九年级下学期月考数学试卷(2)(3月份)【解析版】

2024-2025学年七年级上期数学第三次月考（湘教版2024）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：湘教版（2024）第3章一次方程(组)第1章占比15%，第2章占比15%。

第3章占比70%。

5．难度系数：0.68。

第一部分（选择题共30分）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．―2023的倒数是（）A．2023B．―2023C．―12023D．12023【解析】，的倒数是2．下列各式中，是一元一次方程的是（）A．2+3=3+2B．8y―9=9―yC．x2+2x+1=4D．x―y=0【答案】B【解析】A、2+3=3+2不是方程，不是一元一次方程，本选项不符合题意；B、8y―9=9―y是一元一次方程，本选项符合题意；C、x2+2x+1=4未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，本选项不符合题意；D、x―y=0有两个未知数，不是一元一次方程，本选项不符合题意；故选B．3．将(a―5)―(d―b+c)去括号等于（）A．a―5―d―b+c B．a―5―d+b+cC．a―5―d+b―c D．a―5+d+b―c【答案】C【解析】(a―5)―(d―b+c)=a―5―d+b―c；故选C．4．如图，这是一个计算机的运算程序，若一开始输入的x值为1，则输出的结果y是（）2A．1B．―1C．―3D．―5可得，5．王老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了如图所示的一个二次三项式，则所捂的多项式为（）A．x2―x―2B．―2x2―2x―2C．x2+4x―4D．―x2―2x+4【答案】C【解析】由图可得，所捂的多项式为：(x2+3x―1)―(―x+3)=x2+3x―1+x―3=x2+4x―4，故选C．6．在解方程x―12―2x+33=1时，去分母正确的是（）A．3(x―1)―2(2+3x)=1B．3(x―1)+2(2x+3)=1C．3(x―1)+2(2+3x)=6D．3(x―1)―2(2x+3)=6【答案】D【解析】去分母，得：3(x―1)―2(2x+3)=6，故选D．7．《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？若设有x人，y辆车，则可列方程组为（）A．3(y―2)=x2y+9=x B．3(y―2)=x2y―9=x C．3y―x=22y―x=9D．3y―x=22y―x=―9【答案】A【解析】根据题意得：3(y―2)=x2y+9=x，故选A．8．若关于x，y的方程组x=5mx+ny=2与y=2nx+my=―9有相同的解，则m+n的值为（）A．―1B．1C．―2D．2，可得9．若a―2b+3=0，则代数式8b―4a的值是（）A．8B．10C．12D．24【答案】C【解析】∵a―2b+3=0，∴2b―a=3，∴．故选C．10．下列说法中，错误的个数是（）①若|1a|=―1a，则a<0；②若|a|>|b|，则有(a+b)(a―b)是负数：③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是―2、6、x，若相邻两点的距离相等，则x=2；④若代数式2x+|9―3x|+|1―x|+2016的值与x无关，则该代数式值为2024；⑤若a+b+c=0，abc>0，则b+c|a|+a+c|b|+a+b|c|的值为A．1个B．2个C．3个D．4个第二部分（非选择题 共90分）二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。

2023-2024学年江苏省南京市联合体九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一元二次方程x2−6x−5=0配方可变形为( )A. (x−3)2=14B. (x−3)2=4C. (x+3)2=14D. (x+3)2=42.一元二次方程(x−5)2+1=0的根的情况是( )A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根3.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( )A. 6cmB. 9cmC. 12cmD. 18cm4.在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是( )A. ▵ACD的外心B. ▵ACD的内心C. ▵ABC的外心D. ▵ABC的内心5.已知⊙O的半径是1，弦AB=3，点C为⊙O上的一点(不与点A、B重合)，则∠ACB的度数为( )A. 60∘B. 30∘C. 60∘或120∘D. 30∘或150∘6.如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连结PD.已知PC=PD=BC.下列结论：(1)PD与⊙O相切；(2)四边形PCBD是菱形；(3)PO=AB；(4)∠PDB=120°.其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）7.方程x2=4的解是_____．8.已知⊙O的直径为10cm，圆心O到直线l的距离为10cm，直线l与⊙O的位置关系为______．9.若x=2是一元二次方程x2−mx+8=0的一个根，则m的值是______．10.某店8月份利润为16万元，要使10月份利润达到25万元，设月平均增长率为x，根据题意可列方程______．11.如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、AE是两条对角线，则∠CAE的度数为_________°．12.一元二次方程x2+3x−1=0的两个根分别是a和b，则(a−2)(b−2)=______．13.如图，点A、B、C、D在⊙O上，点B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.若∠ADC= 64∘，则∠AEC=______°．14.如图，在▵ABC中，AB=8，DE⊥AB于D，若▵ABC的外心O在线段DE上．∠BOC=120∘，则DE=______．15.如图，在直角坐标系中，点B(−7,0)，C(7,0)，AB−AC=2，则▵ABC的内切圆圆心M的横坐标为______．16.在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠A=n∘，点D在AB上，CD=1AB，若点D是AB的中点，则n的取值范围2是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。

上海市杨浦区2024－2025学年初三上学期六校联考12月月考数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列线段中，能成比例的是（ ）A. 3cm、6cm、8cm、9cmB. 3cm、5cm、6cm、9cmC. 3cm、6cm、7cm、9cmD. 3cm、6cm、9cm、18cm2. 在中，，如果，，那么的长是（ ）

A. 3B. C. D. 3. 在中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD：：3，那么下列条件中能够判断

的是（ ）A B. C. D. 4. 若将一个二次函数图象向下平移2个单位，再向左平移3个单位，所得函数解析式是，那么

这个函数解析式为（ ）A. B. C D. 5. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB＝

α，那么拉线BC的长度为（ ）

A. B. C. D. 6. 老师出示了小黑板上题后．小沁说：过点；小蓓说：过点；小卓说：；小茉说：抛物

线被x轴截得线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有（ ）已知抛物线与轴交于，试添加一个条件，使它的对称轴为直线．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个

.的

.

