1）（a n+2），n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝log2（1+），并记T n为数列{b n}的前n项和，求证：3T n＞log2（），n∈N*．【解答】（I）解：∵S n＝（a n+1）（a n+2），n∈N*．即6S n＝，∴当n＝1时，6a1＝+3a1+2，解得a1＝1或2．当n≥2时，，，化为（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）＝0，∴6a n＝﹣3a n﹣1＝3，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是等差数列，公差为3，首项为1或2．∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，或a n＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．（II）证明：当a n＝3n﹣2，b n＝log2（1+）＝，数列{b n}的前n项和T n＝++…+＝，要证明3T n＞log2（），n∈N*．即证明T n．即证明•…•＞．下面利用数学归纳法证明：（i）当n＝1时，左边＝1+1＝2，右边＝，左边＞右边，不等式成立．（ii）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即•…•＞．则当n＝k+1时，需要证明：×＞，即证明：＞成立，即，即证明（3k+2）3＞（3k+1）2（3k+4），而（3k+2）3﹣（3k+1）2（3k+4）＝9n+8＞0，因此逆推可知：×＞，也就是当n＝k+1时不等式成立．综上可得：3T n＞log2（），n∈N*．当a n＝3n﹣1，同理可证．19．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且它的左焦点F1与右顶点A的距离|AF1|＝6．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过点T（﹣3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x＝﹣于R，S两点，求证：直线RT与直线ST的斜率之积为定值．【解答】（Ⅰ）解：设椭圆的左焦点F1的坐标为（﹣c，0），依题意b2＝a2﹣c2，，|AF1|＝a+c＝6．解得a＝4，c＝2，b2＝a2﹣c2＝12．∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ：y＝k（x+3），由整理得（4k2+3）x2+24k2x+（36k2﹣48）＝0．则，．由A，P，R三点共线，可得，即，由A，Q，S三点共线，同理可得．．而y1y2＝，故＝．∴直线RT与直线ST的斜率之积为定值．20．（14分）已知函数f（x）＝x2﹣alnx在区间（1，2]内是增函数，g（x）＝x ﹣a在区间（0，1]内是减函数．（1）求f（x），g（x）的表达式；（2）求证：当x＞0时，方程f（x）﹣g（x）＝x2﹣2x+3有唯一解；（3）当b＞﹣1时，若f（x）≥2bx﹣在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）由题意知：在（1，2）上恒成立⇒a≤（2x2）＝2，min又在（0，1]上恒成立，∴a＝2，f（x）＝x2﹣2lnx，g（x）＝x﹣2．（2）f（x）＝g（x）+2，则﹣1，x∈（0，1]时，h′（x）＜0，x∈[1，+∞），h′（x）≥0，解得h（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增⇒h（x）min＝h（1）＝0，即方程f（x）＝g（x）+2在x＞0时只有唯一解．（3）f（x）在（0，1]上恒成立，在（0，1]上恒成立．设，则，∵0＜x≤1⇒x2﹣2＜0，2lnx＜0，∴H′（x）＜0，H（x）d（0，1]单调递减，∴﹣1＜b≤1，又∵b＞﹣1，∴﹣1＜b≤1．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015高考天津卷,理1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩∁U B 等于( A )(A){2,5} (B){3,6}(C){2,5,6} (D){2,3,5,6,8}解析:由已知得∁U B={2,5,8},所以A∩∁U B={2,5},故选A.2.(2015高考天津卷,理2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( C )(A)3 (B)4 (C)18 (D)40解析:由约束条件画出可行域如图中阴影部分所示,当动直线x+6y-z=0过点(0,3)时,z max=0+6×3=18.故选C.3.(2015高考天津卷,理3)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( B )(A)-10 (B)6 (C)14 (D)18解析:执行程序:S=20,i=1,i=2,S=20-2=18;i=4,S=18-4=14;i=8,S=14-8=6,满足i>5的条件,结束循环,输出S的值为6,故选B.4.(2015高考天津卷,理4)设x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( A )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:|x-2|<1⇔-1<x-2<1⇔1<x<3;x2+x-2>0⇔x<-2或x>1.由于(1,3)⫋(-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条件.5.(2015高考天津卷,理5)如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N.若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( A )(A)(B)3(C)(D)解析:令AB=3a(a>0),因为CM·MD=AM·MB,即2×4=2a2,所以a=2.又因为CN·NE=AN·NB,即3NE=4×2,所以NE=,故选A.6.(2015高考天津卷,理6)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为( D )(A)-=1 (B)-=1(C)-=1 (D)-=1解析:因为点(2,)在渐近线y=x上,所以=,又因为抛物线的准线为x=-,所以c=,故a2+b2=7,解得a=2,b=.故双曲线的方程为-=1.故选D.7.(2015高考天津卷,理7)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( C )(A)a<b<c (B)a<c<b(C)c<a<b (D)c<b<a解析:因为f(x)=2|x-m|-1为偶函数,所以m=0.因为a=f(lo3)=f(log 23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,而函数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c.故选C.8.(2015高考天津卷,理8)已知函数f(x)=函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( D )(A),+∞(B)-∞,(C)0,(D),2解析:函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,即方程f(x)-g(x)=0,即b=f(x)+f(2-x)有4个不同的实数根,即直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点.又y=f(x)+f(2-x)=作出该函数的图象如图所示,由图可得,当<b<2时,直线y=b与函数y=f(x)+f(2-x)的图象有4个不同的交点,故函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点时,b的取值范围是,2.第Ⅱ卷二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2015高考天津卷,理9)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为.解析:因为(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,所以解得a=-2.答案:-210.(2015高考天津卷,理10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.解析:由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1,两个圆锥的高均为1,圆柱的高为2.因此该几何体的体积为V=2×π×12×1+π×12×2=πm3.答案:π11.(2015高考天津卷,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.解析:曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由解得x=0或x=1,所以S=(x-x2)dx=x2-x3=-=.答案:12.(2015高考天津卷,理12)在的展开式中,x2的系数为.解析:x-6的展开式的通项为T r+1=x6-r-r=-r x6-2r,令6-2r=2,得r=2,所以x2的系数为×-2=.答案:13.(2015高考天津卷,理13)在△ABC中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-, 则a 的值为.解析:因为cos A=-,0<A<π,所以sin A==.由3=bcsin A得bc=24.又因为b-c=2,所以b=6,c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=36+16+12=64.故a=8.答案:814.(2015高考天津卷,理14)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且=λ,=, 则·的最小值为.解析:如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C,,D,.由=λ(λ>0),得E2-,λ,由=,得F+,.从而·=2-,λ·+,=++≥+2×=.当且仅当λ=时,取等号.答案:三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)(2015高考天津卷,理15)已知函数f(x)=sin 2x-sin 2x-,x ∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间-,上的最大值和最小值.解:(1)由已知,有 f(x)=-=cos 2x+sin 2x -cos 2x =sin 2x-cos 2x=sin 2x-.所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(x)在区间-,-上是减函数, 在区间-,上是增函数,f -=-,f -=-,f =.所以,f(x)在区间-,上的最大值为,最小值为-.16. (本小题满分13分)(2015高考天津卷,理16)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)由已知,有P(A)==.所以,事件A发生的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.17.(本小题满分13分)(2015高考天津卷,理17)如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB⊥AC,AB=1,AC=AA1=2,AD=CD=,且点M 和N分别为B1C和D1D的中点.(1)求证:MN∥平面ABCD;(2)求二面角D1AC B1的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为,求线段A1E的长.解:如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,-2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,-2,2).又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M1,,1,N(1,-2,1).(1)依题意,可得n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量.=0,-,0,则·n=0,又因为直线MN⊄平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)=(1,-2,2),=(2,0,0).