2008年南京大学自主招生数学试题解析
满分：150分 考试时间：90分钟
一．填空题（每小题7分，共70分）
1．已知{|21A x x =-<<-，或1}x >，2{|0}B x x ax b =++≤，且{|2}A B x x =>-，{|13}A B x x =<≤，则a = ，b = ．
【答案】2a =-，3b =-
【解析】依题意易知：[1,3]B =-，所以，1-，3是方程20x ax b ++=的两实根，由根与系数关系易得2a =-，3b =-．
2．(1tan1)(1tan 2)(1tan 44)(1tan 45)++++= ．
【答案】232
【解析】易证结论：45αβ+=时，(1tan )(1tan )2αβ++=，所以， (1tan1)(1tan 44)(1tan 2)(1tan 43)(1tan 22)(1tan 23)2++=++=
=++=，
又1tan 452+=，故原式232=．
3．若对任意实数x 都有1()log (2)1x a f x e -=+≤-，则a 的取值范围是 ． 【答案】1
[,1)2
【解析】易知01a <<，则111()log (2)12x x a f x e e a
--=+≤-⇔≤+， 又x R ∈时，12(2,)x e -+∈+∞，所以12a ≤，即1[,1)2
a ∈． 4．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，918S =，430(9)n a n -=>，336n S =，则n = ．
【答案】21
【解析】9559182S a a ==⇒=，则154()()(230)16222
n n n a a a a S n n n n -+++=⋅=⋅=⋅=， 由336n S =得1633621n n =⇒=．
5．已知实数,a b 满足2224b a -=，则|2|a b -的最小值为 ．