的

RtABC△90C2AC2cos3AAB

43513

ABCV1BD

//DEBC14DEBC14ADAB14AEAC14AEEC

212yx

21322yx21322yx

21322yx21322yx

sinhcoshtanhcot

h3,0

4,31a

23yaxbxx

1,02x二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 已知5a=4b，那么=_____．

8 计算：tan60°﹣cos30°=_____．

9. 如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____．

10. 如果在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是3厘米，那么、两地的实际距离

2024-2025学年九年级10月适应性练习数学学科一、单选题1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）和轴对称图形（在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合， 这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）的概念，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据轴对称图形和轴对称图形的概念判断即可．【详解】解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 错误；B ．是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；C ．是中心对称图形，也是轴对称图形，故C 正确；D ．中心对称图形，不是轴对称图形，故D 错误．故选：C ．2. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A. 21x y −=B. 223x x +=C. 2240x y −+=D. 2210x x −+=【答案】D【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，即可求解．【详解】解：A 、21x y −=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B 、223x x+=，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；是C 、2240x y −+=，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D 、2210x x −+=，是一元二次方程，故该选项符合题意；故选：D3. 如图，在O 中，60ABC ∠=°，则AOC ∠等于（ ）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理.同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，据此进行解答即可.【详解】解：∵60ABC ∠=°，∴2120AOC ABC ∠=∠=°故选：C4. 已知点()2,A m 和点(),1B n −关于原点对称，则m n +=（ ） A. 1B. 1−C. 3D. 4−【答案】B【解析】【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标以及代数式求值，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出m 与n 的值，然后代入式子计算即可．【详解】解：点()2,A m 和点(),1B n −关于原点对称，∴2n =−，1m =， ∴()121m n +=+−=−，故选：B ． 5. 抛物线22y x =−+的对称轴是（ ）A. 直线2x =B. 直线2x =−C. 直线x =D. y 轴【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可直接得出答案．【详解】解：根据二次函数的图象与性质可知：抛物线22y x =−+的对称轴是直线0x =，即y 轴，故选：D ．6. 将抛物线22y x =−先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为（ ）A. 22(4)5y x =−+−B. 22(4)5y x =−++C. 22(x 4)5y =---D. 22(4)5y x =−−+ 【答案】B【解析】【分析】此题考查了二次函数的平移.根据左加右减，上加下减的规律进行解答即可.【详解】解：将抛物线22y x =−先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到的函数表达式为22(4)5y x =−++，故选：B7. 某工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，设2022年至2024年该产品的年平均增长率为x ，根据题意列出方程为（ ）A. 2234(1)345x +=B. 2345(1)234x −=C. 2345(1)234x +=D. 2234(1)345x −=【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．根据工厂2022年全年某产品的产量为234万吨，预计2024年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．【详解】解：根据题意，得2234(1)345x +=，故选A ．8. 如图，在ABC 中，DE ∥BC ，1DE =，2BC =，则:ADE DECB S S △四边形的值是（ ）A. 14B. 15C. 25D. 13【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判断方法．先根据DE BC ∥证明ADE ∽ABC ，可得14ADE ABC S S = ，即可解答． 【详解】解：∵DE BC ∥，∴ADE B ∠=∠，AED C ∠=∠， ∴ADE ABC △△∽，1DE =，2BC =，214ADE ABC S DE S BC ∴== ， ∴()1::1:33ADE ADE ABC ADE DBCE S S S S S =−==四边形 △△△， 故选：D ．9. 如图，在ABC 中，点D 是边BC 上任意一点，点E 、F 分别是ABD △和ACD 的重心，如果6BC =，那么线段EF 的长为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】 【分析】本题考查了三角形重心、相似三角形的判定与性质，连接AE 并延长交BD 于M ，连接AF并延长交CD 于N ，由三角形重心的性质得出12DM BD =，12DN CD =，2AE EM =，2AF FN =，从而得出3MN =，证明AEF AMN △∽△，由相似三角形的性质可得23EF MN =，计算即可得解． 【详解】解：如图，连接AE 并延长交BD 于M ，连接AF 并延长交CD 于N ，∵点E 、F 分别是ABD △和ACD 的重心， ∴12DM BD =，12DN CD =，2AE EM =，2AF FN =， ∵6BC =， ∴()111132222MN DM DN BD CD BD CD BC =+=+=+==， ∵22213AE AF AM AN ===+，EAF MAN ∠=∠， ∴AEF AMN △∽△， ∴23EF MN =，即233EF =， ∴2EF =，故选：A ．10. 如图，在正方形ABCD 中，5AB =，点E 是CD 边上一点，且23DE CE =，点F 是BD 上一点，若45FAE ∠=°，则AF 的长为（ ）A. B. C. D. 92【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，由正方形的性质得到545CD AB AD BAC ACD ABD ======°，∠∠∠，90ABC ADE ∠=∠=°，则由勾股定理得到AC =2DE =，则AE，再证明ABF ACE ∽△△，得到AB AF AC AE =，=AF =． 【详解】解：如图所示，连接AC∵四边形ABCD 是正方形，∴545CD AB AD BAC ACD ABD ======°，∠∠∠，90ABC ADE ∠=∠=°，∴AC， ∵23DE CE =， ∴335CE CD ==， ∴2DE =，∴AE∵45FAE BAC ∠=∠=°，∴BAF CAE ∠=∠，又∵45ABF ACE ∠=∠=°，∴ABF ACE ∽△△，∴AB AF AC AE==，∴AF = 故选：B ．二、填空题11. 如图，ABC 与DEF 是位似图形，相似比为1:3，2OA =，则OD 的长为________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得13AC DF =，AC DF ∥，再证出OAC ODF ∽△△，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵ABC 与DEF 是位似图形，相似比为1:3， ∴13AC DF =，AC DF ∥， ∴OAC ODF ∽△△， ∴3ODDF OA AC ==， ∵2OA =， ∴32OD =， 解得6OD =，故答案为：6．12. 若方程()22230aa x x −−−=是关于x 的一元二次方程，则a 的值为____________．【答案】2−【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据未知数的最高次数是2，且二次项的系数不等于0列式求解即可．【详解】解：∵方程()22230aa x x −−−=是关于x 的一元二次方程，∴222a −=且20a −≠，∴2a =−．故答案为：2−．13. 如图是二次函数2y ax bx c ++的部分图象，其中与x 轴的一个交点坐标是()5,0，对称轴是直线2x =，则它与x 轴的另一个交点坐标为________．【答案】()1,0−【解析】【分析】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，掌握二次函数对称性是解题的关键．利用二次函数对称性求解即可．【详解】解：∵二次函数2y ax bx c ++的部分图象，其中与x 轴的一个交点坐标是()5,0，对称轴是直线2x =，， ∴它与x 轴的另一个交点的横坐标为：()2521−−=−． ∴它与x 轴的另一个交点的横坐标为：()1,0−．故答案：()1,0−．14. 如图，四边形ABCD 内接于O ，过点B 作BE AD ∥，交CD 于点E ．若50BEC ∠=°，则ABC ∠等于_____________度．【答案】130为【解析】【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到50D BEC ∠=∠=°，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可．【详解】解：∵BE AD ∥，∴50D BEC ∠=∠=°，∵四边形ABCD 内接于O ，∴180ABC D ∠+∠=°，∴130ABC ∠=°，故答案为：130．15. 方程2450x x +−=的解是11x =，25x =−，现在给出另一个方程()()22142150x x −+−−=，它的解是______．【答案】1x =或2x =−【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程，设21x t −=，则方程()()22142150x x −+−−=可以化为2450t t +−=，根据题意可得方程2450t t +−=的解是11t =，25t =−，则211x −=或215x −=−，据此求解即可． 【详解】解：设21x t −=，则方程)()22142150x x −+−−=可以化为2450t t +−=，∵方程2450x x +−=的解是11x =，25x =−，∴方程2450t t +−=的解是11t =，25t =−，∴211x −=或215x −=−， 解得1x =或2x =−，故答案为：1x =或2x =−，16. 如图，已知抛物线223y x x =−−，抛物线与x 轴从左到右分别交于A 、B ．点M 在抛物线的对称轴上，点N 为抛物线上位于第四象限一点，满足ON =．点P 在抛物线上，且满足CAP CMO ∠=∠，则点P 的坐标为______．【答案】1557,416【解析】 【分析】在AP 上取一点Q ，使得45ACQ ∠=°，过点Q 作QH CA 延长线于H ，分别过点Q 、C 作y 轴的垂线，分别与过点H 平行于y 轴的直线交于点E 、F ，EF 交x 轴于点D ，根据点M 在抛物线的对称轴上，ON =，求出点N 的坐标，求出直线ON 的解析式，进而求出点M 的坐标，根据相似三角形的判定与性质，证明ACQ MCO ∽，得出AC AQ QC MC MO OC，结合图形与坐标，求出AQ 、QC ，利用AAS 证明EQH FHC ≌，证明ADH AOC ∽，得出AH AD DH AC OA OC，求出AD 、DH ，根据图形与坐标，求出点Q 的坐标，结合点A 的坐标，求出直线AQ 的解析式，结合抛物线的解析式，求出点P 的坐标即可．【详解】解：如图，在AP 上取一点Q ，使得45ACQ ∠=°，过点Q 作QH CA 延长线于H ，分别过点Q 、C 作y 轴的垂线，分别与过点H 平行于y 轴的直线交于点E 、F ，EF 交x 轴于点D ，∴90QEH HFC ，∵抛物线223y x x =−−，抛物线与x 轴从左到右分别交于A 、B ，∴当0y =时，2230x x −−=，()()130x x +−=，解得：11x =−，23x =，当0x =时，=3y −，∴()1,0A −，()3,0B ，CC (0,−3)，∴1OA =，3OB OC ==，AC ==∴45BCO ACQ ∠=∠=°，设直线BC 解析式为y kx =，则303k b b += =− ，解得：13k b = =− ，∴直线BC 解析式为3y x =−，∵点M 在抛物线的对称轴上，ON ，∴点M 的横坐标2122ba ，点N的横坐标:点M 的横坐标::ON OM OM∴点N 的横坐标=∵当x =223y −−=−∴N −，∴设直线ON 解析式为y kx =解得：2k =−，∴直线ON 解析式为2y x =−，当1x =时，=2y −，∴()1,2M −，∴MO =，MC =∵直线BC 解析式为3y x =−，当1x =时，=2y −，∴点M 也在线段BC 上，∴45ACQ MCO ，∵CAP CMO ∠=∠，∴ACQ MCO ∽，∴AC AQ QC MC MO OC，3QC ，解得：5AQ =，QC∵45ACQ ∠=°，QH CA ， ∴90QHC∠=°，HQ CH，AH HC AC ， ∴90EHQ FHC ，又∵90EHQ EQH ，∴EQH CHF ，在EQH △和FHC 中， 90QEH HFC EQH FHC HQ CH ∠=∠=° ∠=∠ =， ∴()AAS EQH FHC ≌，∵90ADH AOC ，DAH OAC ，∴ADH AOC ∽，∴AH AD DH AC OA OC，13AD DH =，解得：12AD =，32DH =， ∴13122EH FC AD OA，3393222EQ FH DH DF OC ， ∴33322DE EH DH ， ∴点Q 的纵坐标3=，横坐标191322 ， ∴()3,3Q ，设直线AQ 的解析式为11y k x b =+，把()1,0A −，()3,3Q 代入得：1111033k b k b −+= += ， 解得：113434k b = =，∴直线AQ 的解析式为3344y x =+， ∵点P 是直线AQ 与抛物线的交点， ∴令2342343x x x −+−=，整理得2041115x x −−=， 因式分解得：()()4151x x −+=， 解得：1154x =，21x =−（为点A 的横坐标）， ∴点P 的横坐标154=，纵坐标31535744416， ∴点P 的坐标为1557,416． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、图形与坐标、一次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，难度较大，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合是解题的关键．三、解答题17. 解下列方程：（1）2230x x −−=；（2）()2211x x −=−．【答案】（1）1213x x =−=， （2）12312x x ==， 【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（2）先移项，然后利用提公因式法分解因式，再解方程即可．【小问1详解】解：∵2230x x −−=， ∴()()310x x −+=， ∴30x −=或10x +=，解得1213x x =−=，； 【小问2详解】解：∵()2211x x −=−，∴()()22110x x −−−=， ∴()()21110x x −−−=， ∴2210x −−=或10x −=， 解得12312x x ==，． 18. 如图，在等边ABC 中，D 为BC 边上一点，若60ADE ∠=°，求证：DCE ABD ∽．【答案】见解析【解析】【分析】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够找到两角相等是证得DCE ABD ∽的关键．由60ADE ∠=°，证明BAD EDC ∠=∠，可证得DCE ABD ∽． 【详解】证明：ABC 是等边三角形，60B C ∠=∠=°∴，60ADE ∠=° ，18060120ADB EDC ∴∠+∠=°−°=°，60∠=° B ，120ADB BAD ∴∠+∠=°，BAD EDC ∴∠=∠，∴DCE ABD ∽．19. 关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m −++=．（1）试判断该方程根的情况；（2）若1x ，2x 是该方程的两个实数根，且11222212x x x x −+=，求m 的值． 【答案】（1）当3m =时，0∆=，方程有两个相等的实数根； 当3m ≠时，0> ，方程有两个不相等的实数根；（2）6m =−【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式：（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；（2）根据11222212x x x x −+=求出m 即可． 【小问1详解】解：()()222Δ343169123m m m m m m =−+−××=++−=− ， ∴当3m =时，0∆=，方程有两个相等的实数根；当3m ≠时，0> ，方程有两个不相等的实数根．【小问2详解】解：由题意得121233x x m x x m+=+ = ， 11222212x x x x −+= ，()23312m m ∴+−=，解得：6m =−．20. 如图，AB 是O 的弦，点D 是AB 的中点，连接OD 并反向延长交O 于点C ．若16AB CD ==，求O 的半径．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理的运用，掌握垂径定理是解题的关键．设O 的半径为r ，根据点D 是AB 的中点，CD 是过圆心O 的直线，可得CD AB ⊥，在Rt AOD 中，由勾股定理得222OA AD OD =+，即可求解．【详解】解：如图，连接OA ，设O 的半径为r ，则OA OC r ==，16OD CD r r =−=−，∵点D 是AB 的中点，CD 是过圆心O 的直线，∴CD AB ⊥，1116822AD AB ==×=，在Rt AOD 中，由勾股定理得222OA AD OD =+， 即()222816r r =+−，解得10r =，∴O 的半径为10．21. 如图，已知O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD CD ⊥．（1）若65BC OA ==,，求AC 的长；（2）若AC 是DAB ∠的平分线，求证：直线CD 是O 的切线．【答案】（1）8 （2）见解析【解析】【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到ABC 是直角三角形后，直接利用勾股定理即可求解； （2）连结OC ，证明AD OC ∥，再得到90DCO ∠=°，利用切线的判定即可证明．【小问1详解】∵5OA =，∴10AB =．AB 为直径，90ACB ∴∠=°，6BC = ，10AB =，∴根据勾股定理可得：8AC，∴AC 的长为8．【小问2详解】连结OC ， OA OC = ，CAO OCA ∴∠=∠AC 是DAB ∠的角平分线，DAC CAO ∴∠=∠DAC OCA ∴∠=∠，∥O C A D ∴∴180D DCO ∠+∠=°，AD CD ⊥ ，∴90D ∠=︒，∴90DCO ∠=°，OC CD ∴⊥∴直线CD 是O 的切线．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、切线的判定定理等内容，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．22. 某地今年种植12万千克的莲藕，计划在甲、乙两店销售，其中在乙店的销售量为x （万千克），销售情况如下表： 甲店 乙店利润（万元/万千克） 20.2 4.2x −+（1）若在甲店销售莲藕2万千克，求销售完这批莲藕的获利总数；（2）若该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，求x 的值．【答案】（1）66万元（2）x 的值为3或8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列式计算是解题的关键．（1）因为今年种植12万千克的莲藕，在甲店销售莲藕2万千克，则在乙店销售莲藕10万千克，再结合销量与单价利润乘积即为总利润，进行列式计算，即可作答．（2）结合销量与单价利润乘积即为总利润，进行列式()()2120.2 4.228.8x x x ×−+−+=，然后计算，则1238x x ==，，即可作答．【小问1详解】解：依题意，()()220.2122 4.212266 ×+−×−+×−=（万元）， ∴在甲店销售莲藕2万千克，销售完这批莲藕的获利为66万元；【小问2详解】解：依题意，()()2120.2 4.228.8x x x ×−+−+=， 则211240x x −=+，解得1238x x ==，，∴该地销售完所有莲藕后，共获利28.8万元，x 的值为3或8．23. 阅读与思考请阅读以下材料并完成相应任务． 伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出了有关圆的一个引理．这个引理的作图步骤如下：①如图，已知 AB ，C 是弦AB 上一点，作线段AC 的垂直平分线DE ，分别交 AB 于点D ，AC 于点E ，连接AD CD ，．②以点D 为圆心，DA 的长为半径作弧，交 AB 于点F （F ，A 两点不重合），连接DF BD BF ，，．引理的结论：BC BF =．（1）任务一：用尺规完成材料中的作图，保留作图痕迹，并标明字母．（2）任务二：请你完成引理结论的证明过程．【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据线段和线段垂直平分线的尺规作图方法结合题意作图即可；（2）先由线段垂直平分线的性质得到AD CD =，则由等边对等角得到DAC ACD ∠=∠，再由圆内接四边形对角互补和平角的定义得到BCD BFD =∠∠，再根据弦与圆周角的关系推出ABD DBF ∠=∠，则可证明()AAS BCD BFD ≌，得到BC BF =．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】的证明：DE 垂直且平分AC ，AD CD ∴=，DAC ACD ∴∠=∠．180,180DAB BFD ACD BCD ∠+∠=°∠+∠=° ，BCD BFD ∴∠=∠．AD DF = ，,CD DF ABD DBF ∴=∠=∠，()AAS BCD BFD ∴ ≌，BC BF ∴=．【点睛】本题主要考查了线段和线段垂直平分线的尺规作图，圆内接四边形的性质，弦与圆周角之间的关系，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键.24. 如图1，AB 为O 的直径，12,AB C =是O 上异于,A B 的任一点，连接,AC BC ，过点A 作射线,AD AC D ⊥为射线AD 上一点，连接CD ．（1）若点,C D 在直线AB 同侧，且ADC B ∠=∠，求证：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若在点C 运动过程中，始终有60ADC ∠=°，连接OD ．①如图2，ADC CAB ∽时，求OD 的长度；②求OD 长度取值范围．【答案】（1）见解析 （2）①OD =OD ≤≤【解析】【分析】（1）根据AB 为O 的直径，得出90ACB ∠=°，证明AD BC ∥，DC AB ∥，即可得出四边形ABCD 为平行四边形；（2）①根据ADC CAB ∽，60ADC ∠=°，得出60CAB ADC ∠=∠=°，求出1cos 601262AC AB =×°=×=，sin 60AC CD ==°，根据306090OCD ∠=°+°=°，得出的OD =；②过点A 作射线AF AB ⊥，使60AOF ∠=°，连接OC CF ，．得到30OFA ∠=°，12OF =，根据AF =．AC =，可得AC AF AD OA =，根据DAO CAF ∠=∠，得到CAF DAO ∽，得CF AC DO AD ==，得到OD =．根据OF OC CF OF OC −≤≤+，得到618CF ≤≤，即得OD ≤≤【小问1详解】证明：∵AB 为O 的直径，∴90ACB ∠=°，∵AD AC ⊥，∴90DAC ∠=°，∴DAC ACB ∠=∠，∴AD BC ∥，∴180B DAB ∠+∠=°，∵ADC B ∠=∠，∴180ADC DAB ∠+∠=°，∴DC AB ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形；【小问2详解】解：①如图，连接OC ．∵ADC CAB ∽，60ADC ∠=°，∴60CAB ADC ∠=∠=°，∵90ACB ∠=°，12AB =，∴1cos 601262AC AB =×°=×=，∵90CAD ∠=°，∴sin602ACCD==°，906030DCA∠=°−°=°，∵162OC OA AB===，60CAO∠=°，∴ACO△为等边三角形，∴60ACO∠=°，∴306090OCD∠=°+°=°，∴在Rt COD中，OD=；②如图，过点A作AF AB⊥，使60AOF∠=°，连接OC CF，．则90OAF∠=°，∴30OFA∠=°，∴212OF OA==，∴AF=，∵tan tan60ADC∠=°=，∴AC=，∴AC AFAD OA==∵90DAC OAF∠=∠=°，∴DAC CAO OAF CAO∠+∠=∠+∠，即DAO CAF∠=∠，∴CAF DAO∽，∴CF ACDO AD==，∴OD=．∵OF OC CF OF OC −≤≤+，∴618CF ≤≤，∴OD ≤≤【点睛】本题主要考查了圆与三角形综合．熟练掌握圆周角定理推论，平行四边形的判定，勾股定理解直角三角形，锐角三角函数解直角三角形，相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键．25. 如图，抛物线23y ax bx ++与x 轴交于()3,0,A B −两点，与y 轴交于C 点，对称轴直线1x =−．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，直线1x =−与抛物线，x 轴分别交于点,,M N ND AC ⊥于点D ，点E 在坐标平面内，若DNC ABE S S =△△，求点E 的纵坐标；（3）如图2，若过（2）中点D 的直线与抛物线交于P Q 、两点（点P 在点Q 左侧），过P 点的直线2y x c =+与抛物线交于点R ，探究直线QR 是否经过某个定点？若经过某定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．【答案】（1）223y x x =−−+ （2）1±（3）经过定点(2,5)−【解析】【分析】（1）根据抛物线23y ax bx ++与x 轴交于(3,0)A −，对称轴为直线1x =−，得933012a b b a−+= −=− ，即可解得抛物线解析式为223y x x =−−+； （2）易得()1,0N −，过D 作DH x ⊥轴于H ，求出(0,3)C ，3OC =，可得45CAO ACO ∠=∠=°，故ADN △，AHD ，NHD △都是等腰直角三角形，又2AN OA ON =−=，即得(2,1)−D ，分割法求出DNC S △，再根据12ABE E DNC S AB y S =⋅= ，进行求解即可；（3）设过点(2,1)−D 的直线为y kx d =+，则12k d =−+，即得直线PQ 解析式为21y kx k =++，由22321x x kx k −−+=++得2(2)220x k x k +++−=，设2(,23)P m m m −−+，2(,23)Q n n n −−+，则2m n k +=−−，22mn k =−，有226mn m n =−−−，设2(,23)R t t t −−+，可得2232t t t c −−+=+，2232n n n c −−++，即可得4t n =−−，设直线PR 解析式为y k x b ′′=+，把2(,23)P m m m −−+，2(,23)R t t t −−+代入可解得直线PR 解析式为(2)3y m t x mt =−−−++，从而知直线PR 解析式为(2)229y m n x m n =−++−++，故直线PR 必过定点(2,5)−．【小问1详解】解： 抛物线23y ax bx ++与x 轴交于(3,0)A −，对称轴为直线1x =−， ∴933012a b b a−+= −=− ， 解得12a b =− =−， ∴抛物线解析式为223y x x =−−+；小问2详解】∵直线1x =−与x 轴分别交于点N∴()1,0N −，∴1ON =，∵()3,0A −，∴点A 关于对称轴的对称点()1,0B ，∴4AB =；过D 作DH x ⊥轴于H ，如图：【在223y x x =−−+中，令0x =得3y =， (0,3)C ∴，3OC =，OA OC ∴=，45CAO ACO ∴∠=∠=°，ND AC ⊥ ，DH x ⊥轴，ADN ∴ ，AHD ，NHD △都是等腰直角三角形，312AN OA ON =−=−= ，112AH DH NH AN ∴====， 112OH ON NH ∴=+=+=，(2,1)D ∴−，∵CDN AOC NCO NAD S S S S =−− ，111331321222=××−××−×× 2=， ∴114222ABE E E S AB y y =⋅=×=， ∴1E y =，∴1E y =±，即点E 的纵坐标为1±；【小问3详解】直线PR 必经过某个定点，理由如下：设过点(2,1)−D 的直线为y kx d =+，则12k d =−+， 21d k ∴+，∴直线PQ 解析式为21y kx k =++，由22321x x kx k −−+=++得2(2)220x k x k +++−=， 设2(,23)P m m m −−+，2(,23)Q n n n −−+，则2m n k +=−−，22mn k =−， 226mn m n ∴=−−−，设2(,23)R t t t −−+，2(,23)R t t t −−+ ，2(,23)Q n n n −−+在直线2y x c =+上，2232t t t c ∴−−+=+，2232n n n c −−++，2223(23)2(2)t t n n t c n c ∴−−+−−−+=+−+，整理得4t n =−−，设直线PR 解析式为y k x b ′′=+，把2(,23)P m m m −−+，2(,23)R t t t −−+代入得： 222323m m k m b t t k t b −−+=+ −′′′′−++， 解得23k m t b mt ′′=−−− =+， ∴直线PR 解析式为(2)3y m t x mt =−−−++，4t n =−− ，∴直线PR 解析式为(2)43y m n x m mn =−++−−+，226mn m n =−−− ，∴直线PR 解析式为(2)229y m n x m n =−++−++，令2x =−得5y =，∴直线PR 必过定点(2,5)−．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的判定和性质，抛物线与直线的交点问题等，综合性强，难度大，属于压轴题，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关函数的解析式．。

2024-2025学年七年级数学上学期第一次月考卷基础知识达标测（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）考前须知：1．本卷试题共24题，单选6题，填空10题，解答8题。