设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z1=1,可得n1=(0,1,1).设n2=(x2,y2,z2)为平面ACB1的法向量,则又=(0,1,2),得不妨设z2=1,可得n2=(0,-2,1).因此有cos n1,n2==-,于是sin n1,n2=.所以,二面角D1AC B1的正弦值为.(3)依题意,可设=λ,其中λ∈[0,1],则E(0,λ,2),从而=(-1,λ+2,1).又n=(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量,由已知,得cos,n===,整理得λ2+4λ-3=0,又因为λ∈[0,1],解得λ=-2.所以,线段A1E的长为-2.18. (本小题满分13分)(2015高考天津卷,理18)已知数列{a n}满足a n+2=qa n(q为实数,且q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且a2+a3,a3+a4,a4+a5成等差数列.(1)求q的值和{a n}的通项公式;(2)设b n=,n∈N*,求数列{b n}的前n项和.解:(1)由已知,有(a3+a4)-(a2+a3)=(a4+a5)-(a3+a4),即a4-a2=a5-a3,所以a2(q-1)=a3(q-1).又因为q≠1,故a3=a2=2,由a3=a1·q,得q=2.当n=2k-1(k∈N*)时,a n=a2k-1=2k-1=;当n=2k(k∈N*)时,a n=a2k=2k=,所以{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)得b n==,n∈N*,设{b n}的前n项和为S n,则S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,S n=1×+2×+3×+…+(n-1)×+n×,上述两式相减,得S n=1+++…+-=-=2--,整理得,S n=4-,n∈N*.所以,数列{b n}的前n项和为4-,n∈N*.19. (本小题满分14分)(2015高考天津卷,理19)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c,|FM|=.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.解:(1)由已知有=,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k>0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有2+2=2,解得k=.(2)由(1)得椭圆方程为+=1,直线FM的方程为y=(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为c,c.由|FM|==,解得c=1,所以椭圆的方程为+=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.又由已知,得t=>,解得-<x<-1或-1<x<0.设直线OP的斜率为m,得m=,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=-.①当x∈-,-1时,有y=t(x+1)<0,因此m>0,于是m=,得m∈,.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)>0,因此m<0,于是m=-,得m∈-∞,-.综上,直线OP的斜率的取值范围是-∞,-∪,.20. (本小题满分14分)(2015高考天津卷,理20)已知函数f(x)=nx-x n,x∈R,其中n∈N*,且n≥2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x);(3)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x1,x2,求证: |x2-x1|<+2.(1)解:由f(x)=nx-x n,可得f'(x)=n-nx n-1=n(1-x n-1),其中n∈N*,且n≥2.下面分两种情况讨论:①当n为奇数时,令f'(x)=0,解得x=1或x=-1.所以,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减,在(-1,1)上单调递增.②当n为偶数时,当f'(x)>0,即x<1时,函数f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>1时,函数f(x)单调递减.所以,f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.(2)证明:设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f'(x0)=n-n2.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f'(x0)(x-x0),即g(x)=f'(x0)(x-x0).令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)=f(x)-f'(x0)(x-x0),则F'(x)=f'(x)-f'(x0).由于f'(x)=-nx n-1+n在(0,+∞)上单调递减,故F'(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为F'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,F'(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,F'(x)<0,所以F(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,+∞)上单调递减,所以对于任意的正实数x,都有F(x)≤F(x0)=0,即对于任意的正实数x,都有f(x)≤g(x).(3)证明:不妨设x1≤x2.由(2)知g(x)=(n-n2)(x-x0).设方程g(x)=a的根为x'2,可得x'2=+x0.当n≥2时,g(x)在(-∞,+∞)上单调递减.又由(2)知g(x2)≥f(x2)=a=g(x'2),可得x2≤x'2.类似地,设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x),可得h(x)=nx.当x∈(0,+∞)时,f(x)-h(x)=-x n<0,即对于任意的x∈(0,+∞),f(x)<h(x).设方程h(x)=a的根为x'1,可得x'1=.因为h(x)=nx在(-∞,+∞)上单调递增,且h(x'1)=a=f(x1)<h(x1),因此x'1<x1.由此可得x2-x1<x'2-x'1=+x0.因为n≥2,所以2n-1=(1+1)n-1≥1+=1+n-1=n,故2≥=x0.则当x1≤x2时,|x2-x1|=x2-x1<+2.同理可证当x1>x2时,结论也成立.所以,|x2-x1|<+2.。
高考天津市理科数学真题含答案解析超完美版Coca-cola standardization office【ZZ5AB-ZZSYT-ZZ2C-ZZ682T-ZZT18】2015年高考天津市理科数学真题 一、选择题 1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=（ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．52 6．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜ 8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4，D ．7(2)4， 二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。
2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析2015年天津市高考数学试卷(理科)一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 403((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 1824((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页)A( B( C( D( 36((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1,|xm|((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) 其中bA( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 (10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3m(第2页(共21页)211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 (14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11第3页(共21页)(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x率为+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221第4页(共21页)2015年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}考点:交、并、补集的混合运算(专题:集合(分析:由全集 U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可; 解答:解: ?全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，??B={2，5，8}， U则A??B={2，5}( U故选:A(点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键(2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 40考点:简单线性规划(专题:不等式的解法及应用(分析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值(解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)(由z=x+6y得y=,x+z，平移直线y=,x+z，由图象可知当直线y=,x+z经过点A时，直线y=,x+z的截距最大，此时z最大(由，解得，即A(0，3)将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18(即z=x+6y的最大值为18(第5页(共21页)故选:C(点评:本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法(3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 18考点:程序框图(专题:图表型;算法和程序框图(分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S的值，当i=8时满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(解答:解:模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i,5，i=4，S=14不满足条件i,5，i=8，S=6满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(故选:B(点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的第6页(共21页)关键，属于基础题(24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题:简易逻辑(分析:根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可( 解答:解:由“|x,2|,1”得1,x,3，2由x+x,2,0得x,1或x,,2，2即“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的充分不必要条件，故选:A(点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础(5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( )A( B( C( D( 3考点:与圆有关的比例线段(专题:选作题;推理和证明(分析:由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求NE即可( 解答:解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，?2×4=AM•2AM，?AM=2，?MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，?3×NE=4×2，?NE=(故选:A(点评: 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础(6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( )第7页(共21页)A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1考点:双曲线的标准方程(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程(解答: 解:由题意，=，22?