目录
第一章数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定
3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用
3.3 圆
3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程（选学）
1.1 数与式的运算
1.１.1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．
例1 解不等式：13x x -+-＞4．
解法一：由01=-x ，得1=x ；由30x -=，得3x =； ①若1， 即24x -+＞4，解得x ＜0， 又x ＜1， ∴x ＜0；
②若12x ≤<，不等式可变为(1)(3)4x x --->， 即1＞4，
∴不存在满足条件的x ；
③若3x ≥，不等式可变为(1)(3)4x x -+->， 即24x -＞4， 解得x ＞4． 又x ≥3， ∴x ＞4．
综上所述，原不等式的解为 x ＜0，或x ＞4．
解法二：如图1．1－1，1-x 表示x 轴上坐标为x 的点P 到坐标为1的点A 之间的距离|P A |，即|P A |＝|x －1|；|x －3|表示x 轴上点P 到坐标为2的点B 之间的距离|PB |，即|PB |＝|x －3|． 所以，不等式13x x -+-＞4的几何意义即为
|P A |＋|PB |＞4．
由|AB |＝2，可知
点P 在点C (坐标为0)的左侧、或点P 在点D (坐标为4)的右侧．
x ＜0，或x ＞4．
A B C P |x －1| |x －3|
图1．1－1
练 习 1．填空：
（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b > （C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
1.1.
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；
（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； （4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．
解法一：原式=2222
(1)(1)x x x ⎡⎤-+-⎣⎦ =242(1)(1)x x x -++
=61x -．
解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++ =33(1)(1)x x +- =61x -．
例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值． 解： 2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=． 练 习 1．填空：
（1）221111()9423
a b b a -=+（ ）；
（2）(4m + 22)164(m m =++ )；
(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：
（1）若212
x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）
（A ）2m （B ）214
m （C ）213
m （D ）
2
116
m （2）不论a ，b 为何实数，22248
a b a b +--+的值 （ ）
（A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负
数
1.1.3．二次根式
0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能
够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b 等是无理式，而
212
x +
+，22x y + 1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果
它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式与
，等等． 一般地，
，，b 与b 互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式
0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2
a ==,0,
,0.a a a a ≥⎧⎨
-<⎩
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1 （20)a ≥； （30)x <．
解： （1=
（20)a ==≥；
（3
220)x x x ==-<． 例2
(3．
解法一： (3-