2．测试范围：第一章~第二章（苏科版2024）。

第Ⅰ卷一、单选题1．―12024的相反数是（ ）A ．―2024B ．12024C ．―12024D ．以上都不是【答案】B【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是熟练掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”．根据相反数的定义解答即可．【详解】解：―12024的相反数是12024，故选：B ．2．有下列说法：①一个有理数不是正数就是负数；②整数和分数统称为有理数；③零是最小的有理数；④正分数一定是有理数；⑤―a 一定是负数，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据有理数的分类逐项分析判断即可求解．【详解】解：①一个有理数不是正数就是负数或0，故①不正确；②整数和分数统称为有理数，故②正确；③没有最小的有理数，故③不正确；④正分数一定是有理数，故④正确；⑤―a 不一定是负数，故④不正确，故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．3．下列各组数相等的有（）A．(―2)2与―22B．(―1)3与―(―1)2C．―|―0.3|与0.3D．|a|与a【答案】B【分析】根据负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，可得答案．【详解】解∶ A.(―2)2=4，―22=―4，故(―2)2≠―22；B.(―1)3=―1，―(―1)2=―1，故(―1)3=―(―1)2；C.―|―0.3|=―0.3，0.3，故―|―0.3|≠0.3；D.当a小于0时，|a|与a不相等，；故选∶B．【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练求解一个数的乘方是解题的关键．4．观察下图，它的计算过程可以解释（ ）这一运算规律A．加法交换律B．乘法结合律C．乘法交换律D．乘法分配律【答案】D【分析】根据图形，可以写出相应的算式，然后即可发现用的运算律．【详解】解：由图可知，6×3+4×3=(6+4)×3，由上可得，上面的式子用的是乘法分配律，故选：D．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键．5．如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，有下列结论：①a―b<0；②a+b>0；>0．其中正确的有（ ）个．③(b―1)(a+1)>0；④b―1|a―1|A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减，乘除运算．先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各数的大小即可．【详解】解：观察数轴得：―1<a<0<1<b，∴a―b<0，故①正确；a+b>0，故②正确；b―1>0,a+1>0，∴(b―1)(a+1)>0，故③正确；b―1>0故④正确．|a―1|故选：A6．下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的3×2方格纸片．把“L”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的6×6方格纸片，将“L”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n种不同放置方法，则n的值是（）A．160B．128C．80D．48【答案】A【分析】先计算出6×6方格纸片中共含有多少个3×2方格纸片，再乘以4即可得．【详解】由图可知，在6×6方格纸片中，3×2方格纸片的个数为5×4×2=40（个）则n=40×4=160故选：A．【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确得出在6×6方格纸片中，3×2方格纸片的个数是解题关键．第II卷（非选择题）7．将数据52.93万用科学记数法表示为．【答案】5.293×105【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．【详解】解：52.93万=529300=5.293×105．故答案为：5.293×105．8．甲地海拔高度为―50米，乙地海拔高度为―65米，那么甲地比乙地．（填“高”或者“低”）．【答案】高【分析】先计算甲地与乙地的高度差，再根据结果进行判断即可．【详解】解：由题意可得：(―50)―(―65)=―50+65=15>0，∴甲地比乙地高．故答案为：高【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，有理数的减法运算的实际应用，理解题意是解本题的关键．9．绝对值大于1且不大于5的负整数有．【答案】―2，―3，―4，―5【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键．【详解】解：绝对值大于1且不大于5的负整数有―2，―3，―4，―5，故答案为：―2，―3，―4，―5．10．下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京早的点时数）：城市纽约伦敦东京巴黎时差/时―13―8+1―7如果北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月日时．【答案】13 9【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用．这是一个典型的正数与负数的实际运用问题，我们应联系现实生活认清正数与负数所代表的实际意义．此题中正数表示在北京时间向后推几个小时，即加上这个正数；负数表示向前推几个小时，即加上这个负数，据此解答即可．【详解】解：17―8=9，∵―8表示向前推8个小时，∴北京时间是9月13日17时，那么伦敦的当地时间是9月13日9时，故答案为：13，9．11．如图，将一刻度尺放在数轴上．若刻度尺上0cm和5cm对应数轴上的点表示的数分别为―3和2，则刻度尺上7cm对应数轴上的点表示的数是．【答案】4【分析】本题考查数轴的概念．由数轴的概念即可求解．【详解】解：∵0cm和5cm对应数轴上的点表示的数分别为―3和2，∴数轴的单位长度是1cm，∴原点对应3cm的刻度，∴数轴上与7cm刻度对齐的点表示的数是4，故答案为：4．12．如图所示是计算机程序计算，若开始输入x=―2，则最后输出的结果是．【答案】16【分析】本题主要考查了与程序流程图有关的有理数计算．先代入x=―2，计算出结果，若结果不大于10，则把计算的结果重新输入计算，如此往复直至计算的结果大于10即可．【详解】解：―2+4―(―2)=―2+4+2=4<10，4+4―(―2)=4+4+2=10，10+4―(―2)=10+4+2=16>0，故答案为：16．13．若(2a―1)2与2|b―3|互为相反数，则a b=．【答案】18【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得(2a―1)2与2|b―3|的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出a，b．【详解】∵ (2a ―1)2与2|b ―3|互为相反数∴ (2a ―1)2+2|b ―3|=0∵ (2a ―1)2≥0，2|b ―3|≥0∴2a ―1=0，2|b ―3|=0∴ a =12，b =3∴ a b =(12)3=18．故答案为：18．14．若a |a |+b |b |+c |c |+d |d |=2，则|abcd |abcd 的值为 ．【答案】-1【分析】先根据a |a |+b |b |+c |c |+d |d |=2，a |a |，b |b |，c |c |，d |d |的值为1或-1，得出a 、b 、c 、d 中有3个正数，1个负数，进而得出abcd 为负数，即可得出答案．【详解】解：∵当a 、b 、c 、d 为正数时，a |a |，b |b |，c |c |，d |d |的值为1，当a 、b 、c 、d 为负数时，a |a |，b |b |，c |c |，d |d |的值为-1，又∵a |a |+b |b |+c |c |+d |d |=2，∴a 、b 、c 、d 中有3个正数，1个负数，∴abcd 为负数，∴|abcd |abcd =-1．故答案为：-1．【点睛】本题主要考查了绝对值的意义和有理数的乘法，根据题意得出a 、b 、c 、d 中有3个正数，1个负数，是解题的关键．15．新定义如下：f(x)=|x ―3|， g(y)=|y +2|； 例如：f(―2)=|―2―3|=5，g(3)=|3+2|=5；根据上述知识， 若f(x)+g(x)=6， 则x 的值为 ．【答案】72或―52【分析】本题考查了新定义，求代数式的值，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据f(x)+g(x)=6得出含绝对值的方程，解方程可得答案．【详解】解：由题可得：|x ―3|+|x +2|=6，当x ≥3时，x ―3+x +2=6，解得x =72；当―2<x <3时，3―x +x +2=6，方程无解；当x ≤―2时，3―x ―x ―2=6，解得x =―52；故答案为：72或―52．16．定义一种关于整数n 的“F ”运算：（1）当n 是奇数时，结果为3n +5；（2）当n 是偶数时，结果是n 2k （其中k 是使n 2k 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n =58，第一次经F运算是29，第二次经F 运算是92，第三次经F 运算是23，第四次经F 运算是74，……；若n =9，则第2023次运算结果是 ．【答案】8【分析】此题考查的是探索规律题．由题意所给的定义新运算可得当n =9时，第一次经F 运算是32，第二次经F 运算是1，第三次经F 运算是8，第四次经F 运算是1，⋯，由此规律可进行求解．【详解】解：由题意n =9时，第一次经F 运算是3×9+5=32，第二次经F 运算是3225=1，第三次经F 运算是3×1+5=8，第四次经F 运算是823=1，⋯；从第二次开始出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1，∴第2023次运算结果8，故答案为：8．三、解答题17．计算．(1)(―59)―(―46)+(―34)―(+73)(2)(―334)―(―212)+(―416)―(―523)―1【答案】(1)―120(2)―34【分析】本题考查了有理数的混合运算．（1）去括号，再计算加减即可．（2）去括号，通分，再计算加法即可．【详解】（1）(―59)―(―46)+(―34)―(+73)=―59+46―34―73=―120（2）(―334)―(―212)+(―416)―(―523)―1=―334―2―416―5―1=―54+32―1=―3418．计算：(1)4×―12―34+2.5―|―6|；(2)―14―(1―0.5)×13―2―(―3)2．【答案】(1)―1；(2)356．【分析】（1）利用乘法分配律、绝对值的性质分别运算，再合并即可；（2）按照有理数的混合运算的顺序进行计算即可求解；本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键．【详解】（1）解：原式=4×――4×34+4×2.5―6=―2―3+10―6，=―1；（2）解：原式=―1―12×13―(2―9)=―1―16+7，=6―16，=356．19．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点A 表示的数是―3．(1)在数轴上标出原点，并指出点B 所表示的数是 ；(2)在数轴上找一点C ，使它与点B 的距离为2个单位长度，那么点C 表示的数为 ；(3)在数轴上表示下列各数，并用“＜”号把这些数按从小到大连接起来．2.5，―4，512，―212，|―1.5|，―(+1.6)．【答案】(1)见解析，4(2)2或6(3)数轴表示见解析，―4<―212<―(+1.6)<|―1.5|<2.5<512【分析】本题主要考查了在数轴上表示有理数以及有理数的比较大小：（1）根据点A 表示―3即可得原点位置，进一步得到点B 所表示的数；（2）分两种情况讨论即可求解；（3）首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＜”号把这些数连接起来即可．【详解】（1）如图，O 为原点，点B 所表示的数是4，故答案为：4；（2）点C 表示的数为4―2=2或4+2=6．故答案为：2或6；（3）|―1.5|=1.5，―(+1.6)= 1.6，在数轴上表示，如图所示：由数轴可知：―4<―212<―(+1.6)<|―1.5|<2.5<51220．（1）已知|a |=5，|b |=3，且|a ―b |=b ―a ，求a ―b 的值．（2）已知a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，x 的绝对值等于2，求式子： x ―(a +b +cd )+a+b cd 的值．【答案】（1）―8或―2；（2）1或―3【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键．（1）根据|a|=5，|b|=3，且|a―b|=b―a，可以得到a、b的值，然后代入所求式子计算即可；（2）根据a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，可以得到a+b=0，cd=1，x=±2，然后代入所求式子计算即可．【详解】解：（1）∵|a|=5，|b|=3，∴a=±5，b=±3，∵|a―b|=b―a，∴b≥a，∴a=―5，b=±3，当a=―5，b=3时，a―b=―5―3=―8，当a=―5，b=―3时，a―b=―5―(―3)=―5+3=―2，由上可得，a+b的值是―8或―2；（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，∴a+b=0，cd=1，x=±2，∴当x=2时，x―(a+b+cd)+a+b cd=2―(0+1)+0 =2―1=1；当x=―2时，x―(a+b+cd)+a+b cd=―2―(0+1)+0=―2―1=―3．综上所述，代数式的值为1或―3．21．某风筝加工厂计划一周生产某种型号的风筝700只，平均每天生产100只，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）；星期一二三四五六日增减+5―2―4+13―6+6―3(1)根据记录的数据，该厂生产风筝最多的一天是星期______；(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少只风筝？(3)该厂实行每周计件工资制，每生产一只风筝可得20元，若超额完成任务，则超过部分每只另奖5元；少生产一只扣4元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)四(2)19(3)14225【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；（2）最高一天的产量减去最少一天的产量求解即可；（3）根据题意列出算式求解即可．【详解】（1）由表格可得，星期四生产的风筝数量是最多的，故答案为：四．（2）13―(―6)=19，∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产19只风筝；（3）700+5―2―4+13―6+6―3=709（只）709×20+9×5=14225(元)．∴该厂工人这一周的工资总额是14225元【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加减和乘法运算的实际应用．解决本题的关键是理解题意正确列式．22．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示数a、b．A、B两点之间的距离表示为|AB|．则数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a﹣b|．回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是 ；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是 ，如果|AB|＝2，那么x为 ；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，符合条件的整数x有 ；（4）令y＝|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|，问当x取何值时，y最小，最小值为多少？请求解．【答案】（1）4；3；（2）|x+1|，1或﹣3；（3）﹣1，0，1，2；（4）x=2时，y最小，最小值为4【分析】（1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解；（2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可；（3）根据数轴上两点间的距离的意义解答；（4）根据数轴上两点间的距离的意义解答．【详解】解：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：|1―(―3)|=1+3＝4；数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是：|―2―(―5)|=5―2=3；（2）∵A，B分别表示的数为x，﹣1，∴数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是|x+1|，如果|AB|＝2，则|x+1|＝2，解得：x＝1或﹣3；（3）当|x+1|+|x﹣2|取最小值时，﹣1≤x≤2，∴符合条件的整数x有﹣1，0，1，2；（4）当|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|取最小值时，x＝2，∴当x＝2时，y最小，即最小值为：|2+1|+|2﹣2|+|2﹣3|＝4．故x＝2时，y最小，最小值为4．【点睛】本题考查数轴与绝对值，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．23．观察下列三列数：―1、+3、―5、+7、―9、+11、……①―3、+1、―7、+5、―11、+9、……②+3、―9、+15、―21、+27、―33、……③(1)第①行第10个数是，第②行第10个数是；(2)在②行中，是否存在三个连续数，其和为83？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由；(3)若在每行取第k个数，这三个数的和正好为―101，求k的值．【答案】(1)+19；―21(2)存在，这三个数分别为85，―91，89(3)k=―49【分析】本题主要考查了数字规律，一元一次方程的应用，做题的关键是找出数字规律．（1）第①和②行规律进行解答即可；（2）设三个连续整数为(―1)n﹣1(2n―3)―2，(―1)n(2n―1)―2，(―1)n+1(2n+1)―2，根据题意列出方程，即可出答案；（3）设k为奇数和偶数两种情况，分别列出方程进行解答．【详解】（1）解：根据规律可得，第①行第10个数是2×10―1=19；第②行第10个数是―(2×10+1)=―21；故答案为：+19；―21；（2）解：存在．理由如下：由（1）可知，第②行数的第n个数是(―1)n(2n―1)―2，设三个连续整数为(―1)n﹣1(2n―3)―2，(―1)n(2n―1)―2，(―1)n+1(2n+1)―2，当n为奇数时，则2n―3―2―2n+1―2+2n+1―2=83，化简得2n―7=83，解得n=45，这三个数分别为85，―91，89；当n为偶数时，则―(2n―3)―2+(2n―1)―2―(2n+1)―2=83，化简得―2n―5=83，解得n=―44（不符合题意舍去），这三个数分别为85，―91，89；综上，存在三个连续数，其和为83，这三个数分别为85，―91，89；（3）解：当k为奇数时，根据题意得，―(2k―1)―(2k+1)+3×(2k―1)=―101，解得：k=―49，当k为偶数时，根据题意得，(2k+1)+(2k―3)―3(2k―1)=―101，解得，k=51（舍去），综上，k=―49．24．如图，数轴上有A，B，C三个点，分别表示数―20，―8，16，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边），PQ=2，MN=4，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动．当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点Q回到点A时，线段PQ、MN同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN 保持长度不变）．(1)当t =20时，点M 表示的数为 ，点Q 表示的数为 ．(2)在整个运动过程中，当CQ =PM 时，求出点M 表示的数．(3)在整个运动过程中，当两条线段有重合部分时，速度均变为原来的一半，当重合部分消失后，速度恢复，请直接写出当线段PQ 和MN 重合部分长度为1.5时所对应的t 的值．【答案】(1)8，―8(2)―2.8或2(3)5.5或8.5或18.25或19.75【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，能用含t 的代数式表示点运动后所表示的数．（1）当t =20时，根据起点位置以及运动方向和运动速度，即可得点M 表示的数为8、点Q 表示的数为―8；（2）当t ≤12时，Q 表示的数是―20+3t ，P 表示的数是―22+3t ，M 表示的数是―12+t ，36―3t =|―10+2t|，此时―12+t =―12+465=―145，当12<t ≤24时，Q 表示的数是16―3(t ―12)=52―3t ，P 表示的数是50―3t ，M 表示的数是―12+t ，3t ―36=|62―4t |，（3）当PQ 从A 向C 运动时，―8+32(t ―4)――8+12(t ―4)=1.5或―4+12(t ―4)―[―10+32(t ―4)]=1.5，当PQ 从C 向A 运动时，132+―――=1.5或172――――=1.5，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：依题意，∵―8―4+20×1=8，∴当t =20时，点M 表示的数为8；∵16―{20×3―[16―(―20)]}=―8，∴当t =20时，点Q 表示的数为―8；故答案为：8，―8；（2）解：当t ≤12时，Q 表示的数是―20+3t ，P 表示的数是―22+3t ，M 表示的数是―12+t ，∴CQ =16―(―20+3t )=36―3t ，PM =|―22+3t ―(―12+t )|=|―10+2t |，∴36―3t =|―10+2t |，解得t =465或t =26（舍去），此时―12+t =―12+465=―145当12<t ≤24时，Q 表示的数是16―3(t ―12)=52―3t ，P 表示的数是50―3t ，M 表示的数是―12+t ，∴CQ =16―(52―3t )=3t ―36，PM =|50―3t ―(―12+t )|=|62―4t |，∴3t ―36=|62―4t |，解得t =14或t =26（舍去），此时―12+t =―12+14=2，∴当CQ =PM 时，点M 表示的数是―145或2；（3）解：当PQ 从A 向C 运动时，t =4时，PQ 与MN 开始有重合部分，有重合部分时，Q 表示的数为―8+32(t ―4)，P 表数为―10+32(t ―4)，M 表示的数为―8+12(t ―4)，N 表示的数是―4+12(t ―4)，若线段PQ 和MN 重合部分长度为1.5则―8+32(t ―4)――8+12(t ―4)=1.5或―4+12(t ―4)―[―10+32(t ―4)]=1.5，解得t =5.5或t =8.5，由―10+32(t ―4)=―4+12(t ―4)得t =10，∴当t =10时，PQ 与MN 的重合部分消失，恢复原来的速度，此时Q 表示的数是1，再过(16―1)÷3=5（秒），Q 到达C ，此时t =15，则M 所在点表示的数是―12+4+10―42+5=0，N 所在点表示的数4，当PQ 从C 向A 运动时，t =352时，PQ 与MN 开始有重合部分，有重合部分时，Q 表示的数为172――P 表示的数为132―M 表示的数为52N 表示的数是132―若线段PQ 和MN 重合部分长度为1.5，132+―――=1.5或172―――=1.5，解得t=18.25或t=19.75，∴重合部分长度为1.5时所对应的t的值是5.5或8.5或18.25或19.75．。