抛物线y=4x的准线方程为x=,，双曲线的一个焦点在抛物线y=4x的准线上，?c=，222?a+b=c=7，?a=2，b=，?双曲线的方程为(故选:D(点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题(,|xm|7((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a考点:函数单调性的性质(专题:函数的性质及应用(|x|分析: 根据f(x)为偶函数便可求出m=0，从而f(x)=2,1，这样便知道f(x)在[0，+?)上单调递增，根据(fx)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+?)上:a=f(|log3|)，0.5b=f(log5)，c=f(0)，然后再比较自变量的值，根据f(x)在[0，+?)上的单调性2即可比较出a，b，c的大小(解答:解: ?f(x)为偶函数;?f(,x)=f(x); ,,,|xm||xm|?2,1=2,1;?|,x,m|=|x,m|;22(,x,m)=(x,m);?mx=0;?m=0;|x|?f(x)=2,1;第8页(共21页)?f(x)在[0，+?)上单调递增，并且a=f(|log3|)=f(log3)，b=f(log5)，c=f0.522(0);?0,log3,log5; 22?c,a,b(故选:C(点评:考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+?)上，根据单调性去比较函数值大小(对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用(8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，其中b?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)考点:根的存在性及根的个数判断(专题:函数的性质及应用(分析:求出函数 y=f(x),g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2,x)，作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可(解答: 解:?g(x)=b,f(2,x)，?y=f(x),g(x)=f(x),b+f(2,x)，由f(x),b+f(2,x)=0，得f(x)+f(2,x)=b，设h(x)=f(x)+f(2,x)，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若0?x?2，则,2?x?0，0?2,x?2，则h(x)=f(x)+f(2,x)=2,x+2,|2,x|=2,x+2,2+x=2，若x,2，,x,0，2,x,0，22则h(x)=f(x)+f(2,x)=(x,2)+2,|2,x|=x,5x+8(即h(x)=，作出函数h(x)的图象如图:22当x?0时，h(x)=2+x+x=(x+)+?，22当x,2时，h(x)=x,5x+8=(x,)+?，故当b=时，h(x)=b，有两个交点，当b=2时，h(x)=b，有无数个交点，第9页(共21页)由图象知要使函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，即h(x)=b恰有4个根，则满足,b,2，故选:D(点评:本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键(二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 ,2 (考点: 复数的基本概念(专题:数系的扩充和复数(分析:由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0且虚部不等于0求得a的值( 解答:解:由( 1,2i)(a+i)=(a+2)+(1,2a)i为纯虚数，得，解得:a=,2(故答案为:,2(点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题(10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为3 m(第10页(共21页)考点:由三视图求面积、体积(专题:计算题;空间位置关系与距离(分析:根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积(解答:解:根据几何体的三视图，得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1;?该几何体的体积为22V=2×π•1×1+π•1•2 几何体=π(故答案为:π(点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目(211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (考点:定积分在求面积中的应用(专题:计算题;导数的概念及应用(分析:先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 解答:解: 先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0211而?(x,x)dx=()|=,= 00?曲边梯形的面积是(故答案为:(第11页(共21页)点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数(6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (考点:二项式定理的应用(专题:计算题;二项式定理(2分析: 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x的系数( 解答: ,66rrr6解:(x,)的展开式的通项公式为T=•(x)•(,)=(,)••xr+1,2r，2令6,2r=2，解得r=2，?展开式中x的系数为×=，故答案为:(点评:本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题(13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 8 (考点: 余弦定理(专题:解三角形(分析: 由cosA=,，A?(0，π)，可得sinA=(利用S==，?ABC222化为bc=24，又b,c=2，解得b，c(由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA即可得出( 解答: 解:?A?(0，π)，?sinA==(?S==bc=，化为bc=24， ?ABC又b,c=2，解得b=6，c=4(第12页(共21页)222由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA=36+16,48×=64(解得a=8(故答案为:8(点评:本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (考平面向量数量积的运算(点:专平面向量及应用(题:分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析:形式求最值(解解:由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=()•()=()答:•()==2×1×cos60?+λ1×1×cos60?+×2×1+×1×1×cos120?=1++,?+=(当且仅当时等号成立);故答案为:(点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值(三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值( 专题:三角函数的求值(分析: (?)由三角函数公式化简可得f(x)=,sin(2x,)，由周期公式可得;(?)由x?[,，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值(第13页(共21页)解答: 22解:(?)化简可得f(x)=sinx,sin(x,)=(1,cos2x),[1,cos(2x,)]=(1,cos2x,1+cos2x+sin2x)=(,cos2x+sin2x)=sin(2x,)?f(x)的最小正周期T==π;(?)?x?[,，]，?2x,?[,，]，?sin(2x,)?[,1，]，?sin(2x,)?[,，]，?f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值分别为，, 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:( ?)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望(解答:解:(?)由已知，有P(A)=，?事件A发生的概率为;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4(P(X=k)=(k=1，2，3，4)(?随机变量X的分布列为:P 1 2 3 4第14页(共21页)X随机变量X的数学期望E(X)=( 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角( 专题:空间位置关系与距离;空间角(分析: (?)以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平1面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论;(?)通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关11系即得结论;(?)通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可(解答: (?)证明:如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z1轴建系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，,2，0)，A(0，0，2)，B(0，1，2)，C(2，0，2)，D(1，,2，2)， 1111又?M、N分别为BC、DD的中点，?M(1，，1)，N(1，,2，1)( 11由题可知:=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，=(0，,，0)，?•=0，MN?平面ABCD，?MN?平面ABCD;第15页(共21页)(?)解:由(I)可知:=(1，,2，2)，=(2，0，0)，=(0，1，2)，设=(x，y，z)是平面ACD的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，1，1)，设=(x，y，z)是平面ACB的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，,2，1)，?cos,，,==,，?sin,，,==，?二面角D,AC,B的正弦值为; 11(?)解:由题意可设=λ，其中λ?[0，1]， ?E=(0，λ，2)，=(,1，λ+2，1)，又?=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，?cos,，,===，2整理，得λ+4λ,3=0，解得λ=,2或,2,(舍)， ?