初等数论练习题答案
信阳职业技术学院
2010年12月
初等数论练习题一
一、填空题
1、d(2420)=12; ϕ(2420)=_880_
2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.
3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.
4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。
5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。.
6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。
7、18100被172除的余数是_256。
8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。
二、计算题
1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。
解：因105 = 3⋅5⋅7，
同余方程3x 2
+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，
同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，
同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，
故原同余方程有4解。
作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，
其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，
由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。
2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？
11074217
271071107713231071107311072107
710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。
3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
解：易知1271≡50（mod 111）。
由502 ≡58（mod 111）, 503 ≡58×50≡14（mod 111），509≡143≡80（mod 111）知5028 ≡（509）3×50≡803×50≡803×50≡68×50≡70（mod 111）
从而5056 ≡16（mod 111）。
故（127156+34）28≡（16+34）28 ≡5028≡70（mod 111）
三、证明题
1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明：
（1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)；
（2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。
证明：由欧拉定理知a p-1≡1 (mod p)及(p-1)a ≡-1 (mod p)立得（1）和（2）成立。
2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n
2a ≡1(mod 2n+2)。 (1)
证明 设a = 2m + 1，当n = 1时，有
a 2 = (2m + 1)2 = 4m (m + 1) + 1 ≡ 1 (mod 23)，即原式成立。
设原式对于n = k 成立，则有
k a 2≡ 1 (mod 2k + 2) ⇒k a 2= 1 + q 2k + 2， 其中q ∈Z ，所以 12+k a = (1 + q 2k + 2)2 = 1 + q '2k + 3 ≡ 1 (mod 2k + 3)，
其中q '是某个整数。这说明式(1)当n = k + 1也成立。
由归纳法知原式对所有正整数n 成立。
3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k
p 1C - ≡ （-1 ）k (mod p )。
证明：设A=!
)()2(1C 1k k p p p k
p ---=- ）（ 得： k!·A =（p-1）(p-2)…（p-k ）≡（-1）(-2)…（-k ）(mod p )
又（k!，p ）=1，故A = k p 1
C - ≡ （-1 ）k (mod p ) 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。
说明：因为84=4×3×7，所以，只需证明：
p 6≡1(mod 4) p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7) 同时成立即可。
证明：因为84=4×3×7及p 是不等于3和7的奇质数，所以
（p ，4）=1，（p ，3）=1，（p ，7）=1。
由欧拉定理知：p ϕ(4)≡p 2≡1(mod 4)，从而 p 6≡1(mod 4)。
同理可证：p 6≡1(mod3) p 6≡1(mod 7)。 故有p 6≡1(mod 84)。
注：设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 168)。（见赵继源p86）
初等数论练习题二
一、填空题
1、d(1000)=_16_；σ(1000)=_2340_.
2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是199__.
3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n
22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=5。
4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是x ≡29(mod 31)___
5、分母不大于m 的既约真分数的个数为ϕ(2)+ ϕ(3)+…+ ϕ(m )。
6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=_6__.
7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__559__.
8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10146=_1__. 9、若p 是质数，n ∣p - 1，则同余方程x n ≡ 1 (mod p ) 的解数为n .
二、计算题
1、试求200420032002被19除所得的余数。
解：由2002≡7 (mod 19) 20022≡11(mod 19) 20023≡1 (mod 19)
又由20032004≡22004≡（22）1002≡1 (mod 3)可得：
200420032002≡20023n+1≡(20023)n ×2002≡7(mod 19)
2、解同余方程3x 14 + 4x 10 + 6x - 18 ≡ 0 (mod 5)。
解：由Fermat 定理，x 5 ≡ x (mod 5)，因此，原同余方程等价于2x 2 + x - 3 ≡ 0 (mod 5) 将x ≡ 0，±1，±2 (mod 5)分别代入上式进行验证，可知这个同余方程解是x ≡ 1 (mod 5)。
3、已知a=5，m=21,求使a x ≡ 1 (mod m)成立的最小自然数x 。
解：因为（5,21）=1，所以有欧拉定理知5ϕ(21)≡1(mod 21)。
又由于ϕ(21)=12，所以x |12，而12的所有正因数为1,2,3,4,6,12。
于是x 应为其中使 5 x ≡ 1 (mod 12)成立的最小数，经计算知：x=6。