曲靖一中2017届初三下学期第一次月考数 学 试 卷（本试卷共三大题，23个小题；满分120分，考试时间120分钟）一、填空题（每小题3分，共18分）．1. 曲靖市计划从2013年到2016年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是_________亩.【答案】62.5310⨯【解析】【详解】253万=2530000=62.5310⨯，故选B.2. 若式子x 1+有意义，则x 的取值范围是___． 【答案】x 1≥-且x 0≠【解析】【详解】∵式子1x x+在实数范围内有意义， ∴x+1≥0，且x≠0，解得：x≥-1且x≠0.故答案为x≥-1且x≠0.3. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于______度．【答案】270【解析】【分析】本题利用四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．【详解】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，∴()1236036090270A B ∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．故答案是：270°【点睛】本题是一道根据四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．4. 若点（a ，b ）在一次函数y=2x ﹣3上，则代数式3b ﹣6a+8的值是__________．【答案】﹣1【解析】【详解】把点（a ，b ）带入一次函数y =2x ﹣3得，b =2a -3变形得b -2a =-3，带入代数式3b ﹣6a +8即可求值． 故答案为﹣15. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则对角线AE 的长是______________．【答案】23 【解析】 【详解】过点F 作FM ⊥AE 于M ，∵∠AFE =120°∴∠F AE =30°∴03cos3022AM ==,223AE AM ∴==. 故答案为23.6. 如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1, 2），第2次接着运动到点（2, 0），第3次接着运动到点（3, 1），…，按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P 的坐标是_______________.【答案】P(2016，0)【解析】【详解】横坐标1，2，3，4……依次递增，则第2016个点的横坐标为2016；纵坐标2，0，1，0，2，0，1，0……4个一循环，20164÷余0，所以，纵坐标为0.即P (2016,0).答案：P (2016,0)点睛：此题主要考查了点的坐标以及数的变化，解题的 关键是发现“当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等”这一变化规律.此题注重培养学生的观察和归纳能力，从所给分数据和图形中寻求规律进行解答是解答本题的关键.二、选择题（每小题4分，共32分）．7. －32的倒数是（ ） A. 23 B. 32- C. 23- D. 32【答案】C【解析】【详解】乘积为1的两个数互为倒数故答案选：C8. 如图，该几何体的俯视图是（ ）A.B. C. D.【答案】A【解析】 【详解】图形为四棱台，俯视图为两个正方形，注意：看得见的轮廓线用实线故答案为A9. 下列运算正确的是（ ）A. 3x-2x=1B. 22122x x -=-C. 236()a a a -⋅=D. 236()a a -=- 【答案】D【解析】【详解】因为3x-2x=x ，故A 错，-2x -2=22x-故B 错,（-a ）2a 3=a 5,故C 错,故选D 故答案为D 10. 不等式组215{10x x +>--+≥的整数解的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 无数个【详解】由2x+1＞-5得x＞-3，-x+1≥0得x≤1. 所以原不等式组的整数解为-2，-1,0,1共4个，故选B．11. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M,N，作直线MN 交BC于点D，连接AD若△ABC 的周长为21，AB=7，则△ADC的周长为（）A. 28B. 24C. 18.5D. 14【答案】D【解析】【详解】由尺规作图可知MN是线段AB的垂直平分线，则AD=BD. ADC∆的周长为: AC+CD+AD=AC+CB=21-7=14,故选D.12. 关于x的一元二次方程2x2－(a－1)x+a=0的两个实数根互为相反数，则a的值是（）A. a = -1B. a = 0C. a = 1D. a = 2【答案】C【解析】【详解】根据根与系数的关系及相反数的性质可得：12a-=,求出a = 1.故答案 C13. 已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则cos∠BPC 的值是（）22 C. 1 3【详解】由正方形形成的圆的四条等弦所对应的四条弧相等，得到圆心角∠BOC =90°，根据圆周角定理的到∠P =45°，所以cos ∠BPC =22. 故答案为A点睛：本题主要考查了正方形的性质和圆周角定理的应用.这里注意：根据的圆周角所对的弦是直径，知道正方形的对角线的交点即为其外接圆的圆心．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用. 14. 如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为A. 12B. 9C. 6D. 4【答案】B【解析】 【详解】∵点(6,4)A -，D 是OA 中点∴D 点坐标(3,2)-∵(3,2)D -在双曲线(0)k y k x =<上，代入可得23k =- ∴6k =-∵点C 在直角边AB 上，而直线边AB 与x 轴垂直∴点C 的横坐标为-6又∵点C 在双曲线6y x -=∴点C 坐标为(6,1)-∴22(66)(14)3AC =-++-=从而1136922AOC S AC OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=，故选B 三、解答题（共9个小题，共70分）15. 计算：1014()2(23)2-+----【答案】1【解析】【详解】试题分析：分别进行二次根式的化简、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算，然后合并即可得出答案．试题解析：原式＝222+-－1 ＝1 16. 先化简，再求值：22221111x x x x x x --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中31x =+. 【答案】原式＝11x -，当31x =+时，原式＝3. 【解析】 【详解】试题分析：根据分式性质将括号内通分进行减法运算，同时利用因式分解将被除式约分化简所得结果进行分式除法运算得化简结果，再把x 的值代入求得原式的值.试题解析：原式＝2222(1)(1)1x x x x x x x --÷+-+=2221(1)(1)2x x x x x x x -+⋅+--=11x -， 当31x =+时，原式＝33. 17. 如图，在正方形方格中，ABC ∆的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：（1）将ABC ∆向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的111A B C ∆；（2）将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后的222A B C ∆；（3）求出1A 点、2B 所在直线的函数解析式. 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）直线的解析式为：1744y x =+ 【解析】【详解】试题分析： 根据平移方向和距离；旋转中心、角度和方向画出相应图形并写出点A 1、B 2两点的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式.试题解析：（1）见图；（2）见图（3）设y kx b =+，()()121,2,3,1A B -,则：2{3+1k b k b +=-=，所以14{74k b ==，所以1744y x =+ 18. 某市教育主管部门为了解学生的作业量情况，随机抽取了几所中学八年级的部分学生进行了一次调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图、表中所提供的信息解答下列问题：（1）本次共抽取了 名学生进行调查；（2）x= ，y= ，补全条形统计图；（3）若这几所中学八年级的学生共有3200人，请估计做作业时间在2小时以上的学生人数是多少？（4）由图表可知，这次被调查的八年级学生的作业时间的中位数一定落在1.5小时—2小时这一时段内，你认为这种判断正确吗？（不需要说明理由）【答案】（1）120 ；（2）x=18,y=0.5 ，补全条形图见解析；（3）估计做作业时间在2小时以上的学生人数是1600人；（4）不正确，理由见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）由统计表可知写作业时间在一小时以内的人数共有12人，占总人数的10%，求出总人数即可；（2）接受调查的总人120乘相应的频率0.15即可；（3）由学习时间在2小时以上的人数占总人数的百分比再乘3200可得；（4）总人数为120人，按时间的长短排列后中位数是第60、61人，所以中位数不一定落在1.5-2小时这个范围. 试题解析：（1）120 ；12÷0.1＝120 ；（2）x=1200.1518⨯=,y=0.5 ，条形图高度为18；补全条形图：（3）32000.5⨯=1600人；（4）不正确. 19. 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；AC=23，BD=2，求四边形ABCD的周长．（2）若【答案】（1）证明见解析；（2）四边形ABCD的周长为8.【解析】【分析】（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．(2) 由△CBF≌△CDF，可知，∠BCF=∠DCF，又CB=CD，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积.【详解】解:（1）证明：在△ABC 和△ADC 中，AB AD BC DC AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADC （SSS ），∴∠BCA=∠DCA ，在△CBF 和△ADF 中，BC DC BCA DCA CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CBF ≌△CDF （SAS ）（2）∵△CBF ≌△CDF ，∴∠BCF=∠DCF ，∴OB=OD ，BD ⊥AC ，∵OA=OC ，∴四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=DA ，∵AC=23，BD=2，∴OA=3，OB=1，∴AB=2222(3)12OA OB +=+=，∴四边形ABCD 的周长=4AB=4×2=8． 20. 经过建设者三年多艰苦努力地施工，贯通我市A 、B 两地又一条高速公路全线通车．已知原来A 地到B 地普通公路长150km ，高速公路路程缩短了30km ，如果一辆小车从A 地到B 地走高速公路的平均速度可以提高到原来的1.5倍，需要的时间可以比原来少用1小时10分钟．求小车走普通公路的平均速度是多少？【答案】小车走普通公路的平均速度是60kmh .【解析】【详解】试题分析：设小车走普通公路的平均速度是x /km h ，走高速公路的平均速度是1.5x /km h ，由题可得等量关系：走高速公路的时间比走普通公路的时间少1小时10分钟，根据等量关系列出方程. 试题解析:设小车走普通公路的平均速度是x /km h .由意义得：15015030111.56 x x--=解得x=60，经检验x=60是原方程的解．答：小车走普通公路的平均速度是60/km h.21. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个（除颜色外其余都相同），其中红球2个（分别标有1号、2号），蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为14．（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率．【答案】（1）袋中黄球的个数为1个；（2）两次摸到不同颜色球的概率为：P=56．【解析】【详解】（1）由题意可知袋中共有球的个数为4个．（2）考查用画树状图或列表格的方法求概率．22. 如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=23，tan∠AEC=53，求圆的直径．【答案】（1）证明见解析；（2）10 【解析】【分析】【详解】（1）证明：∵BC是直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC ⊥CA ，∴CA 是圆的切线．（2）解：在Rt △AEC 中，tan ∠AEC=53， ∴AC EC =53 EC=53AC ， Rt △ABC 中，tan ∠ABC=23，∴ACBC =23BC=32AC ，∵BC ﹣EC=BE ，BE=6，∴33625AC AC -=，解得：AC=203，∴BC=32×203=10，答：圆的直径是10．23. 如图，抛物线258y x bx c =-++过A （1,0）、B （－1，－1）、C （3，m ）三点．（1）求抛物线的解析式及m 的值；（2）判断AB 与AC 的位置关系，并证明你的结论；（3）在抛物线上是否存在点P ，当PH ⊥x 轴于点H 时，以P 、H 、A 为顶点的三角形与ABC∆相似？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为2511828y x x =-++，m 的值为-4；（2）AB ⊥AC ，证明见解析；（3）存在点P 共3个，分别为P 1(1,1--)，P 2(31,55)，P 3(3,-4)或P 4(1744,55--).【解析】【详解】试题分析：（1）待定系数法求解析式；（2）利用勾股定理求得三边长，由勾股定理逆定理可探究出结论；（3）利用三角形相似的判定转化为求方程的解而得解.试题解析：（1）由题可知508{518b c b c -++=--+=-解得12{18b c == 2511828y x x ∴=-++ 2511334828m ∴=-⨯+⨯+=-； （2）AB ⊥AC ，证明如下：()()222221115A B B AB x x y =-+=++-=（）()()2222213420A C C AC x x y =-+=-+-=（）()()()22222131425B C B C BC x x y y （）=-+-=--+-+= 222AB AC BC ∴+=，∴ AB ⊥AC .（3）设P （2511,828x x x -++），则PH=2511828x x -++，1HA x =-， 090,PHA BAC ∠=∠=APH CBA ∴∠=∠时，PHA ∆∽BAC ∆; ∴PH BA HA AC =，即25118281x x x -++=- 解得1x =±或x=35, 当1x =±时，P 与A 、B 重合1231,5x x ∴=-=，此时P(1,1--)或P(31,55)； 090,PHA BAC ∠=∠=APH BCA ∴∠=∠时,PHA ∆∽CAB ∆; ∴AB HA AC HP =，即21511828x x x -=-++解得171,3,5x =- ， 当x=1时，与A 重合∴x=3 或175-,此时点P 为P(3,-4)或P(1744,55--) 所以存在点P 共3个，分别为P 1(1,1--)，P 2(31,55)，P 3(3,-4)或P 4(1744,55--). 点睛：本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、直角三角形的性质及判定及相似三角形的性质，注重二次函数与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.。