线段AE的长为,2( 1第16页(共21页)点评:本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn考点:数列的求和(专题:等差数列与等比数列(分析: (1)通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，n+2n12354233445计算即可;*(2)通过(1)知b=，n?N，写出数列{b}的前n项和T、2T的表达式，nnnn 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可(*解答: 解:(1)?a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，a=2， n+2n122?a=q，a=q，a=2q， 354又?a+a，a+a，a+a成等差数列，2334452?2×3q=2+3q+q，2即q,3q+2=0，解得q=2或q=1(舍)，?a=; n*(2)由(1)知b===，n?N， n记数列{b}的前n项和为T， nn则T=1+2•+3•+4•+…+(n,1)•+n•， n?2T=2+2+3•+4•+5•+…+(n,1)•+n•， n两式相减，得T=3++++…+,n• n=3+,n•=3+1,,n•=4,(第17页(共21页)点评:本题考查求数列的通项与前 n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题(19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程(专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 2222(?)通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k(x+c)，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论;(?)通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M(c，c)，利用|FM|=计算即可;(?)设动点P的坐标为(x，y)，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x?(,，,1)与x?(,1，0)两种情况讨论即可结论(解答:解:(?)?离心率为，?==，222222?2a=3b，?a=3c，b=2c，设直线FM的斜率为k(k,0)，则直线FM的方程为y=k(x+c)，22?直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，?圆心(0，0)到直线FM的距离d=，22?d+=，即()+=，解得k=，即直线FM的斜率为;(?)由(I)得椭圆方程为:+=1，直线FM的方程为y=(x+c)，第18页(共21页)22联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx,5c=0，解得x=,c，或x=c， ?点M 在第一象限，?M(c，c)，?|FM|=，?=，2222解得c=1，?a=3c=3，b=2c=2，即椭圆的方程为+=1;(?)设动点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，?F(,1，0)，?t=，即y=t(x+1)(x?,1)，222联立方程组，消去y并整理，得2x+3t(x+1)=6，又?直线FP的斜率大于，?,，解得,,x,,1，或,1,x,0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x?0)，2联立方程组，消去y并整理，得m=,(?当x?(,，,1)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=，?m?(，);?当x?(,1，0)时，有y=t(x+1),0，因此m,0，?m=,，?m?(,?，,);综上所述，直线OP的斜率的取值范围是:(,?，,)?(，)(点评:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;第19页(共21页)(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题:压轴题;导数的概念及应用;导数的综合应用(n分析: (?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性(2(?)设点P的坐标为(x，0)，则可求x=n，f′(x)=n,n，可求g(x)000,n1=f′(x)(x,x)，F′(x)=f′(x),f′(x)(由f′(x)=,nx+n在(0，000+?)上单调递减，可求F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减，00即可得证((?)设x?x，设方程g(x)=a的根为，由(?)可得x?(设曲线y=f(x)122在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，设方程h(x)=a的根为，可,n1n得,x，从而可得:x,x,,=，由n?2，即2=(1+1)121,1?1+=1+n,1=n，推得:2=x，即可得证( 0解答: (本题满分为14分),,nn1n1•解:(?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)=n,nx=n(1,x)，其中n?N，且n?2( 下面分两种情况讨论:(1)当n为奇数时，令f′(x)=0，解得x=1，或x=,1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表:(,?，,1) (,1，1) (1，+?) xf′(x) , , +f(x)所以，f(x)在 (,?，,1)，(1，+?)上单调递减，在(,1，1)单调递增( (2)当n为偶数时，当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递增;当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递减;所以，f(x)在(,?，1)单调递增，在(1，+?)上单调递减;2(?)证明:设点P的坐标为(x，0)，则x=n，f′(x)=n,n， 000曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x)(x,x)，即g(x)=f′(x)(x000,x)， 0令F(x)=f(x),g(x)，即F(x)=f(x),f′(x)(x,x)，则F′(x)=f′00(x),f′(x)( 0第20页(共21页),n1由于f′(x)=,nx+n在(0，+?)上单调递减，故F′(x)在(0，+?)上单调递减，又因为F′(x)=0，所以当x?(0，x)时，F′(x),0，当x?(x，+?)时，000F′(x),0，所以F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减， 00所以对应任意的正实数x，都有F(x)?F(x)=0， 0即对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)((?)证明:不妨设x?x， 122由(?)知(gx)=(n,n)(x,x)，设方程(gx)=a的根为，可得=，0由(?)知g(x)?f(x)=a=g()，可得x?( 222类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x?n(0，+?)，f(x),h(x)=,x,0，即对于任意的x?(0，+?)，f(x),h(x)，设方程h(x)=a的根为，可得=，因为h(x)=nx在(,?，+?)上单调递增，且h()=a=f(x),h(x)，因此,x， 111由此可得:x,x,,=， 21,,n1n1因为n?2，所以2=(1+1)?1+=1+n,1=n，故:2=x( 0所以:|x,x|,+2( 21点评:本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力(第21页(共21页)。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =，所以{2,5}UAB=，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值． 【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图． 4.【答案】A【解析】|2|12113x x x -<⇔-<-<⇔<<1；AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =，23CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE418【解析】19DF DC λ=，ABC ∠，12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-== AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC ABBC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1818λλ117218λλ+=时，AE AF 有最小值，最小值为（Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， 平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设1(,n x y =11100n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即，可得1(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面21200n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 又1(0,1,2)AB =，可得2(0,n =-12121210,10||||n n n n n n ==-123,10n n =， 10（Ⅲ）依题意，可设111AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-72λ=-，法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设111AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为122n n -⎧⎪，为奇数22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =的斜率为(0)k k >，则直线22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝23c ，2b =12 / 12。
2015年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．03．（5分）某程序框图如图所示，则输出的结果S＝（）A．26B．57C．120D．2474．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．35．（5分）下列说法正确的是个数为（）①a＝1是直线x﹣ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直的充要条件②直线x＝是函数的图象的一条对称轴③已知直线l：x+y+2＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝2，则圆心C到直线l的距离是2④若命题P：“存在x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”，则命题P的否定：“任意x∈R，x2﹣x﹣1≤0”A．1B．2C．3D．46．（5分）已知双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．17．（5分）在R上定义运算⊕：x⊗y＝x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）8．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）9．（5分）一支田径队有男运动员56 人，女运动员42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为人．10．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．（5分）如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是．12．