高中数学必修五第一章解三角形知识点归纳及测试卷

第十二讲 解三角形

1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；

3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos ,cos sin ,tan cot 222222

A B C A B C A B C

+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 5、正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②化边为角：sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R

=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===

A +

B +A B ． 7、余弦定理：在

C ∆AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A 等，变形： 222

cos 2b c a bc

+-A =等，

8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =

A ==

B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是

C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：

①若2

2

2

a b c +=，则90C =o

；②若2

2

2

a b c +>，则90C

；③若2

2

2

a b c +<，则90C >o

． 11、三角形的四心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）

12．坡角和坡比

坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．

坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．

1. △ABC 中，45B =o

，60C =o

，1c =，则最短边的边长等于 （ ）

A

6 B 6 C 1

2 D 3

2. △ABC 中，cos cos cos a b c

A B C ==

，则△ABC 一定是 （ ）

A 直角三角形

B 钝角三角形

C 等腰三角形

D 等边三角形

3.△ABC 中，若60A =o

，3a =，则sin sin sin a b c

A B C +-+-等于 （ ）

A 2

B 12

C 3

D 3

4. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）

A

13 B 12 C 3

4

D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。

一、利用正弦、余弦定理解三角形

【例1－1】(2012辽宁高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .角A ，B ，C 成等差数列．

(1)求cos B 的值；

(2)边a ，b ，c 成等比数列，求sin A sin C 的值．

【例1－2】△ABC 中，A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B ，sin(B －A )＝cos C .

(1)求A ，C ；

(2)若S △ABC ＝3＋3，求a ，c .

二、三角形形状的判定

【例2－1】△ABC 满足sin B ＝cos A sin C ，则△ABC 的形状是( )． A ．直角三角形 B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

【例2－2】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .

(1)求A 的大小；

(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．

三、与三角形面积有关的问题

【例3】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π

3.

(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )．

A ．－12

B ．1

2

C ．－1

D ．1

2．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且a cos B ＝b cos A ，则△ABC 的形状为____． 3．(2014福建高考)在△ABC 中，已知∠BAC ＝60°，∠ABC ＝45°，BC ＝3，则AC ＝___． 4．(2016陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π

6，c ＝

23，则b ＝______.

5．(2015山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .

(1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .

6．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．