天一2024—2025学年九年级10月份月考试卷时间：120分钟 总分：150分一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列方程中，是一元二次方程的有（ ）①21x x +=；②22340x xy −+=；③211x x −=；④20x =；⑤233x x +=．A. 1个；B. 2个；C. 3个；D. 4个． 【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程”，据此问题可求解．【详解】解：①21x x +=是一元二次方程；②22340x xy −+=不是一元二次方程；③211x x−=不是一元二次方程；④20x =是一元二次方程；⑤233x x +=是一元二次方程；所以是一元二次方程的有3个； 故选C ． 2. 若一元二次方程230x x a −+=的一个根为2x =，则a 的值为（ ）A. 2B. 2−C. 4D. 4− 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的解，此题比较简单，需要同学们熟练掌握．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解a 的一元一次方程．【详解】解：把2x =代入方程230x x a −+=可得460a −+=， 解得2a =，故选：A ．3. 如图，若点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，则AD 的长是（ ）A. 3B. 1C. 9−D. 3【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义可得6AD =，即可求解． 【详解】解：∵点D 是线段AB 的黄金分割点（AD BD >），6AB =，∴63AD ==−． 故选：D4. 方程2230x x −−=配方后可化成()2x m n +=的形式，则m n +的值为（ ） A. 5B. 4C. 3D. 1 【答案】C【解析】【分析】本题考查解一元二次方程的方法—配方法．先将常数移项到右边，再在左边配成完全平方即可．【详解】解： 2230x x −−= 223x x ∴−=2214x x ∴−+=2(1)4x ∴−=1,4m n ∴=−=3m n ∴+=．故选：C ．5. 如图，已知12∠=∠，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定ABC ADE △△∽的是（ ）A AB AC AD AE = B. B D ∠=∠ C. AB BC AD DE = D. C AED ∠=∠【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，两组角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，据此逐一判断即可．【详解】解：∵12∠=∠，.∴12BAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴DAE BAC ∠=∠， 添加条件AB AC AD AE=，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组对边对应成比例且它们的夹角相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故A 不符合题意；添加条件B D ∠=∠，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故B 不符合题意； 添加条件AB BC AD DE=，结合DAE BAC ∠=∠，不可以得到ABC ADE △△∽，故C 不符合题意； 添加条件C AED ∠=∠，结合DAE BAC ∠=∠，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到ABC ADE △△∽，故D 不符合题意；故选：C ．6. 若关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A. 54k ≥ B. 54k > C. 54k >且1k ≠ D. 54k ≤且1k ≠ 【答案】D【解析】【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出10k −≠且()214110k ∆=−×−×≥，求解即可得到答案．【详解】解： 关于x 的一元二次方程()2110k x x −++=有实数根， ()210Δ14110k k −≠ ∴ =−×−×≥， 解得：54k ≤且1k ≠， 故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）A. 两个正方形B. 两个矩形C. 两个菱形D. 两个平行四边形【答案】A【解析】【分析】根据相似图形的概念逐项进行判断即可．【详解】解：A 、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意； B 、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意， C 、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意； D 、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．8. 如图，在ABC 中，D 是AC 的中点，点F 在BD 上，连接AF 并延长交BC 于点E ，若31BF FD =：：，=10BC ，则CE 的长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 103【答案】B【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，过点D 作DH AE ∥，交BC 于H ，根据平行线分线段成比例定理得到32BE EC =，计算即可． 【详解】解：过点D 作DH AE ∥，交BC 于H ，则1CH CD HE DA ==，3BE BF EH FD==， ∴32BE EC =， ∵=10BC ，∴=4CE ，故选：B ．9. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步=10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x 尺，则可列方程为（ ）．A. ()222101x x +=+B. ()222110x x ++=C. ()222104x x +=−D. ()222410x x −+= 【答案】D【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 ()4AO x =−尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．【详解】解：设秋千的绳索长为x 尺，则OA OB x ==尺由题意可知：1AC =尺，5BD CE ==尺，则4AE =尺，则()4OEx =−尺，由勾股定理可得：222OE BE OB +=，则可列方程为：()222410x x −+=．故选：D ． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 OE 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．10. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ．则以下结论中正确的是．（ ）①CMP BPA ∽△△；②CNP 的周长始终不变：③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM：⑤当ABP ADN △△≌时，2BP =−．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【答案】B【解析】 【分析】由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠，∠∠，则由平角的定义可得90CPM APB ∠+∠=°，再由正方形的性质得到90C B ∠=∠=°，则可证明CMP BPA ∽△△，据此可判断①；由折叠的性质可得AE AB PB PE ==，，90AEP B ∠=∠=°，则90AD AE AEN D ==°=，∠∠，证明()HL ADN AEN ≌，得到DN EN =，再根据三角形周长公式可得CNP 的周长CD CB =+，据此可判断②；设DNNE x ==，则2CN x =−，由勾股定理得()()222121x x +−=+，解得23x =，即32DN =，NE PE ≠，据此可判断③；设PB x =，则2PC x =−，由相似三角形的性质得到CM PC PB AB =，即22CM x x −=，则()()2211121222CM x x x =−−=−−+，则当1x =时，CM 有最大值12，此时DM 有最小值32，又由AM ==DM 最小时，AM 最小，据此可判断④；由全等三角形的性质得到DNPB PE EF ===，设DN PB PE EF m ====，则2NC PC m ==−，2PN m =，由勾股定理得，()()()222222m m m −+−=，解得2m =−+2m =−−，中2BP =−+，据此可判断⑤．【详解】解：由折叠的性质可得CPM FPM APE APB ==∠∠，∠∠，∵180CPM FPM APE APB +++=°∠∠∠∠，∴90CPM APB ∠+∠=°，的∵四边形ABCD 是正方形，∴90C B ∠=∠=°，∴CMP BPA ∽△△，故①正确；∵四边形ABCD 是正方形，∴90AD AB D B =∠=∠=°，，由折叠的性质可得AE AB PB PE ==，，90AEP B ∠=∠=°， ∴90AD AE AEN D ==°=，∠∠，又∵AN AN =，∴()HL ADN AEN ≌，∴DN EN =，∴CNP 的周长4CN CP PN CN NE CP PE CN DN CP PB CD CB =++=+++=+++=+=， ∴CNP 的周长始终不变，故②正确：当P 为BC 中点时，则1PE PB PC ===，设DNNE x ==，则2CN x =−， 在Rt PCN △中，由勾股定理得222CN PC PN +=，∴()()222121x x +−=+， 解得23x =， ∴32DN =， ∴NE PE ≠，∴AE 不为线段NP 的中垂线，故③错误；设PB x =，则2PC x =−，∵CMP BPA ∽△△， ∴CM PC PB AB=，即22CM x x −=， ∴()()2211121222CM x x x =−−=−−+， ∴当1x =时，CM 有最大值12， ∴此时DM 有最小值32，∵AM ==∴当DM 最小时，AM 最小，∴52AM =最小值，故④错误； ∵ABP ADN △△≌，∴DNPB PE EF ===， 设DNPB PE EF m ====，则2NC PC m ==−，2PN m =， 在Rt PCN △中，由勾股定理得222CN PC PN +=，∴()()()222222m m m −+−=，解得2m =−+2m =−−，∴2BP =−+，故⑤正确；∴正确的有①②⑤，共3个，故选：B ．【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，二次函数的最值问题等等，熟知正方形的性质和折叠的性质是解题的关键． 二、填空题（共83分，第18题第1空1分，第2空2分，共24分） 11. 已知23a b =，则b a =_______． 【答案】32 【解析】【分析】本题主要考查了比例的性质，直接根据比例的性质求解即可． 【详解】解：∵23a b =， ∴32b a =， 故答案为：32． 12. 关于x 的方程 222310mm x x 是一元二次方程，则m 的值为______．【答案】-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，列出关于m 的一元二次方程和一元一次不等式，即可求解．【详解】∵ 222310m m x x 是一元二次方程，∴20m −≠，222m −=，解得2m =−，故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．13. 如果两个相似三角形的面积之比为4:9，这两个三角形的周长的和是100cm ，那么较小的三角形的周长为______cm ．【答案】40【解析】【分析】根据相似三角形的性质，即可解答．【详解】解： 两个相似三角形的面积之比为4:9，∴这两个三角形的周长之比为2:3，设两个三角形的周长分别为2k ，()30k k ≠，又 这两个三角形的周长的和是100cm ，23100k k ∴+=，解得20k =，故较小的三角形的周长为：()222040cm k =×=， 故答案为：40．【点睛】本题考查了相似三角形性质，熟练掌握和运用相似三角形的性质是解决本题的关键．14. 若α，β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2+3αβ+5β的值为____．【答案】12【解析】【详解】试题解析：∵α为22510x x −−= 的实数根，∴22510,αα−−= 即2251αα=+， 223551355()31ααββααββαβαβ∴++=+++=+++，∵α、β为方程22510x x −−=的两个实数根，的51,22αβαβ∴+==−， ∴25123553()112.22ααββ++=×+×−+= 故答案为12.点睛：一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是12,.x x 则1212,.b c x x x x a a +=−= 15. 电脑病毒传播快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，若每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，则x =__________．【答案】10【解析】【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x 台电脑，这(1)x +台电脑又感染给了(1)x x +台电脑．等量关系：经过两轮感染后就会有121台电脑被感染，然后可列方程进行求解．【详解】解：每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑，列方程得：1(1)121x x x +++=，221200x x +−=解得：112x =−（舍去），210x =． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染10台电脑．故答案为：10．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用中传播问题，题目比较典型，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．16. 已知关于x 的一元二次方程()()22121c x bx a x −−=+，其中a 、b 、c 分别为ABC 三边的长，如果方程有两个相等的实数根，则ABC 的形状为______．【答案】直角三角形【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=−有如下关系：①0∆>，方程有两个不相等的实数根，②0∆=，方程有两个相等的实数根，③0∆<，方程没有实数根．原方程可以化为()220a c x bx a c +++−=，由题意得出()()()2240b a c a c ∆=−+−=，推出222a b c =+，即可得解．【详解】解：原方程可以化为：()220a c x bx a c +++−=， ∵方程有两个相等的实数根，∴()()()2240b a c a c ∆=−+−=，∴222a b c =+，∴ABC 为直角三角形，故答案为：直角三角形．17. 如图，ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=°，3AB =，4AC =，点 D 在线段BC 上运动，P 为线段DE 的中点，在点D 的运动过程中，CP 的最小值是_______．【答案】2【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键．利用ABC ADE ∽△△，90BAC DAE ∠=∠=°，判定出ABD ACE ∽，通过相似三角形的性质可得到90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠，由P 为线段DE 的中点推出12CP DE =，再利用相似三角形的比值关系求出DE 的长即可．【详解】解：∵ABC ADE ∽△△， ∴AB AC AD AE=， ∵90BAC DAE ∠=∠=°，∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，∴BAD CAE ∠=∠， ∴ABD ACE ∽，∴ABD ACE ∠=∠，∵90ABD ACB ∠+∠=°，∴90ACE ACB ECD +=°=∠∠∠，∵P 为线段DE 的中点， ∴12CP DE =， ∴当DE 最小时CP 最小， 又∵DE AD BC AB=， ∴AD DE BC AB=×，BC 与AB 都为定值，即AD 最小时，DE 最小，则AD BC ⊥时符合题意，AD 为BC 边上的高，在Rt BAC 中，3AB =，4AC =，则：5BC， ∵1122ABC S AB AC BC AD =×=× ，即：1134522AD ××=××， 解得：125AD =， ∵AB AC AD AE=， ∴125543AD DE BC AB =×=×=， ∴114222CP DE ==×=； 故答案为：2．18. 如图①②，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为()，点(,0)M t 是横轴上的一点，点N 在y 轴上，且90MPN ∠=°，0t ≤≤．（1）如图①，当0t =时，PM PN=_______；（提示：过点P 作x 轴垂线，垂足为H ，交过点N 作y 轴的垂线于点G ）（2）连接MN ，设MN 的中点为T ，在点M 从0t =这个时刻走到t =这个时刻的过程中，点T 所走过的路线长是_______．【答案】 ①.②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理的等内容．（1）过P 作PH x ⊥轴于点H ，过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ，证PGN MHP ∽即可得解；（2）连接OT ，PT ，则OT PT =，所以点T 在点T 在线段PO 的垂直平分线上，从而发现当0t ≤≤时，点T 在DE 上运动，求出DE 长度即可．【详解】解：（1）过P 作PH x ⊥轴于点H ，过N 作y 轴的垂线交PH 于点G ，则90MPN PGN MHP ∠=∠=∠=°，()P ，3PH ∴=，GN MH ==，90MPN ∠=° ，90GPN MPH ∴∠+∠=°，90GPN PNG ∠+∠=° ，MPH PNG ∴∠=∠，90PGN MHP ∠=∠=° ，∴PGN MHP ∽，∴PM P M H PG PN N H G ===∴9PG ==，∴12ON GH PH PG ==+=，（2）如图，连接OT ，PT ，ON 的中点E ，过P 作PH x ⊥轴于点H ，则3PH =，OH =90MPN MON ∠=∠=° ，MN 的中点为T ，12MT NT MN ∴==， ∴点T 在线段PO 的垂直平分线上，设线段PO 的垂直平分线交x 轴于点D ，则OD DP =，DH OH OD DP =−=∵Rt PDH △中，222PD DH PH =+，∴()2223PD DP =+，解得OD DP ==当0t =时，M 与原点重合，此时90OPN ∠=°，得到12MN ON ==，此时点T 与ON 的中点E 重合，162OE ON ∴==，∴DE =，当t=时，OM=，此时HM OM OH =−=∴(22222336OP OP PH =+=+=，22222312MP HM PH =+=+=，∴(222248OP MP OM +==，∴90OPM NPM °∠=∠=，即此时点N 与原点重合，T 与D 重合，∴当0t ≤≤时，点T 在DE 上运动，点T所走过的路线为线段DE ，DE =即在点M 从0t=这个时刻走到t =这个时刻过程中，点T 所走过的路线长是故答案为：三、解答题（共10小题，共96分）19. 按要求解下列方程：（1）23610xx +−=（配方法）的（2）2650x x −+=（3）290x −−=（公式法）（4）()()()2243225x x x x +−−=+．【答案】（1）12x x =（2）1215x x ==，（3）12x x ==（4）12162x x =−=−， 【解析】【分析】本题主要考查了解一元二次方程：（1）先把二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再解方程即可；（2）把方程左边利用十字相乘法分解因式，然后解方程即可；（3）利用公式法解方程即可；（4）先把原方程化成一般式，再利用因式分解法解方程即可．【小问1详解】解：∵23610x x +−=， ∴21203x x +−=， ∴2123x x +=， ∴24213x x ++=，∴()2413x +=，∴1x +=解得12x x = 【小问2详解】解：∵2650x x −+=，∴()()150x x −−=， ∴10x −=或50x −=，解得1215x x ==，； 【小问3详解】解：∵290x −−=，∴19a b c =−=−，，∴(()2419480∆=−−××−=>，∴x解得12x x ==【小问4详解】解：∵()()()2243225x x x x +−−=+，∴()()22246944210x x x x x x ++−−+=+∴22242436442100x x x x x ++−+−−−=，∴218320x x ++=， ∴()()2160x x ++=， ∴20x +=或160x +=，解得12162x x =−=−，． 20. 化简再求值：2221111a a a a a −− ÷−− −+，其中a 是方程280x x −−=的根． 【答案】21−a a ，18【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义，先把小括号内的分式通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，再根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到280a a −−=，即28a a −=，据此可得答案． 【详解】解：2221111a a a a a −− ÷−− −+()()22121111a a a a a a −−−+÷+−+ ()()222111a a a a a a −−÷+−+ ()()()21112a a a a a a −+⋅+−− ()11a a =− 21a a=−， ∵a 是方程280x x −−=的根，∴280a a −−=，∴28a a −=，∴原式18=． 21. 已知关于x 的方程2(2)20x k x k −++=（1）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰ABC 的一边3a =，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析（2）7或8【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，等腰三角形的周长．（1）证明Δ0≥即可得到无论k 取任何实数，方程总有实数根；（2）先解方程得到2x =或x k =，再根据等腰ABC 分情况计算即可．【小问1详解】证明：()()22Δ24122k k k =−+−××=− ， 无论k 取何值，2(2)0k −≥，∴Δ0≥，∴无论k 取任何实数，方程总有实数根；【小问2详解】解：2(2)20x k x k −++=． (2)()0x x k ∴−−=，2x ∴=或x k =， ∵3a =，两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，∴ABC 的三边长为2，3，k ，∴当2k =时，等腰ABC 的为2，3，2，此时周长3227a b c =++=++=；当3k =时，等腰ABC 的为2，3，3，此时周长3328a b c =++=++=；综上所述，ABC 的周长为7或8．22. 如图，在6×10的方格纸ABCD 中有一个格点△EFG ，请按要求画线段．（1）在图1中，过点O 画一条格点线段PQ （端点在格点上），使点P ，Q 分别落在边AD ，BC 上，且PQ 与FG 的一边垂直．（2）在图2中，仅用没有刻度的直尺找出EF 上一点M ，EG 上一点N ，连结MN ，使△EMN 和△EFG 的相似比为2：5．（保留作图痕迹）【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据题意找到格点,P Q ，画出线段PQ 即可【小问1详解】如图所示，PQ 即为所求，【小问2详解】如图所示，取格点,J K，连接OJ交EF于点M，连接OK交EG于点N连接MN，则MN即为所求，//EO JFMOE MHF∴∽∴23 OE MEJF MF==同理23 ENNG=,EM ENE EMF EG∴=∠=∠EMN EFG∴∽∴25 EMEF=．【点睛】本题考查了相似变换作图，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定是解题的关键．23. 如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，交对角线AC于点G．（1）若12DE AD ==，，求CF DF的值； （2）求证：BCF EAB ∽ ．【答案】（1）2（2）证明见解析【解析】【分析】本题考查几何综合，涉及平行四边形性质、相似三角形的判定与性质和平行线性质等知识，熟记平行四边形性质、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．（1）由平行四边形性质，结合三角形相似的判定与性质即可得到答案；（2）由平行线性质得到EAB BCD ∠=∠、AD BC ∥，结合平行线性质得到E CBE =∠∠，利用相似三角形的判定定理即可得证．小问1详解】解：在平行四边形ABCD 中，2BC AD ==，AD BC ∥，DEF CBF ∴∽△△，221CF BC DF DE ∴===； 【小问2详解】证明：由（1）知AD BC ∥，则E CBE =∠∠，在平行四边形ABCD 中，EAB BCD ∠，∴BCF EAB ∽ ．24. 济南市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同.（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；（2）经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？【答案】（1）头盔销售量的月增长率为20%；（2）该品牌的头盔每个应涨价5元.【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x ，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x 的一【元二次方程，解之取其正值即可；（2）设头盔每个涨价m 元，根据“月销售利润达到6000元”，得出关于m 的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可．【小问1详解】解：设头盔销售量的月增长率为x ，根据题意得：()23751540x +=，解得10.2x =，2 2.2x =−（舍去）， ∴头盔销售量的月增长率为20%；【小问2详解】解：设头盔每个涨价m 元，根据题意得：()()10500206000m m +−=， 整理得215500m m −+=，解得15m =，210m =（舍去）， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元25. 材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程()2200,40ax bx c a b ac ++=≠−的两根1x ，2x 有如下的关系（韦达定理）：12b x x a+=，12c x x a⋅=； 材料2：如果实数m 、n 满足210m m −−=、210n n −−=，且m n ≠，则可利用根的定义构造一元二次方程210x x −−=，将m 、n 看作是此方程的两个不相等实数根．请根据上述材料解决下面问题：（1）①已知一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，则12x x +=_______，12x x ⋅=_______．②已知实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430b b +−=（a b ≠），则11a b+=_______． （2）已知实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+，且0m n <<，求(1)(1)m n ++的取值范围．【答案】（1）①1.5， 2.5−；②43（2）()()5119m n <++<【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式．（1）①根据根与系数的关系解答；②根据题意，得到实数a ，b 是方程 2430x x +−= 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，m ，n 是方程24110x x t −−−=的解，进而得到(1)(1)16m n mn m n t ++=+++=−−，再根据根与系数的关系和根的判别式求出t 的范围，即可．【小问1详解】解：① 一元二次方程22350x x −−=的两根分别为1x ，2x ，12 1.5x x ∴+=，12 2.5x x ⋅=−， 故答案为：1.5， 2.5−；② 实数a ，b 满足：2430a a +−=，2430()b b a b +−=≠， a ∴，b 是方程2430x x +−=的解， ∴aa +bb =−4，3ab =−， ∴1143a b a b ab++==； 故答案为：43； 【小问2详解】解： 实数m 、n 、t 满足：2411m m t −=+，2411n n t −=+m ∴，n 是方程24110x x t −−−=的解，4m n ∴+=，11mn t =−−， (1)(1)16m n mn m n t ∴++=+++=−−0m n << ，∴()Δ1641110t =−××−−>，110mn t =−−>，解得1511t −<<−，569t ∴<−−<，5(1)(1)9m n ∴<++<．26. 每到三月就会让人想起那句：“西湖美景，三月天哪”，雷峰塔是杭州西湖的标志性景点，为了测出雷峰塔的高度，初三学生小白设计出了下面的测量方法：已知塔前有一4米高的小树CD ，发现水平地面上点E 、树顶C 和塔顶A 恰好在一条直线上，测得57BD =米，D E 、之间有一个花圃无法测量，然后在E 处放置一个平面镜，沿BE 后退．退到G 处恰好在平面中看到树顶C 的像，此时 2.4EG =米，测量者眼睛到地面的距离FG 为1.6米，求出塔高AB ．【答案】塔高AB 为42米【解析】【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，根据题意得到FGE CDE ∽ ，利用相似三角形的性质得出DE ，再证明ABE CDE ∽△△，利用相似三角形的性质，即可得出AB ．【详解】解：由题知CED FEG ∠=∠，CD BG ⊥，FG BG ⊥，∴90FGE CDE ∠=∠=°，∴FGE CDE ∽ ， ∴FG EG CD DE=， 2.4EG =米， 1.6FG =米，4CD =米， ∴1.62.44DE =， 解得：6DE =米，AB BG ⊥，∴90ABE CDE ∠=∠=°，∴AB CD ∥，∴ABE CDE ∽△△， ∴AB BE CD DE=， 57BD =米，∴57663BE BD DE =+=+=米，∴6346AB =， 解得：42AB =米，答：塔高AB 为42米．27. 阅读感悟：已知方程2210x x +−=，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y ，则2y x =．所以2y x =． 把2y x =代入已知方程，得221022y y +⋅−=． 化简，得2440y y +−=，故所求方程为2440y y +−=．这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．解决问题：（1）已知方程230x x −−=，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．则所求方程为：______；（2）方程20ax bx c ++=()20040a c b ac ≠≠−≥，，的两个根与方程______的两个根互为倒数． （3）已知关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−，求关于y 的一元二次方程()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠的两个实数根．【答案】（1）2310y y −−=（2）20cy by a ++=（3）2025和2022【解析】【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键．（1）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；（2）仿照例子，写出已知方程和所求方程的根的关系，进行替换，化简可得所求方程；（3）由（2）可得：关于x 的一元二次方程的根与关于2024y −的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于2024y −的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根，即可得解．【小问1详解】解：设所求方程的根为y ，则1y x =+， 1x y ∴=−，把1x y =−代入已知方程得：()()21130y y −−−−=，化简得：2310y y −−=，故答案为：2310y y −−=；【小问2详解】解：设所求方程的根为y ，则1y x =， 1x y∴=， 把1x y =代入已知方程得：2110a b c y y ++=， 化简得：20cy by a ++=，故答案为：20cy by a ++=；【小问3详解】解：()()()22024420200c y b y b a c −+−=−≠ ， ()()2202420240c y b y a ∴−+−+=， 由（2）可得：关于x 的一元二次方程的根与关于2024y −的一元二次方程的根互为倒数， 12024y x−∴=， 关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根分别为1和12−， ∴关于2024y −的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根分别为1和2−， ∴20241y −=或20242y −=−，解得：2025y =或2022y =， ∴关于y 的一元二次方程()()2202420240c y b y a −+−+=的两个实数根分别为2025或2022．28. 如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C 、点D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程218720x x −+=的两根（OA OC >），5BE =，43OB OA =． （1）求点A 、点C 的坐标；（2）求直线CD 的解析式；（3）在x 轴上是否存在一点P ，使以点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(12,0)A ，(6,0)C −；（2）483y x =+；（3）存在，1(3,0)P ，2(19,0)P 【解析】 【分析】（1）用因式分解法求解一元二次方程，即可求解；（2）根据相似三角形求得点E 的坐标，再用待定系数法求解即可；（3）分两种情况进行讨论，当90EPC ∠=°和90CEP ∠=°时，利用相似三角形的性质，分别求解即可．【详解】解：（1）解方程218720x x −+=得，16x =，212x =，∵ OA OC >，∴12OA =，6OC =，∴(12,0)A ，(6,0)C −（2）作EF y ⊥于F∵5BE =，43OB OA =，∴412163OB =×=，∴20AB∵EF OA ∥∴BEF BAO △∽△，∴EFBF BE AO BO BA==，即5121620EF BF == ∴3EF =，4BF =，16412OF =−=，∴(3,12)E设直线CD 的解析式为y kx b =+∴60312k b k b −+= += ，解得438k b = = ∴设直线CD 的解析式为483y x =+（3）存在满足条件的点P 使得点C 、E 、P 为顶点的三角形与DCO ∆相似，由题意可得：(0,8)D，15CE ==，10CD =∵90COD ∠=°，DCO ECP ∠=∠当90EPC ∠=°时，COD CPE △∽△，此时(3,0)P当90CEP ∠=°时，COD CEP △∽△ 则OC CD CE CP =，即61015CP=，解得25CP = 19OP CP OC =−=∴(19,0)P综上，(3,0)P 或(19,0)P【点睛】此题考查了一次函数与几何的应用，涉及了相似三角形的性质，待定系数法求解函数解析式，解题的关键是掌握一次函数和相似三角形的有关性质．。