（5分）函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny ﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为．13．（5分）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：ρ＝2的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为．14．（5分）在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝（sin2x﹣cos2x）+2sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）设x∈[﹣，]，求f（x）的值域和单调递增区间．16．（13分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．17．（13分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项的和为S n，且对任意的n∈N ∗，都有2S n＝a n2+a n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b1＝1，2b n+1﹣b n＝0，（n∈N∗）．若c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．20．（14分）设F1，F2分别是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|＝8，△PF1F2的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求•的最大值和最小值；（Ⅲ）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|＝|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．2015年天津市河东区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵＝＝﹣i∴复数在复平面对应的点的坐标是（，﹣）∴它对应的点在第四象限，故选：D．2．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．1C．3D．0【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z＝F（x，y）＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值＝F（1，0）＝1∴z最大值故选：B．3．（5分）某程序框图如图所示，则输出的结果S＝（）A．26B．57C．120D．247【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环k S循环前/1 1第一圈是 2 4第二圈是 3 11第三圈是 4 26第四圈是 5 57第五圈否故选：B．4．（5分）函数f（x）＝|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+∞）内的零点即是方程|x﹣2|﹣lnx＝0的根．令y1＝|x﹣2|，y2＝lnx（x＞0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点．故选：C．5．（5分）下列说法正确的是个数为（）①a＝1是直线x﹣ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直的充要条件②直线x＝是函数的图象的一条对称轴③已知直线l：x+y+2＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+1）2＝2，则圆心C到直线l的距离是2④若命题P：“存在x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”，则命题P的否定：“任意x∈R，x2﹣x﹣1≤0”A．1B．2C．3D．4【解答】解：①a＝±1是直线x﹣ay＝0与直线x+ay＝0互相垂直的充要条件，因此是假命题；②∵＝0≠±1，因此直线x＝不是函数的图象的一条对称轴，是假命题；③圆心C（﹣1，1）到直线l的距离＝＝，因此是假命题；④若命题P：“存在x0∈R，x02﹣x0﹣1＞0”，则命题P的否定：“任意x∈R，x2﹣x﹣1≤0”，是真命题．因此只有：④正确．故选：A．6．（5分）已知双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x，则以它的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A．B．C．D．1【解答】解：∵双曲线的方程是＝1，∴它的渐近线方程为由此可得＝，可得b＝，c＝＝2a设所求椭圆的方程为（a1＞b1＞0）∵椭圆的顶点为双曲线的焦点，焦点为双曲线的顶点∴a1＝c＝2a，且椭圆的半焦距c1＝a因此，该椭圆的离心率e＝＝＝故选：A．7．（5分）在R上定义运算⊕：x⊗y＝x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）【解答】解：∵x⊗y＝x（1﹣y），∴（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，a（x﹣2）≤x2﹣x+2，∵任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，∴a≤．令f（x）＝，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＞2而f（x）＝＝＝（x﹣2）++3≥2+3＝7，当且仅当x＝4时，取最小值．∴a≤7．故选：C．8．（5分）若直角坐标平面内A、B两点满足条件：①点A、B都在f（x）的图象上；②点A、B关于原点对称，则对称点对（A，B）是函数的一个“姊妹点对”（点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“姊妹点对”）．已知函数f（x）＝，则f（x）的“姊妹点对”有（）个．A．1B．2C．3D．4【解答】解：设P（x，y）（x＜0），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），于是，化为2e x+x2+2x＝0，令φ（x）＝2e x+x2+2x，下面证明方程φ（x）＝0有两解．由x2+2x≤0，解得﹣2≤x≤0，而＞0（x≥0），∴只要考虑x∈[﹣2，0]即可．求导φ′（x）＝2e x+2x+2，令g（x）＝2e x+2x+2，则g′（x）＝2e x+2＞0，∴φ′（x）在区间[﹣2，0]上单调递增，而φ′（﹣2）＝2e﹣2﹣4+2＜0，φ′（﹣1）＝2e﹣1＞0，∴φ（x）在区间（﹣2，0）上只存在一个极值点x0．而φ（﹣2）＝2e﹣2＞0，φ（﹣1）＝2e﹣1﹣1＜0，φ（0）＝2＞0，∴函数φ（x）在区间（﹣2，﹣1），（﹣1，0）分别各有一个零点．也就是说f（x）的“姊妹点对”有两个．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡横线上.）9．（5分）一支田径队有男运动员56 人，女运动员42 人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为12人．【解答】解：用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则样本中女运动员的人数为＝12，故答案为：1210．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为108+3π．【解答】解：由该几何体的三视图可知，该几何体是简单的组合体，上面、下面是相同的长方体：高为1.5、底面为边长6的正方形，中间是一个圆柱：高为3，底面半径为1，所以该几何体的体积V＝2×6×6×1.5+π×12×3＝108+3π，故答案为：108+3π．11．（5分）如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，AD⊥CE于D，若AD＝1，∠ABC＝30°，则圆O的面积是4π．【解答】解：∵CD是圆O的切线，∴∠ABC＝∠ACD＝30°，∴在直角三角形ACD中，AD＝1，∴AC＝2，∴在直角三角形ABC中，AC＝2，∴AB＝4，∴圆的半径是2，从而圆的面积是4π．故答案为：4π．12．（5分）函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny ﹣1＝0（mn＞0）上，则的最小值为4．【解答】解：∵函数y＝a1﹣x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，∴A（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1＝0上（mn＞0），∴m+n＝1（mn＞0），∴＝（m+n）（）＝2+≥2+2＝4，当且仅当m＝n＝时取等号，∴m＝n＝时，的最小值为4．故答案为：4．13．（5分）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：ρ＝2的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）＝．【解答】解：圆ρ＝2方程转化成直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．则：圆心坐标为C（1，1），由于所求的直线与直线OC垂直，所以：k＝﹣1则：所求的直线方程为：y﹣1＝﹣（x﹣1）．即：x+y﹣2＝0．转化成极坐标方程为：ρcosθ+ρsinθ﹣2＝0．化简得：ρsin（θ+）＝．故答案为：ρsin（θ+）＝．14．（5分）在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．【解答】解：选定基向量，，由图及题意得＝﹣，＝+＝+，则•＝（﹣）•（+）＝+﹣＝＝﹣．故答案为：．三、解答题：（本大题6个题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝（sin2x﹣cos2x）+2sin x cos x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）设x∈[﹣，]，求f（x）的值域和单调递增区间．【解答】解：（Ⅰ）∵＝…（3分），∴ω＝2，∴f（x）的最小正周期为π．…（5分）（Ⅱ）∵，∴，∴．∴f（x）的值域为．…（8分）当递增时，，即．故f（x）的递增区间为．…（12分）16．（13分）甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为m，n（m＞n），且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求至少有一位学生做对该题的概率；（2）求m，n的值；（3）求ξ的数学期望．【解答】解：设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意知，．（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ＝0”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是．（2）由题意知，，整理得mn＝，．由m＞n，解得，．（3）由题意知＝，b＝P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝3）＝，∴ξ的数学期望为Eξ＝＝．17．（13分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D丄平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵正△ABC的边长为3，且＝＝∴AD＝1，AE＝2，△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE＝＝∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D丄平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED所以A1D丄PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠P A1H是直线P A1与平面A1BD所成的角，即∠P A1H＝60°设PB＝x（0≤x≤3），则BH＝PB cos60°＝，PH＝PB sin60°＝x在Rt△P A1H中，∠P A1H＝60°，所以A1H＝，在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2﹣x由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2﹣x）2＝（x）2解之得x＝，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线P A1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB ＝．