高中数学解题思维策略

第四讲 数学思维的开拓性

一、概述

数学思维开拓性指的是对一个问题能从多方面考虑；对一个对象能从多种角度观察；对一个题目能想出多种不同的解法，即一题多解。

“数学是一个有机的整体，它的各个部分之间存在概念的亲缘关系。我们在学习每一分支时，注意了横向联系，把亲缘关系结成一张网，就可覆盖全部内容，使之融会贯通”，这里所说的横向联系，主要是靠一题多解来完成的。通过用不同的方法解决同一道数学题，既可以开拓解题思路，巩固所学知识；又可激发学习数学的兴趣和积极性，达到开发潜能，发展智力，提高能力的目的。从而培养创新精神和创造能力。

在一题多解的训练中，我们要密切注意每种解法的特点，善于发现解题规律，从中发现最有意义的简捷解法。

数学思维的开拓性主要体现在：

(1) 一题的多种解法

例如 已知复数z 满足1||=z ，求||i z -的最大值。

我们可以考虑用下面几种方法来解决：

①运用复数的代数形式；

②运用复数的三角形式；

③运用复数的几何意义；

④运用复数模的性质（三角不等式）||||||||||||212121z z z z z z +≤-≤-； ⑤运用复数的模与共轭复数的关系z z z ⋅=2||；

⑥（数形结合）运用复数方程表示的几何图形，转化为两圆1||=z 与r

i z =-||

有公共点时，r 的最大值。

(2) 一题的多种解释 例如，函数式22

1ax y =

可以有以下几种解释： ①可以看成自由落体公式.2

12gt s = ②可以看成动能公式.2

12mv E = ③可以看成热量公式.212RI Q = 又如“1”这个数字，它可以根据具体情况变成各种形式，使解题变得简捷。“1”可以变换为：x tg x a b x x x x a b a a 2222sec ),(log )(log ,cos sin ,,

log -⋅+，等等。

1． 思维训练实例

例1 已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax

分析1 用比较法。本题只要证.0)(1≥+-by ax 为了同时利用两个已知条件，只需要观察到两式相加等于2便不难解决。

证法1 )()11(2

1)(1by ax by ax +-+=+- )()(2

12222by ax y x b a +-+++= ,0])()[(2

1)]2()2[(21222222≥-+-=+-++-=y b x a y by b x ax a 所以 .1≤+by ax

分析2 运用分析法，从所需证明的不等式出发，运用已知的条件、定理和性质等，得出正确的结论。从而证明原结论正确。分析法其本质就是寻找命题成立的充分条件。因此，证明过程必须步步可逆．．．．

，并注意书写规范。 证法2 要证 .1≤+by ax

只需证 ,0)(1≥+-by ax

即 ,0)(22≥+-by ax

因为 .1,12222=+=+y x b a 所以只需证 ,0)(2)(2

222≥+-+++by ax y x b a 即 .0)()(22≥-+-y b x a

因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。

分析3 运用综合法（综合运用不等式的有关性质以及重要公式、定理（主要是平均值不等式）进行推理、运算，从而达到证明需求证的不等式成立的方法）

证法3 .2,22222y b by x a ax +≤+≤ .12

22

222=+++≤+∴y b x a by ax 即 .1≤+by ax

分析4 三角换元法：由于已知条件为两数平方和等于1的形式，符合三角函数同角关系中的平方关系条件，具有进行三角代换的可能，从而可以把原不等式中的代数运算关系转化为三角函数运算关系，给证明带来方便。

证法4 ,1,12222=+=+y x b a ∴可设

∴ββααcos ,sin .cos ,sin ====y x b a

∴,1)cos(cos cos sin sin ≤-=+=+βαβαβαby ax

分析5 数形结合法：由于条件122=+y x 可看作是以原点为圆心，半径为1的单位圆，而.22b a by

ax by ax ++=+联系到点到直线距离公式，可得下面证法。

证法5 （如图4-2-1）因为直线0:=+by ax l 经过

圆122=+y x 的圆心O ，所以圆上任意一点),(y x M

到直线0=+by ax 的距离都小于或等于圆半径1，

图4－2－1

即 .11|||

|22≤+⇒≤+=++=by ax by ax b a by ax d

简评 五种证法都是具有代表性的基本方法，也都是应该掌握的重要方法。除了证法4、证法5的方法有适应条件的限制这种局限外，前三种证法都是好方法。可在具体应用过程中，根据题目的变化的需要适当进行选择。

例2 如果,0))((4)(2=----z y y x x z 求证：z y x 、、成等差数列。

分析1 要证z y x 、、，必须有z y y x -=-成立才行。此条件应从已知条件中得出。故此得到直接的想法是展开已知条件去寻找转换。

证法1 ,0))((4)(2=----z y y x x z

,02,0)2(,

0)2()(22)(,

044442222222=-+∴=-+=++⨯-+=-++-+-∴y z x y z x y z x y z x yz y xz xy x xz z

故 z y y x -=-，即 z y x 、、成等差数列。

分析2 由于已知条件具有x z z y y x ---,,轮换对称特点，此特点的充分利用就是以换元去减少原式中的字母，从而给转换运算带来便利。

证法2 设,,b z y a y x =-=-则.b a z x +=-

于是，已知条件可化为：

.0)(04)(22z y y x b a b a ab b a -=-⇒=⇒=-⇒=-+

所以z y x 、、成等差数列。

分析3 已知条件呈现二次方程判别式ac b 42-=∆的结构特点引人注目，提供了构造一个适合上述条件的二次方程的求解的试探的机会。

证法3 当0=-y x 时，由已知条件知,,0z y x x z ==∴=-即z y x 、、成等差数列。