一、单选题1．如图，在四边形ABCD 中，若，则图中相等的向量是（ ）AB DC =A ．与B ．与C ．与D ．与AD CBOB OD AO OC AC BD 【答案】C【分析】利用向量相等的定义即可判断出图中相等的向量.【详解】由，可得四边形ABCD 为平行四边形. AB DC =选项A ：与互为相反向量，判断错误；AD CB选项B ：与互为相反向量，判断错误；OB OD选项C ：与满足向量相等的定义，判断正确；AO OC选项D ：与方向不同不满足向量相等的定义，判断错误. AC BD故选：C2．下列关于向量的命题正确的是（ ） A ．若，则B ．若，则||||a b = a b =||||a b = //a bC ．若，，则D ．若，，则a b = b c =a c = //ab //b c//a c 【答案】C【分析】利用平面向量的知识对每一个选项逐一分析判断得解．【详解】选项A ，向量的长度相等，方向不一定相同，从而得不出，即该选项错误； a b =选项B ，长度相等,向量可能不平行，该选项错误；∴选项C ，显然可得出，该选项正确；,a b b c ==a c = ∴选项D ，得不出，比如不共线，且，该选项错误. //,//ab bc //a c ,a c 0b = ∴故选：C .3．已知向量，，则（ ）()1,2a =-()3,1b = ()a ab ⋅-= A ．2 B ．4 C ．6 D ．-6【答案】C【分析】首先根据平面向量的坐标运算得到，再根据平面向量数量积的运算进行计算即可得出a b -答案.【详解】，.()=4,1a b --()()14126a a b ⋅-=-⨯-+⨯= 故选：C.4．在中，已知，，，则角的大小为（ ） ABC A =2b 3c =1sin 3B =C A ．B ．C ．或D ．或6π3π6π56π3π23π【答案】C【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案. 【详解】由正弦定理，可得，则，由，则， sin sin b cB C =311sin sin 232c C B b ==⨯=>c b C B >由，则或. ()0,C π∈6C π=56π故选：C.5．在△中，为边上的中线，为的中点，则ABC AD BC E AD EB =A ．B ．3144AB AC -1344AB AC -C ．D ．3144+AB AC1344+AB AC【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后1122BE BA BD =+应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到，之后将其合并，得到BC BA AC =+，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果.3144BE BA AC =+3144EB AB AC =- 【详解】根据向量的运算法则，可得，()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC=++=+所以，故选A.3144EB AB AC =-【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.6．平面向量与的夹角为，，，则（ ） a b60︒1a = 2b = 2a b -= A B ．2C ．4D ．12【答案】B【分析】根据向量模的公式直接计算结果.【详解】2a = ，，，21a = 24b = cos 601⋅==a b a b. 22a ∴= 故选：B【点睛】本题考查向量数量积，向量的模，重点考查计算，属于基础题型,.7．已知向量，（其中，），若与共线，则的最小值为()3,a m n =-()2,1b =-r 0m >0n >a b 412m n +（ ） A ．B ．C ．D ．94346159【答案】B【分析】本题首先可以根据与共线得出，然后将转化为，通过a b 23n m +=412m n +18532n m m n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭基本不等式即可得出结果.【详解】因为与共线，，， a b()3,a m n =-()2,1b =-r 所以，即，()32m n --=23n m +=则， ()411411812553232323n m n m m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯+⨯+=++≥= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当、时等号成立， 12n =2m =故的最小值为， 412m n+3故选：B.8．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且，若，222b c a bc +=+2sin sin sin B C A =则△ABC 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】先依据条件求得，再利用可以求得，从而判断222b c a bc +=+π3A =2sin sin sinBC A =b c =△ABC 的形状是等边三角形【详解】△ABC 中，，则222b c a bc +=+2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又，则0πA <<π3A =由，可得，代入 2sin sin sinBC A =2a bc =222b c a bc +=+则有，则，则 222b c bc bc bc +=+=()20b c -=b c =又，则△ABC 的形状是等边三角形 π3A =故选：C二、多选题9．下列能使成立的是（ ） //a bA ．B ．C ．与方向相反D ．或a b = a b = a b0a =0b = 【答案】ACD【解析】根据向量共线的定义判断可得； 【详解】解：对于A ，若，则与大小相等且方向相同，所以；对于B ，若，则a b =a b //a b r r a b =r r与的大小相等，而方向不确定，因此不一定有；对于C ，方向相同或相反的向量都是平行a b //a b r r向量，因此若与方向相反，则有；对于D ，零向量与任意向量平行，所以若或a b //a b r r0a = 0b = ，则. //a b r r故选：ACD 【点睛】本题考查平行向量共线的定义的理解，属于基础题. 10．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．B ． 2130,2(0),2e e →→⎛⎫⎪⎝⎭＝,＝()()12120,0e e →→-＝，＝,C ． D ．()()121,326e e →→--＝，＝,()()123,5,5,3e e →→＝＝【答案】AD【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的向量.【详解】对于A ，，可以作为基底； 300202⨯-⨯≠12,e e →→对于B,，共线，不能作为基底；120e e →→=⋅12,e e →→对于C,，共线，不能作为基底；1212e e →→=-⋅12,e e →→对于D ，，可以作为基底. 33550⨯-⨯≠12,e e →→故选:AD.11．已知点，，，，则下列结论正确的为（ ） ()0,0O ()1,3A ()3,1B (),OP OA OB R λμλμ=+∈A ．当时， 2λμ=OP AB ⊥ B ．当时，点P 在直线AB 上1λμ+=C ．当时，λμ=OP AP OB =+D ．当时，在1λμ-=OP AB【答案】BD【分析】对A ，计算出即可判断；对于B ，由条件得可判断；对于C ，用反证法OP AB ⋅ BP BA λ=证明；对于D ，根据投影向量的模计算即可.【详解】由已知， (2,2),(1,3),(3,1),(2,2)AB OA OB BA =-===-对于A ，由，得，所以， 2λμ=2(0)λμμ=≠2(5,7)OP OA OB μμμμ=+= 所以，不正确，故A 不正确； (5,7)(2,2)101440OP AB μμμμμ⋅⋅-===--≠ OP AB ⊥对于B ，当时，由，1λμ+=OP OA OB λμ=+得,从而可知点三点共线，因此点()(1)OP OA OB OP OB OA BP BA OB λλλλ⇒-==+--⇒=,,A B P P 在直线AB 上，故B 正确；对于C ，若成立，则有，这显然不成立，故C 不正OP AP OB =+ OP OP OA OB OA OB =-+⇒=确；对于D ，当时，，1λμ-=()(43,411))(OP OA OB OA OB OB λλλλλ=+-==+---则在方向上的投影向量的模为D 正OP AB ||O P 确. 故选：BD12．在中，角的对边分别为.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的ABC A ,,A B C ,,a b c是（ ）A ．，有唯一解 5,7,8a b c ===B ．，无解 18,20,60b c B ===°C ．，有两解 8,45a b B ===︒D ．，有唯一解 30,25,150a b A ===︒【答案】AD【分析】根据三边确定可判断A 选项；由正弦定理，在结合大边对大角可判断B ，C ，D 选项. 【详解】解：选项A ，，已知三边三角形确定，有唯一解，A 正确；5,7,8a b c ===选项B ，由正弦定理得：，则，再由大边对大角可得sin sin b c B C=sin sin 1c B C b ==<，故可以为锐角，也可以为钝角，故三角形有两解，B 错误；C B >C选项C ，由正弦定理得：，则，且，由大边对大角sin sin a b A B=sin 1sin 12a B A b ===<a b <可得，则只能为锐角，故三角形有唯一解，C 错误； A B <A 选项D ，由正弦定理得：，，由于，则是sin sin a bA B =sin 25sin1505sin 13012b A B a ︒===<150A =︒B 锐角，有唯一解，D 正确. 故选：AD.三、填空题13．已知，点P 在直线上，且，则点P 的坐标是_____．()()2,5,10,3A B --AB 13PA PB =-【答案】(1,3)【分析】由题意可知，三点共线，且有，设出点的坐标，利用向量相等的条,,A B P 13PA PB =-P 件建立方程求出点P 的坐标 【详解】解：设(),P x y ，点P 在直线上()()2,5,10,3A B -- AB ，(,)PA x y ∴=--- 25(,)PB x y =---103，则有PA PB =- 1312(10)315(3)3x x y y ⎧--=--⎪⎪⎨⎪-=---⎪⎩解得 13x y =⎧⎨=⎩()1,3P ∴【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P 的坐标.14．设，是不共线的两个非零向量，若，，，且点a b 12OA ka b =+ 45OB a b =+ 10OC ka b =-+ A ，，在同一直线上，则__________． B C k =【答案】.23-【分析】根据向量共线得方程，解得k 的值.【详解】由题得 ()()47,45,AB OB OA k a b CB OB OC k a b =-=--=-=+-因为点，，在同一直线上，所以 A B C 472,.453k k k --=∴=-+-故答案为23-【点睛】本题考查向量共线，考查基本求解能力15．已知向量，．若向量与垂直，则________．(1,2)a =- (,1)b m =r a b +a m =【答案】7【分析】首先求出的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到，根据向量数量积的a b +()0a b a +⋅= 坐标运算得到方程，即可求得实数的值．m 【详解】解：因为，，所以，因为向量与垂直，所以(1,2)a =- (,1)b m =r ()1,3a b m +=- a b +a ，解得，()()1230a b a m +⋅=--+⨯=7m =故答案为：7．16．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且，，ABC A sin A B =6C π=ac ______．=a【分析】先由正弦定理及已知条件得出a ，b，c 之间的关系，再由余弦定理求出即可． 【详解】∵，根据正弦定理得，sin A B =a∴，又∴， b =acc=π6C =再根据余弦定理得∴，解得222cos 2b a c C ab +-===a =四、解答题17．已知向量，，，且，． (1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥(1)求向量、；b c(2)若，，求向量，的夹角的大小.2m a b =- n a c =+m n 【答案】(1)， (3,6)b = (2,1)c =-(2) 34π【分析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求，，进而可求；x y （2）设向量，的夹角的大小为．先求出，，然后结合向量夹角的坐标公式可求． m n θmn 【详解】（1）解：因为，，，且，，(1,2)a = (3,)b x = (2,)c y = //a b a c ⊥所以，， 230x -⨯=220a c y ⋅=+=所以，，6x =1y =-所以，；(3,6)b = (2,1)c =-（2）解：设向量，的夹角的大小为．mn θ由题意可得，，，()()()22,43,61,2m a b =-=-=--(3,1)n a c =+= 所以cos ||||m n m n θ⋅= 因为，所以． 0θπ≤≤34πθ=18．在中，、、所对的边分别为、、，，． ABC A A B C a b c π3B =57a b =(1)求的值； sin A (2)若，求．7b =c【答案】(2) 8c =【分析】（1）由正弦定理可得，又因为，代入即可求出．sin sin a B A b=π3B =sin A （2）首先得到，再由余弦定理，可得边． a 2222cos b c a ca B =+-c 【详解】（1）因为，， π3B =57ab =所以由正弦定理得sin 5sin 7a B A b ===（2）因为，，所以．7b =57a b =5a =由余弦定理得， 2222cos b c a ca B =+-222755c c =+-解得或（舍）．8c =3c =-19．已知、是非零向量， ， 且、．a b()a ab ⊥- a = 4b = (1)求与的夹角；a bθ(2)求． 32a b - 【答案】(1)6π(2)【分析】（1）依题意可得，根据数量积的运算律求出，再根据计算可()0a a b ⋅-= a b ⋅cos a b a bθ⋅=⋅得；（2）根据32a b -=【详解】（1）解：因为，所以，即，即，()a ab ⊥- ()0a a b ⋅-= 20a a b -⋅=212a b a ⋅== 所以，所以；cosa b a b θ⋅⋅===[]0,θπ∈6πθ=（2）解：32a b-=====20．如图，在中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，，，． ABC A 23AE AD =AB a =AC b =(1)用，分别表示向量，；a b AE BF (2)求证：B ，E ，F 三点共线．【答案】(1)，()13A a b E += 12=-+BF a b (2)证明见解析【分析】（1）由，得到，()()1122AD AB AC a b =+=+()2133AE AD a b ==+ 由，得到． 1122== AF AC b 12BF AF AB a b =-=-+（2）由（1）知，，得到即可．12=-+ BF a b 21213332BE AE AB a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭ 23BE BF = 【详解】（1）∵，()()1122AD AB AC a b =+=+∴，∵， ()2133AE AD a b ==+1122== AF AC b ∴．12BF AF AB a b =-=-+ （2）由（1）知，12=-+BF a b ，21213332BE AE AB a b a b ⎛⎫=-=-+=-+ ⎪⎝⎭∴．∴与共线．23BE BF = BEBF 又BE ，BF 有公共点B ，所以B ，E ，F 三点共线．21．在中，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知. ABC A cos sin a B b A =(1)求B ；(2)若，求b 的值. a =3c =【答案】(1)；4B π=(2). b =【分析】（1）利用正弦定理，将边化角转化，即可求得；cos sin a B b A =B（2）利用余弦定理，结合（1）中所求，即可求得.b 【详解】（1）在中，由正弦定理得，ABC A sin cos sin sin A B B A =因为，所以，所以，0A π<<sin 0A ≠tan 1B =又因为，所以.0B π<<4B π=（2）在中，由余弦定理得，ABC A 2222cos b a c ac B =+-代入数据解得， 229235b =+-=所以b 22．如图，在矩形中，，，点为的中点，点在上，且． ABCD 4AB =3AD =P CD Q BC 2BQ =（1）求；AP AQ ⋅ （2）若（，），求的值. AC AP AQ λμ=+ λμ∈R λμ【答案】（1）14；（2）. 23λμ=【分析】分别以边，所在的直线为轴，轴，点为坐标原点，建立平面直角坐标系，利AB AD x y A 用向量坐标的线性运算以及数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：如图，分别以边，所在的直线为轴，轴，AB AD x y 点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A 则，，，，.()0,0A ()2,3P ()4,0B ()4,3C ()4,2Q（1）∵，，()2,3AP = ()4,2AQ = ∴.243214AP AQ ⋅=⨯+⨯= （2）∵，，，()4,3AC = ()2,3AP = ()4,2AQ = 由，得，AC AP AQ λμ=+ ()()4,324,32λμλμ=++∴解得 244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴. 23λμ=【点睛】本题考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标运算，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。