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项的和为S n，且对任意的n∈N ∗，都有2S n＝a n2+a n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b1＝1，2b n+1﹣b n＝0，（n∈N∗）．若c n＝a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，由2a1＝2S1＝，a1＞0，得a1＝1，当n≥2时，由2a n＝2S n﹣2S n＝（+a n）﹣（），﹣1得（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣1）＝0，因为a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1＝1，故a n＝1+（n﹣1）×1＝n；（2）由b1＝1，，得b n＝，则c n＝n，因为T n＝，所以，两式相减，得＝﹣＝2﹣（n+2），所以T n＝4﹣（n+2）．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）当a＝﹣1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当时，讨论f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a＝﹣1时，f（x）＝lnx+x+﹣1，x∈（0，+∞），所以f′（x）＝+1﹣，因此，f′（2）＝1，即曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为1，又f（2）＝ln2+2，y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣（ln2+2）＝x ﹣2，所以曲线，即x﹣y+ln2＝0；（Ⅱ）因为，所以＝，x∈（0，+∞），令g（x）＝ax2﹣x+1﹣a，x∈（0，+∞），（1）当a＝0时，g（x）＝﹣x+1，x∈（0，+∞），所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；（2）当a≠0时，由g（x）＝0，即ax2﹣x+1﹣a＝0，解得x1＝1，x2＝﹣1．①当a＝时，x1＝x2，g（x）≥0恒成立，此时f′（x）≤0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当0＜a＜时，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，x∈（1，﹣1）时，g（x）＜0，此时f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，x∈（﹣1，+∞）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；③当a＜0时，由于﹣1＜0，x∈（0，1）时，g（x）＞0，此时f′（x）＜0函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，g（x）＜0此时函数f′（x）＞0函数f（x）单调递增．综上所述：当a≤0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，+∞）上单调递增当a＝时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减当0＜a＜时，函数f（x）在（0，1）上单调递减；函数f（x）在（1，﹣1）上单调递增；函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．20．（14分）设F1，F2分别是椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，满足|PF1|+|PF2|＝8，△PF1F2的周长为12．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求•的最大值和最小值；（Ⅲ）已知点A（8，0），B（2，0），是否存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|＝|BD|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题设，2a＝8，2a+2c＝12，∴a＝4，c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝12，∴椭圆的方程为；（2）由（1）知F1（﹣2，0），F2（2，0），设P（x，y），则＝（﹣2﹣x，﹣y）•（2﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣4＝∵x∈[﹣4，4]，∴x2∈[0，16]，∴当且仅当点P为短轴端点时，有最小值8；点P为长轴端点时，有最大值12．（3）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆无交点，所以直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y＝k（x﹣8）由方程组，消元得（4k2+3）x2﹣64k2x+16（16k2﹣3）＝0∵过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，∴△＝642k4﹣64（4k2+3）（16k2﹣3）＞0∴设交点C（x1，y1），D（x2，y2），CD的中点为T（x0，y0）∴x1+x2＝，，∴T（）∵|BC|＝|BD|，∴BT⊥CD∵∴，方程无解∴不存在过点A的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得|BC|＝|BD|．。
2015年高考天津卷 数学（理工类）第Ⅰ卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.(15天津高考)已知全集U ={}1,2,3,4,5,6,7,8,集合{}2,3,5,6A =,集合{}1,3,4,6,7B =,则集合U A B = ð（ ）A.{}25，B.{}36，C.{}256，，D.{}2,3,5,6,8 【参考答案】A【测量目标】集合运算.【试题分析】{}2,5,8U B =ð，所以U A B = ð{}2,5，故选A. 2. (15天津高考)设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-≤⎩≥≥，则目标函数6z x y =+的最大值为 （ ）A.3B.4C.18D.40 【参考答案】C【测量目标】线性规划的最值求解问题.【试题分析】不等式组2030230x x y x y +⎧⎪-+⎨⎪+-≤⎩≥≥所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点()0,3B 时，z 有最大值18.第2题图3. (15天津高考)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S 的值为 ( )第3题图A.-10B.6C.14D.18 【参考答案】B【测量目标】程序框图.【试题分析】模拟法：输入20,1S i ==；21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立； 248,1486,85i S =⨯==-=>成立；输出6，故选B. 4. (15天津高考)设x ∈R ,则“2x -<1”是“220x x +->”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【参考答案】A【测量目标】充分条件与必要条件.【试题分析】212113x x x -⇔-<-<⇔<<<1；220x x +->2x ⇔<-或1x >； 所以“2x -<1”是“220x x +->”的充分不必要条件，故选A.5. (15天津高考)如图，在圆O 中，,M N 是弦,A B 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN ===,则线段NE 的长为 （ ）第5题图A.83 B.3 C.103 D.52【参考答案】A【测量目标】相交弦定理.【试题分析】 由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅,又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB ⋅=⋅,所以CN NE CM MD ⋅=⋅,所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===,故选A.6. (15天津高考)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(2，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为 （ ）A.2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 【参考答案】D【测量目标】双曲线和抛物线的标准方程及几何性质.【试题分析】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于点(2在渐近线上，所以b a =，双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线方程x =-所以c =，又2227a b c +==，由此可解得2,a b ==，所以双曲线方程为22143x y -=，故选D. 7. (15天津高考)已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-(m 为实数)为偶函数，记()0.5log 3,a f =()2log 5,b f =()2c f m =,则a ，b ，c 的大小关系为 （ ）A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a 【参考答案】C【测量目标】函数的奇偶性以及指数式、对数式的运算. 【试题分析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数，所以0m =,即()21xf x =-，所以()0.5log 3a f ==221log log 3321log 21212,3f ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭()2log 52log 5214,b f ==-=()()020210.c f m f ===-=所以c a b <<，故选C.8. (15天津高考)已知函数()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，函数()()2g x b f x =--，其中b ∈R ，若函数()()y f x g x =-恰有四个零点，则b 的取值范围是 （ ）A.7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.70,4⎛⎫⎪⎝⎭ D. 7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【参考答案】D【测量目标】求解函数解析式，函数与方程的关系，数形结合的应用.【试题分析】由()()22,22,2x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩≤，得()222,02,0x x f x x x ⎧--≥⎪-=⎨<⎪⎩，所以()()2y f x f x b =+--()222,042,02222,2x x b x x x b x x x b x ⎧-+-<⎪⎪=----⎨⎪--+-->⎪⎩≤≤， 即()()2y f x f x b =+--222,02,0258,2x x b x b x x x b x ⎧++-<⎪=-⎨⎪-+->⎩≤≤，所以()()y f x g x =-恰有四个零点等价于方程()()20f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()()2y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知724b <<.第8题图第Ⅱ卷注意事项：1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2、本卷共12小题，共计110分.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. (15天津高考)i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为________. 【参考答案】2-【测量目标】复数的相关定义以及复数运算.【试题分析】()()12i i a -+()212i a a =++-是纯虚数，所以20a +=，即a 2=-. 10. (15天津高考)一个几何体的三视图如下图所示，（单位：m ）,则该几何体的体积为_______3m .第10题图【参考答案】8π3【测量目标】三视图和旋转体体积的计算.【试题分析】由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是地面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积为22181π221π1π33V =⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=. 11. (15天津高考)曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为_____________.【参考答案】16【测量目标】定积分的几何意义.【试题分析】两曲线的交点坐标为()()0,0,1,1，所以它们所围成的封闭图形的面积()120d S x x x =-⎰2311110236x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.12. (15天津高考)在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为__________.【参考答案】1516【测量目标】二项式定理及二项展开式的通项.【试题分析】614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为66216611C C 44rrr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115C 416T x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,所以该项系数为1516.13. (15天津高考)在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知△ABC的面积为12,cos 4b c A -==-，则a 的值为____________.【参考答案】8【测量目标】同角三角函数关系，三角形面积公式，余弦定理的应用. 【试题分析】因为0πA <<,所以sin 4A ==,又1sin 2ABC S bc A =△8==24bc =，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =. 14. (15天津高考)在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥,2,1,AB BC ==60ABC ∠=,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ== ，则AE AF ⋅的最小值为_________. 【参考答案】2918【测量目标】向量的几何运算，向量的数量积，基本不等式. 【试题分析】19DF DC λ= ，160,2ABC DC AB ∠==，CF DF DC=- 19DC DC λ=-= 1919918DC AB λλλλ--=，,AE AB BE AB BC λ=+=+AF AB BC CF =++ 1918AB BC AB λλ-=++ 1918AB BC λλ+=+， ()AE AF AB BC λ⋅=+⋅ 1918AB BC λλ+⎛⎫+ ⎪⎝⎭21918AB λλ+=+219118BC AB BCλλλλ+⎛⎫++⋅ ⎪⎝⎭ 19418λλλ+=⨯+19121cos12018λλλ+++⨯⨯⨯ 21179218λλ=++17291818=≥当且仅当2192λλ=即2=3λ时，AE AF ⋅ 有最小值，最小值为2918.第14题图三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、正面过程或演算步骤.） 15. (15天津高考)（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，x ∈R . (1)求()f x 的最小正周期； (2)求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【测量目标】(1)三角函数的周期；(2)正弦函数与余弦函数的图象与性质.【试题分析】（1）由已知，有()f x =π1cos 21cos 2322x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-=111cos 2cos 222222x x x ⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期2π2ππ2T ω===. (2) (15天津高考)因为()f x 在区间ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，又π1,34f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π1,62f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭π44f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为，最小值为12-.16. (15天津高考)（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（1）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.【测量目标】(1)古典概型和互斥事件的定义；(2)离散型随机变量的分布列与数学期望. 【试题分析】（1）由已知，有()2222233348C C C C 6C 35P A +==,所以事件A 发生的概率为635. 2）随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4()()45348C C 1,2,3,4C k kP X k k -=== 所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 17. (15天津高考)（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中,侧棱1AA ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥,1AB =,12AC AA ==,AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：MN ∥平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.第17题图【测量目标】(1)直线和平面平行和垂直的判定与性质；(2)二面角、直线与平面所成的角的求法；(3)空间向量的应用.【试题分析】（1）证明：依题意，可得()0,0,1=n 为平面A B C D 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，由此可得，0MN ⋅= n ，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .（2）()11,2,2,AD =- ()2,0,0AC =，设()1,,x y z =n 为平面1ACD 的法向量，则1110AD AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得()10,1,1=n ，设()2,,x y z =n 为平面1ACB 的一个法向量，则2120AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，又()10,1,2AB = ，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得()20,2,1=-n ，因此有121212cos ,10⋅==-⋅n n n n n n ，于是12sin ,10=n n ，所以二面角11D AC B --的正弦值为10. （3）依题意，可设111AE A B λ= ，其中[]0,1λ∈，则()0,,2E λ，从而()1,2,1NE λ=-+，又()0,0,1=n 为平面ABCD 的一个法向量，由已知得cos ,NE NE NE ⋅=⋅nn n13==，整理得2430λλ+-=，又因为[]01λ∈，，解得2λ=，所以线段1A E2.第17题图18. (15天津高考)（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2n n a qa +=（q 为实数，且1q ≠），n *∈N ,121,2a a ==，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.（1）求q 的值和{}n a 的通项公式； （2）设2221log ,nn n a b n a *-=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和.【测量目标】(1)数列的通项公式；(2)等比数列及前n 项和公式，错位相减法.【试题分析】（1）由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以()()2311a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当()21n k n *=-∈N 时，1122122n k nk aa ---===，当()2n k n *=∈N时，2222nknk aa ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数.（2）由（1）得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则01211111123,2222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯ 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得231111*********n n n n S -=+++++- (1)1222122212n n n n n n -=-=---， 整理得1242n n n S -+=-.所以数列{}n b 的前n 项和为1242n n -+-，n *∈N .19. (15天津高考)（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(),0F c -M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆2224b x y +=截得的线段的长为c,FM =. （1）求直线FM 的斜率； （2）求椭圆的方程；（3）设动点P 在椭圆上，若直线FPOP （O 为原点）的斜率的取值范围.【测量目标】(1) 直线的斜率；(2)椭圆的标准方程和几何性质；(3)直线和圆的位置关系；一元二次不等式.【试题分析】（1）由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为k （0k >），则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =. （2）由（1）得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M的坐标为c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y +=. （3）设点P 的坐标为(),x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即()()11y t x x =+≠-，与椭圆方程联立得()221132y t x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得()2222316x tx ++=，又由已知得t =>312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得ym x=，即()0y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有()10y t x =+<，因此0m >，于是m =，得33m ⎛∈ ⎝⎭.