西南大学附中初2024届初三下定时训练（七）数学试题（满分：150分，考试时间：120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作围（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．训练结束，将试卷和答题卡一并收回．一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分，请将答题卡上对应题目的正确答岁号涂黑．1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查无理数定义，掌握无理数的概念是关键．根据无理数的概念判断即可．【详解】A ．2是正整数，属于有理数，故选项不符合题意；B ． 是无限不循环小数，属于无理数，故选项符合题意；C ． 是分数是有理数，故选项不符合题意；D ． 是有限小数，属于有理数，故选项不符合题意；故选：B ．2. 下列四个劳动工具的图形中，是轴对称图形的是（ ）A.B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．根据轴对称图形的定义进行判断即可．π13 3.14159π133.14159【详解】解：A 中不是轴对称图形，故不符合要求；B 中不是轴对称图形，故不符合要求；C 中是轴对称图形，故符合要求；D 中不是轴对称图形，故不符合要求；故选：C ．3. 若反比例函数的图象经过，则的值是（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，准确计算是解题的关键．直接将点代入反比例函数中，即可求解．【详解】解：将点代入反比例函数，得：，解得：，故选：A ．4. 若两个相似三角形的周长之比是1：4，那么这两个三角形的面积之比是（ ）A. 1：4B. 1：2C. 1：16D. 1：8【答案】C【解析】【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得答案．【详解】解：∵相似三角形的周长之比是1：4，∴对应边之比为1：4，∴这两个三角形的面积之比是：1：16，故选C ．【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．5. 如图，若，则的度数是（ ）k y x =()1,3-k 3-2-()1,3-k y x=()1,3-k y x =31k =-3k =-,,1130AB CD CE AF ⊥∠=︒∥C ∠A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】此题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，进而根据邻补角得出，再根据三角形的内角和即可求出．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：B ．6. 估计的值应在（ ）A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间【答案】B【解析】【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的方法以及算术平方根的定义是正确解答的关键．利用二次根式混合运算方法先进行化简，再根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．【详解】解：原式30︒40︒50︒60︒AFD ∠50AFC ∠=︒C ∠,1130AB CD ∠=︒∥1130AFD ∠=∠=︒50AFC ∠=︒CE AF ⊥90CEF ∠=︒9040C AFC ∠=︒-∠=︒6-==-6=-23<<32∴-<<-即，故选：B7. 如图，第1个图案中有2个黑色正方形，第2个图案中有4个黑色正方形，第3个图案中有8个黑色正方形，第④个图案中有12个黑色正方形，……，依此类推，第⑧个图案中黑色正方形的个数是（ ）A. 20B. 30C. 40D. 50【答案】C【解析】【分析】本题考查图形类规律探究，根据已有图形，得到黑色正方形关于大正方形的对角线对称，进行求解即可．【详解】解：由图可知：图①中有个黑色正方形，图②中有个黑色正方形，图③中有个黑色正方形，图④中有个黑色正方形，图⑤中有个黑色正方形，图⑥中有个黑色正方形，图⑦中有个黑色正方形，图⑧中有个黑色正方形，故选C ．8. 如图，⊙O 是等边的外接圆，过点作⊙O 的切线交的延长线于点，若，则的长为()63662∴-<-<-643<<34∴<<2224⨯=2248⨯+=()24212+⨯=()242618+⨯+=()246224++⨯=()2462832++⨯+=()2468240+++⨯=ABC A BO D 1OB =ODA. 2B. 3C.D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，含度角的直角三角形的性质；连接，根据等边三角形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论．【详解】解：连接，是等边三角形，，，，，，，是的切线，，，，故选：A ．9. 如图，将正方形的边绕点顺时针旋转得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（）30OA AB BC =BD AC ⊥1302ABD ABC ∠=∠=︒30BAO ABO ∠=∠=︒90OAD ∠=︒OA ABC AB BC ∴=BD AC ∴⊥1302ABD ABC ∴∠=∠=︒OB OA = 30BAO ABO ∴∠=∠=︒60AOD ABO BAO ∴∠=∠+∠=︒AD O 90OAD ∴∠=︒30D ∴∠=︒22OD OA ∴==ABCD BC C CE AE AE A 90︒AF ,FE FB ()090BCE αα∠=<<︒ABF ∠A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质．连接，根据正方形的性质求得，，由得到，通过“”证明，即可解答．【详解】解：连接，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴，∴∵由旋转得，∴，∴，∴，由旋转可得，即，∵，∴，2α30α-︒452α︒-2αDE 90ECD BCD BCE α∠=∠-∠=︒-18090CDE CED ECD α∠+∠=︒-∠=︒+CD CE CB ==1452CDE CED α∠=∠=︒+SAS ADE ABF ≌DE ABCD AB BC CD AD ===90BCD ADC BAD ∠=∠=∠=︒BCE α∠=90ECD BCD BCE α∠=∠-∠=︒-()1801809090CDE CED ECD αα∠+∠=︒-∠=︒-︒-=︒+CE BC =CE CD =1452CDE CED α∠=∠=︒+1190454522ADE ADC CDE αα⎛⎫∠=∠-∠=︒-︒+=︒- ⎪⎝⎭90EAF ∠=︒90EAB FAB ∠+∠=︒90DAE EAB ∠+∠=︒DAE BAF ∠=∠∵，，∴，∴．故选：C ．10. 将代数式中的任意两个加号变为减号，然后再去掉括号，这样的操作称之为“双减运算”，例如：．下列说法：①不存在两个“双减运算”的结果和为0；②所有可能的“双减运算”共有10种不同的运算结果；③所有可能的“双减运算”结果中只含有两个减号的有5种．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了去括号法则和整式的加减计算，分别选择五个加号中的任意两个加号变为减号，然后去括号计算出所有的结果即可判断②③；对于运算结果和，两式子相加可得，当满足时，两式相加的结果为0，即可判断①．【详解】解：选择改变第一和第二个加号：；选择改变第一和第三个加号：；选择改变第一和第四个加号：；选择改变第一和第五个加号：；选择改变第二和第三个加号： ；选择改变第二和第四个加号： ；选择改变第二和第五个加号：；选择改变第三和第四个加号： ；AD AB =AE AF =()SAS ADE ABF ≌1452ABF ADE α∠=∠=︒-()()a b c d e f +++++()()a b c d e f a b c d e f --+++=-+-++a b c d e f --+++a b c d e f -----222a b c --a b c =+()()a b c d e f a b c d e f --+++=-+-++()()a b c d e f a b c d e f -+-++=--+++()()a b c d e f a b c d e f -++-+=-----()()a b c d e f a b c d e f -+++-=---+-()()a b c d e f a b c d e f +--++=+--++()()a b c d e f a b c d e f +-+-+=+-+--()()a b c d e f a b c d e f +-++-=+-++-()()a b c d e f a b c d e f ++--+=++---选择改变第三和第五个加号：；选择改变第四和第五个加号：；由以上可得，所有可能的“双减运算”共有10种不同的运算结果，故②说法正确；所有可能“双减运算”结果中只含有两个减号的有5种，故③说法正确；对于运算结果和，两式子相加可得，当满足时，两式相加的结果为0，故①说法错误；故选：C ．二、填空题：本大题共有8个小题，每小题4分，共32分．请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. _______．【答案】【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，掌握负整数指数次幂和绝对值的运算法则是解题的关键．【详解】解：故答案为：．12. 若一个正多边形的内角和恰好是其外角和的4倍，则该正多边形的每一个外角是_______．【答案】##36度【解析】【分析】本题考查多边形的内角和与外角和综合．根据多边形内角和的计算方法求出这个正多边形的边数，再根据正多边形的每一个外角都相等且外角和是进行计算即可．【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得，，解得，即这个正多边形是正十边形，所以它的每一个外角为，故答案为：．的()()a b c d e f a b c d e f ++-+-=++-+-()()a b c d e f a b c d e f +++--=+++-+a b c d e f --+++a b c d e f -----222a b c --a b c =+2112-⎛⎫+- ⎪⎝⎭3+3+2114132-⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭336︒360︒n ()21803604n -⨯︒=︒⨯10n =0303166︒=︒36︒13. 不透明袋子里有1个红球，1个黄球，2个蓝球（这些球除颜色外完全相同）．小明和小红随机抽取一次，抽取后不放回，则小明和小红都没有抽到蓝球的概率为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图，共有12种等可能的结果，其中小明和小红都没有抽到蓝球的有2种情况，然后由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小明和小红都没有抽到蓝球的结果有2种，小明和小红都没有抽到蓝球的概率为．故答案为：．14. “阅百十风华，致生涯广大”—附中将迎来办学周年系列庆祝活动，文创产品深受校友们的喜爱，其中最热卖的单品是“烟雨伞”．据了解，2月份销售数量是把，4月份销售数量是把，设3、4月份“烟雨伞”销售数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．由题意知，3月份的销售量为，4月份的销售量为，然后列方程即可．【详解】解：依题意得，，故答案为：．15. 如图，在中，，以点为圆心，线段的长为半径作弧，与交于点，与交于点．若，则图中阴影部分面积为_______．（结果保留）16∴21126=161101700287121700(1)2871x +=()17001x +()217001x +21700(1)2871x +=21700(1)2871x +=ABC 90,60ABC BAC ∠=︒∠=︒B BA AC D BC E 2AB =π【答案】【解析】【分析】本题考查不规则图形的面积，连接，证明是等边三角形，得到，，过D 作于H ，求得求解即可．【详解】解：连接，∵，，∴是等边三角形，∴，过D 作于H ，则∵，∴，∴故答案为：16. 如图，在矩形中，，，平分，交于点，连接，交于点，则的长为_______．3π+BD ABD △60ABD ∠=︒30DBE ∠=︒DH AB ⊥DH =ABD DBE S S S =+ 阴影扇形BD 2AB BD ==60BAC ∠=︒ABD △60ABD ∠=︒DH AB ⊥sin602DH BD =⋅︒=⨯=90ABC ∠=︒906030DBE Ð=°-°=°ABD DBE S S S =+ 阴影扇形230π2123602⨯=+⨯π3=+π3+ABCD 8AB =6BC =CE ACB ∠AB E DE AC F EF【解析】【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质、相似三角形的判定和性质．设到、的距离是，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，求出，得到，由勾股定理求出，由，推出，即可求出的长．【详解】解：平分，到、的距离相等，设这个距离是，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，∵，，，E BC AC x 10AC ==6816x ⨯=3x =3BC x ==DE ==AEF CDF ∽△△::FE FD AE CD =EF CE ACB ∠E ∴BC AC x ABCD 90B BAD ∴∠=∠=︒AB CD ∥6AD BC ==8AB = 6BC =10AC ∴==ABC ACE BCE S S S =+ △△△∴1111()2222AB BC BC x AC x BC AC x ⋅=⋅+⋅=+⋅6816x ∴⨯=3x ∴=EB BC ⊥ 3BC x ∴==835AE AB BE ∴=-=-=DE ∴==AE CD ∥AEF CDF ∴ ∽::FE FD AE CD ∴=，．17. 若关于的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_______．【答案】4【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程等知识点，先解一元一次不等式组，求出x 的取值范围，然后根据关于x 的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，求出a 的取值范围，再解分式方程，根据关于y 的分方程有非负整数解，列出关于a 的不等式，求出a 的值，从而求出答案即可，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．【详解】，由①得：，由②得：，∴不等式组的解集为，∵关于x 的一元一次不等式组有解且至多有5个整数解，∴，∵，∴，∴，∴，∵关于y 的分式方程有非负整数解，):5:8EF EF ∴=EF ∴=x 2840x x a +>⎧⎨-≤⎩y 24111y a y y y---=--a 2840x x a +>⎧⎨-≤⎩24111y a y y y---=--2840x x a +>⎧⎨-≤⎩①②2x >-x a ≤2x a -<≤2840x x a +>⎧⎨-≤⎩24a -<<24111y a y y y ---=--24111y a y y y --+=-+241y a y y -+-=-32a y +=24111y a y y y ---=--∴，即或或4或，∵解得：或1或，∵，∴，∴，∴满足条件的整式a 的值为：3或，∴所有满足条件的整数a 的值之和是：，故答案为：418. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“加和数”．例如：四位数5127，因为，所以5127是“加和数”：又如：四位数6238，因为，所以6238不是“加和数”．若是“加和数”，记，若是一个完全平方数，则_______；记，若“加和数”能被7整除，则满足条件的所有的和为_______．【答案】①. 4 ②. 【解析】【分析】本题考查本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程的应用．理解新定义，正确推理计算是解题关键．【详解】．，是一个完全平方数，302a +≥30a +=26 24a -<<1a =-310y -≠32a +≠1a ≠-1314+=M abcd =a d bc +=5712+=6823+≠M ()F M abcd =-+-()F M d c -=()2a d P M b c+=-M abcd =()P M 1474,a d bc += 1,10b a dc ∴=+=+10cd a ∴-=-()110211F M a b c d a a a =-+-=-+-=- 19,a ≤≤ 92117,a ∴-≤-≤2110,1,4,a ∴-=；∵∴（舍），21，28（舍），35（舍）∴，，，（舍），∴∴三、解答题：本大题共8小题，共78分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是分式的混合运算，完全平方公式及单项式乘多项式．（1）根据完全平方公式及单项式乘多项式的法则分别计算出各数，再合并同类项即可；（2）先算括号里面的，再算除法即可．【小问1详解】解：；【小问2详解】6,104a d c a ∴=-=-=10001001010109991010022114414314437777M a b c d c d c d c d +++-++-===-++922133c d ≤+-≤22114c d +-=11c d +=3129a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩5138a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩7147a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩9156a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩3129,5138,9156M =()212114721244P M =++=()()22x y x x y +-+363111m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭2y 23m +-()()22x y x x y +-+22222x y xy x xy=++--2y =解：．20. 某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等、该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系，请根据下列探究思路完成作图和填空：（1）尺规作图：过点作，分别交边于点．（2）已知：在正方形中，点是对角线上一点，，分别交边于点．求证：证明：四边形是正方形平分．① ．在和中，．，又，，363111m m m m -⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭2131113(2)m m m m m ⎛⎫--=-⋅ ⎪---⎝⎭(2)(2)113(2)m m m m m +--=⋅--23m +=-E EF AE ⊥,AD BC ,G F ABCD E BD EF AE ⊥,AD BC ,G F EC EF AE== ABCD BD ∴,90,ADC ABC BCD BAD AD CD ∠∠=∠=∠=︒=∴ADE V CDE AD CD ADE CDEDE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ADE CDE ∴ ≌,DAE DCE AE CE ∴∠=∠=BAE BAD DAE ∠=∠-∠ BCE BCD DCE∠=∠-∠BAE BCE ∴∠=∠，② ．，且．③ ，．④ ．．【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④【解析】【分析】（1）根据垂线的尺规作图的基本步骤作图即可．（2）根据相应知识解答即可．本题考查了尺规作图，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握尺规作图，正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【小问1详解】根据尺规作图，画图如下：则即为所求．【小问2详解】证明：四边形是正方形平分．．在和中，EF AE ⊥ ∴360ABF BFE FEA BAE ∠+∠+∠+∠=︒ 9090180ABF FEA ∠+∠=︒+︒=︒180BAE BFE ∴∠+∠=︒ EFC BAE ∴∠=∠∴EF EC AE ∴==ADE CDE ∠=∠90FEA =︒180CFE BFE ∠+∠=︒EFC ECB∠=∠EF AE ⊥ ABCD BD ∴,90,ADC ABC BCD BAD AD CD ∠∠=∠=∠=︒=∴ADE CDE ∠=∠ADE V CDE AD CD ADE CDEDE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．，又，，，．，且．，．．．故答案为：；；；．21. 我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，其中A ：，B ：，C ：，D ：，E ：），并给出了下列信息：1班E 等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，492班D 等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：平均数中位数众数1班47.548.5c ()SAS ADE CDE ∴ ≌,DAE DCE AE CE ∴∠=∠=BAE BAD DAE ∠=∠-∠ BCE BCD DCE∠=∠-∠BAE BCE ∴∠=∠EF AE ⊥ ∴90FEA ∠=︒360ABF BFE FEA BAE ∠+∠+∠+∠=︒ 9090180ABF FEA ∠+∠=︒+︒=︒180BAE BFE ∴∠+∠=︒ 180CFE BFE ∠+∠=︒EFC BAE ∴∠=∠∴EFC ECB ∠=∠EF EC AE ∴==ADE CDE ∠=∠90FEA ∠=︒180CFE BFE ∠+∠=︒EFC ECB ∠=∠042x ≤≤4244x <≤4446x <≤4648x <≤4850x <≤2班47.5b 49（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动所有学生中优秀的学生有多少人？【答案】（1）30，48，50（2）1班学生的知识竞答成绩较好，理由见解析（3）该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．【解析】【分析】（1）用“1”分别减去其他四个等级所占百分比可得的值；分别根据中位数和众数的定义可得、的值；（2）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可；（3）用总人数乘样本中49分及以上所占百分比即可．【小问1详解】解：由题意得，，故；把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数；1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，故众数．故答案为：30，48，50；【小问2详解】解：1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；【小问3详解】解：，（人，答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．【点睛】本题考查了平均数，中位数和众数，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂的=a b =c =a b c %15%5%15%45%30%a =----=30a =4848482b +==50c =1045%247.5%20⎛⎫+÷= ⎪⎝⎭80047.5%380⨯=)统计图是解题的关键．22. 去年寒假，哈尔滨成为了全国的热门旅游城市，滑雪运动也渐渐成为了市民们冬季运动的首选，头盔是重要的滑雪装备之一，可分为半盔型和全盔型两种，某滑雪装备专卖店第一次购进了半盔型和全盔型共个，半盔型进价是元，全盔型进价是元，半盔型售价为元，全盔型售价为元．（1）若该店第一次购买两种头盔共花了元，则购买半盔型和全盔型各多少个？（2）第一批头盔销量不错，该店又购进一批，第二批两种头盔的进价不变，半盔型售价在第一次的基础上涨了元；全盔型售价比第一次降低了元，结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，求的值．【答案】（1）购买半盔型个，全盔型个（2）【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，理解题意，正确列出分式方程是解题关键．（1）设购买半盔型个，则全盔型个，由于半盔型进价是元，全盔型进价是元，根据题意列出分式方程并求解即可．（2）由题意可知，第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据“结果半盔型获得元的利润和全盔型获得元的利润时售卖数量相同，”列出分式方程，并求解即可．【小问1详解】解：（1）设购买半盔型个，则全盔型个．由题意得：，解得故半盔型个，全盔型为：．答：购买半盔型个，全盔型个．【小问2详解】第二批半盔型涨价后，一个半盔型的获利为，全盔型降价后，一个全盔型的获利为，根据题意可得，解得：20180210230250384032m m 265190m 1282m =x ()20x -180210332301805022m m -+=+25021040m m --=-265190x ()20x -()180210203840x x +-=12x =1220128-=128332301805022m m -+=+25021040m m --=-265190340502mm =-+2m =经检验，为原方程的解，且符合题意．故．23. 如图，在矩形中，．点从点出发，沿折线方向以每秒1个单位长度运动，运动到点处停止．设运动时间为秒，的面积为．（1）请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）当的面积超过3时，直接写出的取值范围．（保留一位小数，误差不超过）【答案】（1） （2）见解析，当时，随的增大而减小（3）或【解析】【分析】（1）由勾股定理得，，当时，在上，，则，；当时，在上，，如图1，过作于，则，证明，可求， ，然后作答即可；（2）根据解析式画函数图象即可，结合图象写性质即可；（3）由题意知，令，，计算求解，然后作答即可．【小问1详解】解：∵矩形，∴，，2m =2m =ABCD 3,4AB BC ==P A A B D →→D x BCP y y x x BCP x 0.2()()2603618385x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩03x <<y x 0 1.5x ≤< 5.58x <≤5BD =03x ≤<P AB AP x =3BP x =-12y BC BP =⨯38x <≤P BD 3BP x =-P PH BC ⊥H PH CD ∥BPH BDC ∽()335x PH -=12y BC PH =⨯263y x =-+>61835x y -=>ABCD 4AD BC ==3CD AB ==由勾股定理得，，当时，在上，，则，∴；当时，在上，，如图1，过作于，则，图1∴，∴，即，解得，，∴，综上，；【小问2详解】解：作函数图象，如图2，图2由图象可知，当时，随的增大而减小；【小问3详解】5BD ==03x ≤<P AB AP x =3BP x =-()11432622y BC BP x x =⨯=⨯⨯-=-+38x <≤P BD 3BP x =-P PH BC ⊥H PH CD ∥BPH BDC ∽PH BP CD BD =335PH x -=()335x PH -=()331161842255x x y BC PH --=⨯=⨯⨯=()()2603618385x x y x x ⎧-+≤<⎪=⎨-<≤⎪⎩03x <<y x解：由题意知，令，解得，，∴此时；令，解得，，∴此时；综上所述，或．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数图象，一元一次不等式的应用．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数的应用，一次函数图象，一元一次不等式的应用是解题的关键．24. “办学110周年庆祝活动”筹备小组为了更好的服务校友们，特绘制了校园地图．学校大门在点处，格致楼在学校大门的北偏西方向相距100米处，博雅楼在格致楼的正北方向，万象楼在学校大门的正北方向80米处，在操场的西南方向，操场在博雅楼的正东方向，在学校大门的北偏东方向．）（1）求的长度；（结果精确到1米）（2）筹备组初步拟定校庆活动方案，校友们先在志愿者带领下参观校园，最后在操场汇合，参加庆典活动．筹备组初步设定了2条参观线路，线路一：沿，速度预计为30米/分钟，线路二：沿，速度预计为20米/分钟，若两条线路的校友同时出发，预计哪一条线路的校友先到操场？（结果精确到0.1）【答案】（1）154米（2）若两条线路的校友同时出发，预计线路二的校友先到操场【解析】【分析】（1）延长交于点，如图所示，由等腰直角三角形的判定与性质得到，，数形结合，结合含直角三角形性质求出及，解方程即可得263y x =-+>1.5x <0 1.5x ≤<61835x y -=>5.5x >5.58x <≤0 1.5x ≤< 5.58x <≤A B 60︒C B D A E E C A 30︒ 2.45≈≈≈DE A B C E ---A D E --AD CE M DM ME =DM ME x ==30︒AM =80AM x =+到，再由中，，代值求解即可得到答案；（2）过点作于点，如图所示，利用含直角三角形性质求出相应线段长，分别计算两条路线所用的时间，比较大小即可得到答案．小问1详解】解：延长交于点，如图所示：由题中方位可知，，，是等腰直角三角形，，设，则，在中，，则，即，由勾股定理可得，，解得，在中，由勾股定理可得，答：的长度为154米；【小问2详解】解：过点作于点，如图所示：在中，，则，，由勾股定理可得，由题中方位可知，，【x Rt DME△DE =B BN AD ⊥N 30︒AD CE M MA CE ⊥45DEC ∠=︒ DCE ∴ DM ME ∴=DM ME x ==80AM x =+Rt AME △30MAE ∠=︒12ME AE =2AE x=AM ==80x =+40x =Rt DME△)40154DE ==+=≈DE B BN AD ⊥N Rt ABN △60NAB ∠=︒30ABN ∠=︒1502AN AB ∴==BN ==BC CE ⊥，，四边形是矩形，（分钟）；走完线路二所用时间为（分钟）；，答：若两条线路的校友同时出发，预计线路二的校友先到操场．【点睛】本题考查解三角形的实际应用，涉及方位角、等腰直角三角形的判定与性质、含直角三角形性质、勾股定理、矩形的判定与性质等知识，读懂题意，数形结合，求出相应线段长度是解决问题的关键．25. 如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点．（1）求拋物线的解析式；（2）如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求最大值及此时点的坐标；（3）将原抛物线沿射线个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由．【答案】（1）的BN AM ⊥ AM CE ⊥∴CBNM 70CM BN CB MN AM AN ∴====-=+∴14.5≈11.7≈14.511.7> 30︒23y ax bx =+-()2,5x ()3,0A -B y C P AC P PD y ∥AC D P ∥PE BC AC E PD +P CB y 'y 'x N y 'T 90TNB OBC ∠+∠=︒T 223y x x =+-（2）最大值， （3）存在，或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点B 作，交y 轴于点F ，根据，易证，再证明 ，是等腰直角三角形，求出，，根据，利用三角形相似的性质得到，求出直线的解析式为，设点，则，利用二次函数的性质求解即可；（3）由点B ，点C 的坐标得出的长，原抛物线沿射线个单位长度得到新拋物线，即原抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到新拋物线，令，求出，分为点T 在x 轴上方和下方两种情况，利用直角三角形的特征及解直角三角形解答即可．【小问1详解】解：由题意得：，解得：，拋物线的解析式为：；【小问2详解】解：如图，过点B 作，交y 轴于点F ，PD PE +278315,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭47,39⎛⎫⎪⎝⎭25,39⎛⎫- ⎪⎝⎭BF AC ∥,,PD FC PE BC DE FB ∥∥∥PDE CFB ∽ AOC FOB △()1,0B ()0,1F 4,BF CF OF OC BC ===+===PE BC PD CF ==32PD PE PD PD PD +=+=AC 3y x =--()()()2,23,,330P m m m D m m m +----<<()()22239323324PD m m m m m m ⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭,OB OC CB y '21y x '=-0y '=()1,0N -42359330a b a b +-=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=⎩∴223y x x =+-BF AC ∥，，，是等腰直角三角形，，也是等腰直角三角形，在中，令，则，或，，，也是等腰直角三角形，，，，，设直线的解析式为，,,PD FC PE BC DE FB∥∥∥ PDE CFB ∴∽ ()()3,0,3,0A C -AOC ∴AC FB ∥FOB ∴ 223y x x =+-0y =2230x x +-=3x ∴=-1x =()3,0A - ()1,0B ∴ FOB △1OB OF ∴==()0,1F ∴∴4,BF CF OF OC BC ===+===PE BC PD CF ∴==PE ∴=∴32PD PD PD =+=AC y k x b ''=+将点代入得：，解得：，直线的解析式为，设点，则，，，当时，由最大值，最大值为，取得最大值，此时；【小问3详解】解：存在点，使得，理由如下：∵抛物线沿射线个单位长度，，，∴，，∴，∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线，，∴，如图，当点T 在x轴下方时，延长交于点Q ，过点T作轴，垂足为R ，()()3,0,0,3A --033k b b =-+⎧⎨-='''⎩13k b =-⎧⎨=-''⎩∴AC 3y x =--()()()2,23,,330P m m m D m m m +----<<()()22239323324PD m m m m m m ⎛⎫=---+-=--=-++ ⎪⎝⎭10-< 30m -<<∴32m =-PD 94∴PD PE +3927248⨯=315,24P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭T 90TNB OBC ∠+∠=︒223y x x =+-CB ()1,0B ()0,3C -1OB =3OC =BC ===1y ' ()222314y x x x =+-=+-()2211431y x x =+--+=-'NT BC TR x ⊥，，，，，，，设，则，，，，即，整理得：，解得：或（与点N 重合，舍去），；如图，当点T 在x 轴上方时，过点T 作轴，垂足为K ，90TNB OBC ∠+∠=︒90OBC OCB ∠+∠=︒TNB BCO ∴∠=∠90NQB ∠=︒90TRN ∠=︒ tan tan TNB BCO ∴∠=∠TR OB NR OC∴=()2,1T n n -(),0R n ()21,11TR n NR n n ∴=-+=--=+1,3OB OC == 21113n n -+∴=+2331n n -+=+2320n n +-=32n =1n =-25,39T ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭TK x ⊥同理得，，，，，设，则，，即，整理得：解得：或（与点N 重合，舍去），；综上，点的坐标为或．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．26. 在中，，点是线段上一点．TNB BCO ∠=∠90TKN ∠=︒ 90BOC ∠=︒tan tan TNB BCO ∴∠=∠TK OB NK OC∴=()2,1T t t -()21,11TK t NK t t =-=--=+21113t t -∴=+2331t t -=+2340t t --=43t =1t =-47,39T ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭T 47,39⎛⎫ ⎪⎝⎭25,39⎛⎫- ⎪⎝⎭ABC ,90AB BC ABC =∠=︒D AC（1）如图1，已知的长；（2）如图2，点是的中点，点分别是线段上的点，连接并延长与交于点，以为直角边，构造等腰，在上取一点，当，时，求证：；（3）如图3，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，以为直角边作等腰，连接，当取得最小值时，直接写出的值．【答案】（1）（2）见详解（3【解析】【分析】（1）过点D 作，可得是等腰直角三角形，则由勾股定理得，在中，由勾股定理得，最后在等腰中，由勾股定理得，即可求解；（2）过点R 作交的延长线于点N ，先证明，再证明，则，而在中，，由，得到；（3）连接，在等腰中，，在等腰中，，则，因此，由得当点B 、C 、P 三点共线时，取得最小值，过点O 作，可求得，则，解，设，则，则，，，可证，可设，再证明，则，AD BD ==CD D AC ,R G ,BC BD RG AB F RG Rt GRH △BC E BHE HRE ∠=∠EH FG =BF BE +=BCD △BD ABC BC D '△ABD △BD ABC A BD ' A C ''Rt A C P ''△CP CP CD ADDM AB ⊥ADM △1DM AM ==Rt DBM △2MB =Rt ABC △AC ==RN BC ⊥BD BRH NRG △≌△BFG BHE △≌△,BH BF BG BE ==Rt BRN △BN =BG GN +=BE BF +=BP Rt BC A ''△A C '''=Rt PC A ''△PC C '''=2PC BC ''=1tan 2BC BPC PC ''∠=='CP BP BC ≥-CP OH AB ⊥12∠=∠1tan 12OH BH ∠==ABO OH AH x ==2BH x =3AB x =AO =AC =BOA DOC '△∽△,3DO C D a '==ODC GDC '△≌△3CD C D a '==3a +=。