②当()1,0x ∈-时，有()10y t x =+>，因此0m <，于是m =，得,m ⎛∈-∞ ⎝⎭. 综上，直线OP的斜率的取值范围是,333⎛⎛-∞- ⎝⎭⎝⎭. 20. (15天津高考)（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x =-∈R ，其中n *∈N ，2n ≥.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =，求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（3）若关于x 的方程()f x a =（a 为实数）有两个正实根12,x x ，求证：2121ax x n-<+-. 【测量目标】(1)利用导数研究函数的单调性；(2)导数的几何意义,利用导数研究函数性质、证明不等式.【试题分析】（1）由题知()nf x nx x =-，其中n *∈N ，2n ≥，下面分两种情况讨论： ①当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 在()1-∞-，，()1+∞，上单调递减，在()11-，内单调递增.②当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在()1-∞，上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减. （2）证明：设点P 的坐标为()0,0x ，则110n x n-=，()20f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=-，即()()()00g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()()()()00F x f x f x x x '=--，则()()()0F x f x f x '''=-.由于()1n f x nx n -'=-+在()+∞0，上单调递减，故()F x '在()+∞0，上单调递减，又因为()00F x '=，所以当()00,x x ∈时，()00F x '>.当()0x x ∈+∞，时，()00F x '<，所以()F x 在()00,x 内单调递增，在()0x +∞，上单调递减，所以对任意的正实数x 都有()()00F x F x ≤=，即证.（3）证明：不妨设12x x ≤，由（2）知()()()2g x n nx x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202ax x n n '=+-，当2n ≥时，()g x 在()∞+∞-，上单调递减，又由（2）知()()()222g x f x ag x '==≥，可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当()x ∈+∞0，，()()0n f x h x x -=-<，即对任意的()x ∈+∞0，，()()f x h x <.设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在()∞+∞-，上单调递增，且()()()111h x a f x h x '==<，因此11x x '<.由此可得212101ax x x x x n''-<-=+-. 因为2n ≥，所以()11211n n --=+≥111C 11n n n -+=+-=，故1102n n x -=≥，所以2121ax x n-<+-.。
天津市五区县2015年高三质量调查试卷（一）数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题:1-4 ACBD 5-8 ADBC 二、填空题:9.3 10. 83 11. 6043 12. 3 13. 14. 5(1,)4三、解答题:15.（本小题满分13分） 解:（I）)62sin(2cos 212sin 2321cos cos sin 3)(2π-=-=+-=x x x x x x x f …………4分 由226222πππππ+≤-≤-k x k 得36ππππ+≤≤-k x k ，所以函数)(x f 的单调递增区间为]3,6[ππππ+-k k （k ∈Z ）………………6分（Ⅱ）函数)(x f 的图象上所有点的横坐标扩大到原来的二倍，再向右平移6π个单位，得)3sin()(π-=x x g ， ………………8分因为],0[π∈x 得：2,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以]1,23[)3sin(-∈-πx …………10分 所以当0=x 时，)3sin()(π-=x x g 有最小值23-， 当65π=x 时，)3sin()(π-=x x g 有最大值1. ………………13分 16.（本小题满分13分）解：（I ）总的事件空间所包含的基本事件数为2232424214C C C A +=,…………2分评委甲去A 班听课所包含的基本事件数为012333++=7C C C ， …………4分 设事件A 为评委甲去A 班听课，则71().142P A == …………6分 （II ）由题意ξ所有可能的值为1,2,3. …………7分142(=1)=147C P ξ=;243(=2)=147C P ξ=;342(=3)=147C P ξ=; …………10分 所以ξ的分布列为所以所求数学期望为=1+2+3=2777E ξ⨯⨯⨯. …………13分 17.（本小题满分13分）解：（I ）如图取AB 中点O ，连结DO ，SO ，则SO AB ⊥，……………1分 ，2DO CB ==，……………2分故222SD SO OD =+,SO OD ∴⊥，又因为ABOD O =,故SO ⊥平面ABCD ，SO ⊂平面SAB ，故平面SAB ⊥平面ABCD .……………4分（II ）由题意知四边形BCDO 为矩形，CD OD ⊥，因为//AB CD ，又SO AB ⊥，且OD AB ⊥，所以可建立如图空间直角坐标系O xyz -.则：(1,0,0)B ,(1,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,3),(A 所以DC ，AS =，(2,2,0)AC =,(0,2,0)BC =uu u r………6分设平面SBC 的法向量111(,,)x y z =m ，平面ASC 的法向量222(,,)x y z =n ，00SB BC ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩m m uu r uu u r，即 令11z =，于是又00AS AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n uu ruuu r，即 令21z =，于是分故二面角B SC A --的余弦值为分（III ）因为12SE ED =，所以12(0,,)333SE SD ==-，………10分(BE BS SE =+=-+2(0,,33-=2(1,,)33-，………11分设BE 与平面SBC 所成角为α，3sin cos ,BE m α==.………13分 18．（本小题满分12分）解：（I ）易知1(1,0)F -，因为MN 是2FP 的垂直平分线，所以2MP MF =，故1211MF MF MF MP F P +=+==；2(1,0)F ，则122F F =， 根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，且1a c ==，其方程为2212x y +=. ………5分 （II ）设1122(,),(,)F x y H x y ，将y kx =0k >）代入2212x y +=可得222(21)420k x k +++=，280k ∆=>，212122212k x x x x k +==+；………7分又2212121212(1))1OF OH x x y y k x x x x k ⋅=+=+++++，整理得22121k OF OH k +⋅=+， ………9分从而222133214k k +≤≤+，解得2112k≤≤，又0k >，则12k ≤≤.………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为对任意正整数n ，有4(21)1n n S n a =++，所以当1n =时，有111421a a a =++，解得11a =.………………………………2分 当2n ≥时，有()1112112144n n n n n n n n a a na a a S S ----++++=-=-， (4)分整理得12123n n a n a n --=-.………………………………………………………………7分所以1211212123312123251n n n n n a a a n n a a n a a a n n -----=⋅⋅=⋅⋅=---. ………………7分 当1n =时，11a =，符合21n a n =-，所以对任意正整数n ，有21n a n =-.……8分（Ⅱ）()()121212112n nn n b n n n ⎛⎫⎛⎫=-⋅=-⋅ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭.…………………………9分 即()()23111111135232122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()()23411111111352321222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减可得()231111111221222222nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()21111112222112212n n n ++⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+-- ⎪⎝⎭-()1312322n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭………………………………………………11分所以()13232nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.………………………………………………………12分()()1111251112325230222222n n n nn n n T T n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+-=+> ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以{}n T 为递增数列，所以当1n =时，n T 最小，最小值为12.所以132n T ≤<. ……………………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由()e axf x x =-得()e 1 axf x a ¢=-. ①当0a ≤时，()0f x '≤恒成立， ()f x 单调递减. ………………2分②当0a >时，由()0f x '=，得ln ax a=-. 令()0f x '<，得ln a x a <-，()f x 单调递减；令()0f x '>，得ln ax a>-，()f x 单调递增.综上：0a ≤时，函数()f x 的单调减区间为(,)-∞+∞，无单调增区间；0a >时，函数()f x 的单调减区间为ln (,)a a -∞-，单调增区间为ln (,)aa-+∞. ……………………4分（Ⅱ）若()0f x ≥恒成立,则e axx ³恒成立.因为e 0ax >，所以0x ≤时，不等式恒成立. ………………5分 当0x >时，e axx ³等价于ln ax x ≥，即ln xa x≥恒成立. 令ln ()x h x x =，则21ln ()xh x x-'=.令()0h x '=，得=e x . ………………7分 令()0h x '>，得0e x <<，()h x 单调递增；令()0h x '<，得e x >，()h x 单调递减. 所以=e x 时，max 1()(e)e h x h ==.所以1e a ≥. 即实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知1ea =时，e axx ³在0x >时恒成立， …………………10分 所以0x >时，ee xx ³恒成立，即ee xx ³. 所以1e2e 3e e e 1,e2,e 3,,e nn 吵吵，n *∈N . …………………12分各式左右两边分别相乘得123eeee e e e e 123nn 鬃鬃匙鬃?，n *∈N .所以123ee(123)nn ++++炒创?，所以(1)e 2e(!)n n n +³，即n *∈N 时，(1)e (!)n n n +≥. ……………………14分。
2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。