一、单选题1．，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，则一100122100333=++⋯+a a a x 1a 2a ⋯100a x 定不属于 ()A ．，B ．，C ．D ． [01)(01]12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】运用特殊值法，逐个排除、、，即可得出答案为．A B D C 【详解】解：本题可以用特殊值法进行排除，其中，，，每一个值都是0或2这两个值中的某一个，1a 2a ⋯100a 当得，，故错误，1231000a a a a ===⋯==0x =A 当，，，故、错误， 12a =231000a a a ==⋯==23x =B D 故选：．C 【点睛】本题根据选择题的特点，可以运用特例法进行排除得出结论，考查学生灵活运用数学方法解决问题的能力，属于基础题．2．已知公差不为0的等差数列，前项和为，满足，且成等比数列，则{}n a n n S 3110S S -=124,,a a a （ ）3a =A ．B ．C ．或D ．265612【答案】B【解析】将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 3a 【详解】设等差数列的公差为，则 ， d ()()11211133103a d a a d a a d +-=⎧⎪⎨+=+⎪⎩解得或（舍），故， 122a d =⎧⎨=⎩150a d =⎧⎨=⎩()322316a =+⨯-=故选：B.【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题．3．已知等比数列满足，，则 {}n a 118a =35421a a a =-2a =A ． B ． C ．1 D ．21412【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式及，代入首项即可求得公比q ，进而求得的值．35421a a a =-2a 【详解】由等比数列通项公式及，可得 ，代入 35421a a a =-24311121a q a q a q ⋅=-118a =化简得 ，即 6316640q q -+=()2380q -=所以2q =由等比数列通项公式可得 2111284a a q ==⨯=所以选A【点睛】本题考查了等比数列通项公式的简单应用，属于基础题．4．已知等差数列与等差数列的前项和分别为和，且，那么的值为{}n a {}n b n n S n T 1n n S n T n =+87a b （ ）A ．B ．C ．D ． 1312141315141615【答案】C【分析】设等差数列、的公差分别为、,由题意利用等差数列的性质求出它们的首{}n a {}n b 1d 2d 项、公差之间的关系,可得结论. 【详解】设等差数列的公差分别为和{}{},n n a b 1d 2.d ,即 11111,12n n S S a n T n T b =∴==+1112a b =,即 ① 2112122223S a d T b d +∴==+11232b d d =-,即 ② 311312333334S a d T b d +∴==+21143d d b =-由①②解得1211,.d d b d == 11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C5．已知为等差数列，公差，，则（ ）{}n a 2d =24618a a a ++=57a a +=A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】D【解析】利用等差数列的性质求解.【详解】， 24618a a a ++=，4318a ∴=解得，46a =，64210a a d ∴=+=.576220a a a ∴+==故选：D6．四棱锥中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为棱PC 的中点，若P ABCD -，则等于（ ）23AE x AB yBC z AP =++ x y z ++A ．1B ．C ．D ．21112116【答案】B 【解析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可111222AE AB BC AP =++ ,,x y z 得选项.【详解】因为， ()AE AB BC CE AB BC EP AB BC AP AE =++=++=++- 所以，所以，所以 ， 2AE AB BC AP =++ 111222AE AB BC AP =++ 111,2,3222x y z ===解得，所以， 111,,246x y z ===11111++24612x y z ++==故选：B.7．九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，在某种玩法中，用表示解下（n a n ）个圆环所需的最少移动次数，满足，且，则解下4*9,≤∈n n N {}n a 11a =1121,22,n n n a n a a n ---⎧=⎨+⎩为偶数为奇数个圆环所需的最少移动次数为 （ ）A ．7B ．10C ．12D ．22【答案】A【分析】由递推式依次计算．【详解】由题意知，，， 21212111=-=⨯-=a a 32222124=+=⨯+=a a 43212417=-=⨯-=a a 故选：A.【点睛】本题考查由递推式求数列的项，解题时按照递推公式依次计算即得．8．观察下面数阵，则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（ ）A ．545B ．547C ．549D ．551【答案】C【解析】观察数阵可得出数阵从左到右从上到下顺序是正奇数顺序排列，要求出某一个位置的数，只要求出这个位置是第几个奇数即可，而每一行有个数，可求出前行共有个数，根据12m -m 21m -以上特征，即可求解.【详解】由题意可得该数阵中第行有个数，m 12m -所以前行共有个数，所以前8行共255个数.m 21m -因为该数阵中的数依次相连成等差数列，所以该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是.()127512549+-⨯=故选:C.【点睛】本题以数阵为背景，考查等差、等比数列通项与前项和，认真审题，注意观察找出规律n 是解题的关键，属于中档题.二、多选题9．设、分别是双曲线：的左右焦点，过作轴的垂线与交于，两点，1F 2F C 221y x b -=2F x C A B 若为正三角形，则下列结论正确的是（ ）1ABF AA ．B ．的焦距是2b =CC ．D ．的面积为C1ABF A 【答案】ACD【分析】设，则，根据双曲线的定义和离心率的公式可求得离心2||AF t =1||2AF t =率，从而对选项进行逐一判断即可得出答案.【详解】设，则，离心率C 正确， 2||AF t =1||2AF t =1212||||F F e AF AF ==-∴，，选项A正确，e =2b =，选项B 错误，12F F ==设，将，()AA A x y ，A x =的面积为D 正确，1ABF A 12122A S F F y =⋅⋅=故选:ACD.10．已知数列满足，下列说法中正确的有（）{}n a ()*,01N n n a n k n k =⋅∈<<A ．当时，数列为递减数列12k ={}n a B ．当时，数列不一定有最大项112k <<{}n a C ．当时，数列为递减数列 102k <<{}n a D ．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项1kk -{}n a 【答案】CD【分析】由于，再根据k 的条件讨论即可得出. ()()1111n n n n n kn k a a n k n +++⋅+==⋅【详解】选项A ，当时，，12k =12nn a n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∴，当时，，()111112212n n n n n a n a n n ++⎛⎫+⋅⎪+⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭1n =12a a =因此数列不是递减数列，故A 不正确．{}n a 选项B ，当时，，112k <<()()1111n n n n n k n ka a n k n +++⋅+==⋅∵随n 的增大逐渐减小，当时，， 111n n n +=+1n =()121n kk n +⋅=>当时，，且小于1， n →+∞()1n k k n+⋅→∴数列一定有最大项，故B 不正确． {}n a 选项C ．当时，，102k <<()()1111112n n n n n k n k a n a n k n n +++⋅++==<≤⋅∴，因此数列为递减数列，故C 正确．1n n a a +<{}n a 选项D ，∵为正整数，∴，∴． 1k k -1k k ≥-112k ≤<， ()()1111n n n n n k n k a a n k n+++⋅+==⋅当时，， 12k =1234a a a a =>>> 当时，令，则， 112k <<()*N 1k m m k =∈-1m k m =+∴，又，，总有成立， ()()111n n n m a a n m ++=+*N m ∈*N n ∈m n =∴， 11n na a +=因此数列必有两项相等的最大项，故D 正确．{}n a 综上可知，只有CD 正确．故选：CD.11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”．此定理讲的是关于整除的问题，现将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前项和为{}n a n n S ，则下面对该数列描述正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．共有202项11a =333S =437a a -=【答案】AB【分析】利用等差数列的定义、通项公式、前项和公式进行逐一判断即可.n 【详解】将1到2021这2021个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列为：1，11，21，31 ，2021，该数列是以1为首项，10为公差的等差数列， L 所以，所以，因此选项A 正确；109n a n =-11a =，因此选项B 正确； 31313210332S =⨯+⨯⨯⨯=，所以选项C 不正确；4310a a -=，∴．∴共有203项，所以选项D 不正确，1092021n -≤203n ≤故选：AB12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则n a n 数列满足：，记，则下列结论正确的是（ ）{}n a 12211,n n n a a a a a ++===+121ni n i a a a a ==+++∑ A ．B ．C ．D ．1055a =()2233n n n a a a n -+=+≥201920211i i a a ==∑20212202120221i i a a a ==∑A 【答案】ABD【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答.【详解】依题意，的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即，A 正{}n a 1055a =确；依题意，当时，，得，B 正3n ≥12n n n a a a --=+21213n n n n n n n n a a a a a a a a ---+=+++=++22n n a a -+=+确；由给定的递推公式得：，，…，，累加得321a a a -=432a a a -=202120202019a a a -=，20212122019a a a a a -=+++ 于是有，即，C 错误；1220192021220211a a a a a a +++=-=- 2019202111i i a a ==-∑，，，…，2121a a a =⋅()222312321a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅()233423432a a a a a a a a =⋅-=⋅-⋅ ()22021202120222020a a a a =⋅-，因此，，D 正确.2021202220212020a a a a =⋅-⋅22212202120212022a a a a a +++=⋅ 故选：ABD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题13．记为等差数列的前n 项和，已知，，则______n S {}n a 40S =510a =n n a S +=【答案】22410n n --【分析】设等差数列的公差为，然后由已知条件列方程组可求出，从而可求出答案.d 1,a d 【详解】设等差数列的公差为，d 因为，，40S =510a =所以，解得， 1143402410a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩164a d =-⎧⎨=⎩所以， 2(1)64(1)6424102n n n n a S n n n n -+=-+--+⨯=--故答案为： 22410n n --14．已知数列满足则___.{}n a 111,2(1),n n a na n a +==+8a =【答案】1024【分析】由可得，从而可得数列是以2为公比，1为首项的111,2(1),n n a na n a +==+121n n a a n n +=⋅+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭等比数列，可求出通项公式，进而可求出8a 【详解】因为111,2(1),n n a na n a +==+所以， 121n n a a n n+=⋅+所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭所以，所以， 112n n a n-=⨯12n n a n -=⋅所以，8137108822221024a -=⨯=⨯==故答案为：102415．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有依次为第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，可以得到第二等诸侯分得的橘子个数是______．【答案】9【分析】由橘子个数组成等差数列，且公差为3求解.【详解】设第一等，第二等，第三等，第四等，第五等的5个诸侯分得的橘子个数组成数列，{}n a 其公差为3，所以，解得， 515453602S a ⨯=+⨯=16a =所以，即第二等诸侯分得的橘子个数是9．29a =故答案为：916．已知数列的首项，则_________． {}n a 1111,12n na a a +==-2021a =【答案】1-【分析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期1234,,,,a a a a {}n a 3性，即可求解.【详解】由，则， 1111,12n n a a a +==-234123111111,12,1,2a a a a a a =-=-=-==-= 以此类推可知，对任意的，都有，*n ∈N 3n n a a +=即数列是以为周期的周期数列，{}n a 3因为，所以.202136732=⨯+202121a a ==-故答案为：.1-四、解答题17．记是等差数列的前项和，若，n S {}n a n 535S =-721S =-(1)求的通项公式，{}n a (2)求的最小值n S 【答案】(1)419n a n =-(2)-36【分析】（1）设的公差为d ，由等差数列的前项和公式建立方程组，然后可得公差和首项，{}n a n 从而根据等差数列的通项公式即可得答案；（2）由解得，再根据等差数列的前项和公式及二次函数的性质即可求解. 0n a ≥194n ≥n 【详解】（1）解：设的公差为d ，则，， ()1{}n a 1545352a d ⨯+=-1767212a d ⨯+=-，，；115a ∴=-4d =()1541419n a n n ∴=-+-=-（2）解：由得， 4190n a n =-≥194n ≥，，，时，时，，1n ∴=2340n a <5n ≥0n a >的最小值为. n S ∴41434362S a d ⨯=+=-18．已知数列是等差数列，且，求：{}n a 11a =1028a a -=(1)的通项公式；{}n a (2)设数列的前项和为，若对任意恒成立，求的最小值． 21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n S ()12n m S m N +≤∈n N +∈m 【答案】(1)n a n =(2)9【分析】（1）根据等差数列的定义以及题中所给条件求出公差，即求出了通项公式； d （2）写出数列的前项和，再通过裂项相减法化简，放缩法求出的范围，最后结合所给条件n n S n S 数轴法求出的取值范围并求得最小值.m 【详解】（1）设数列公差为，则，{}n a d 1019a a d =+21a a d =+则，解得.102119()8a a a d a d -=+-+=1d =∴的通项公式为：{}n a 1(1)1n a n n =+-⋅=（2）根据题意， 1324221111111324n n n n n a a a a a a S a a ++=+++=+++⨯⨯ 21111111111111112324223342n n a a n n +⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=⨯++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ . ()()111132331221242124n n n n n ⎡⎤+⎛⎫=⨯+-+=-< ⎪⎢⎥++⋅+⋅+⎝⎭⎣⎦若对任意恒成立，则，解得. ()12n m S m N +≤∈N n +∈3124m ≥9m ≥∴的最小值为9.m 19．在数列中，，对，．{}n a 11a =*n N ∀∈1(1)(1)n n na n a n n +-+=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若，求数列的前项和． n b ={}n b n n S 【答案】（1）；（2） . 2n a n =1n n +【解析】（1）先由，进而说明数列是首项、公差均为11(1)(1)11n n n n a a na n a n n n n ++-+=+⇒-=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1的等差数列，求出，即可求得； n a n n a （2）先由（1）中求得的求出，再利用裂项相消法即可求得其前项和．n a n b n n S 【详解】（1），1(1)(1)n n na n a n n +-+=+ ，又， ∴111n n a a n n +-=+111a =数列是首项、公差均为1的等差数列． ∴{)n a n ，所以； ∴()111n a n n n=+-⨯=2n a n =（2）由（1）得，2n a n =， 111(1)1n b n n n n ∴===-++． 111111(1()()1223111n n S n n n n ∴=-+-+⋯+-=-=+++【点评】本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．20．在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为{}n a 13a =n n S {}n b 11b =，且. (1)≠q q 222212S b S q b +==，(1)求与；n a n b (2)证明：. 1211123n S S S +++< 【答案】(1)；13,3n n n a n b -==(2)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，列出关于公差d ，公比q 的方程组，解方程组即可计算作答. （2）由（1）的结论，求出，再利用裂项相消法求和推理作答.n S 【详解】（1）设的公差为，因，，，则，而，解{}n a d 13a =11b =222212b S S q b +=⎧⎪⎨=⎪⎩6126q d d q q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩0q >得：，，3q =3d =于是得，3(1)33n a n n +-⨯==11133n n n b --=⨯=所以，.3n a n =13n n b -=（2）由（1）知，则，， (33)3(1)22n n n n n S ++==12211()3(1)31n S n n n n ==-++*N n ∈于是得， 12111211111111[()((()]31223341n S S S n n +++=-+-+-++-+ 212(1)313n =-<+所以. 1211123n S S S +++< 21．已知数列的前项和满足，．{}1n a +n n S 3n n S a =*n ∈N （1）求证数列为等比数列，并求关于的表达式；{}1n a +n a n （2）若，求数列的前项和． ()32log 1n n b a =+(){}1n n a b +n n T 【答案】（1）证明详见解析；;（2）．312n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为，即，当时()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=12...3n n a a a n a ++++=2n ≥，两式相减再配凑得到数列是首项为，公比为的等比数1211...13n n a a a n a --++++-={}1n a +3232列，即可计算出数列的通项公式，然后计算出数列的通项公式；{1}n a +{}n a （2）根据（1）的结果计算出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，根据{}n b {(1)}n n a b +通项公式的特点运用错位相减法计算出前项和．n n T 【详解】（1）由题设，()()()1211...13n n n S a a a a =++++++=即①12...3n n a a a n a ++++=当时，，解得， 1n =1113a a +=112a =当时②2n ≥1211...13n n a a a n a --++++-=①－②得，即 1133n n n a a a -+=-13122n n a a -=+又 ()()131122n n a a n -+=+≥1312a +=所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以 {}1n a +3232312n n a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故． 312nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）由（1），则， ()33223log 1log 2n n n b a n ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭()312n n n a b n ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭ ()123133333123...+122222n n n T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2341333333123...1222222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得123111333333...+2222222n n n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1333122n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13366222n n n T n +⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查数列求通项公式，以及运用错位相减法求前项和，考查学生逻辑推理能力n 和数学运算能力．属中档题．22．已知为等差数列的前项和，，.n S {}n a n 5134a a a =+416S =（1）求的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和. 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1）；（2）. 21n a n =-21n n T n =+【分析】（1）设数列的首项为，公差为.代入已知条件解得后可得通项公式； {}n a 1a d 1,a d （2）用裂项相消法求和．n T 【详解】（1）设数列的首项为，公差为.{}n a 1a d 由题意得 11141442,4616,a d a a d S a d +=++⎧⎨=+=⎩解得 11,2.a d =⎧⎨=⎩∴数列的通项公式{}n a ()121n a n =+-.21n =-（2）由（1）得， ()()()111111221212121n n a a n n n n +==--+-+∴． 1111111...23352121⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦n T n n 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，考查裂项相消法求和．数列求和除需掌握等差数列和等比数列的前项和公式外还需掌握错位相减法、裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等n 求和方法．。