二次函数知识点及题型归纳总结
知识点精讲
一、二次函数解析式的三种形式及图像
1. 二次函数解析式的三种形式 1)
一般式 ： f(x) 2 ax bx c (a 0) ； 2) 顶点式 ： f(x) a(x m)2 n(a 0) ；其中， (m,n) 为抛物线顶点坐标， x m 为对称轴方程 . 3) 零点
式
： f(x) a(x x 1)(x x 2)(a 0) ，其中， x 1, x 2是抛物线与 x 轴交点的横坐标 . 2．
二次函数的图像 二次函数 f(x) ax 2 bx c(a 0) 的图像是一条抛物线，对称轴方程为 b x b ，顶点坐标为 2a
( b ,4ac b2 ).
( , ).
2a 4a (1) 单调性与最值
M 2(x 2,0) ，|M 1M 2 | |x 1 x 2 | (x 1 x 2)2 4x 1x 2 二、二次函数在闭区间上的最值
闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处
①当 a 0 时， 如图 2-8 所示，抛物线开口向上，函数在 ( ,2a ] 上递减，在 [ b ,
2a , ) 上递增，当
x b 时，
2a f (x)min 4ac b 2 4a ②当 a 0 时，如图 2-9 所示，抛物线开口向下， 函数在
2b a ] b 2 4ac 0 时，二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0) 的图像与 x 轴有两个交点 M 1(x 1,0) 和
|a|
(2) 与 x 轴相交的弦长 图 2-9
2
对二次函数f (x) ax2 bx c(a 0)，当a 0时，f(x)在区间[ p, q]上的最大值是M ，最小值是m，
2.一元二次方程 ax 2 bx c 0（a 0） 的根的分布问题 一般情况下需要从以下 4 个方面考虑：
（1） 开口方向；（ 2）判别式；（3）对称轴 x b 与区间端点的关系； （4）区间端点函数值的正负 2a 22
设 x 1, x 2为实系数方程 ax 2 bx c 0（a 0） 的两根，则一元二次 ax 2 bx c 0（a 0）的根的分布与其 限定条件如表 2-5 所示 .
（1） 若 b 2a p ，则 m
f(p),M f(q) ； （2） 若 p b x 0，则 m f ( b ),M f(q) ； 2a 2a （3） 若 x 0 b q ，则 m f ( b ),M f (p) ； 2a
2a （4） 若 b 2a q ， 则m f(q),M f (p) . 三、一 元二次方程与二次函数的转化 1．实系数一 元二 次方程 2 ax bx c 0（a 0） 的实根符号与系数之间的关系
1） 方程有两个不等正根 x 1,x 2 x 1 x 2
4ac 0 b 0 a
2） 方程有两个不等负根 x 1,x 2 3） 方程有一正根和一负根，设两根为 c
x 1x 2
a
b 2 x 1 x 2
4ac b a
x 1x 2 x 1,x 2
x 1x 2 c 0 a pq 2
b 2
令 x 0
四、二次不等式转化策略
1. 二次不等式的解集与系数的关系
若二次不等式 f (x) ax 2 bx c 0的解集是 ( , ]U[ , )
二次不等式解集的构成是与二次函数图像的开口方向
及与
2. 二次函数恒大于零或恒小于零的转化策略
x 1x 2 0 a 程 ax 2 2x 1 0 有负数根， 当a 0时，即
2x
12
1 0 有负数根 x ，那么方程 ax
2 2x 1 0 有负 数根 a 0.因此 “a 0”是方程 “ax 2 2x 1
0 至少有一个负数根 ”的充分不必要条件 . 故选 B. 变式 1 已知函数 f (x) 2 ax bx c ，且 a b
c ，a b c 0，集合 A {m|f (m) 0} ，则( ) A. m A ，都有 f (m 3) 0 B. m A ，都有 f(m 3) 0 a 设 x 1,x 2 为方程的两根，则 因此方程有一个负数根；但反之，若方 x 1 x 2 ，故 x 1,x 2 异号， x 轴交点横坐标有关的 已知二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0). f (x) 0恒成立 0
00； f(x) 0恒成立 a0
注 若表述为 “已知函数 f (x) a ax 2 bx c ”，并未限制为二次函数， b 0； f (x) 0 恒成立 0 五、二次函数有关问题的求解方法与技巧 有关二次函数的问题，关键是利用图像 . ( 1) 要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问 区间和定轴动区间，解法是抓住 “三点一轴 ”，三点指的是区间两个端点和区间中点， 对对称轴与区
间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右
侧； ③轴穿过区间内部(部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系) ，从而对参数值的范围进行讨论 ( 2) 对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值 正负.
f (x) 0 恒成立 0或 0 则应有 0a 或 0c b0 题 —— 动轴定 一轴指对称轴 .即注意 题型归纳及思路提示
题型 1 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系
思路提示 二次函数、二次方程、二次不等式都是利用二次函数的图像及性质进行解答，
利用数形结合思 想进行分析 .
2
例 2.41 “a 0”是“方程 ax 2 2x 1 0 至少有一个负数根 ”的( Ａ．必要不充分条件 解析 由于 a 0 ，则方程 ax 2 2x Ｂ．充分不必要条件 1 Ｃ．充要条件 0 的判别式 4 ) Ｄ．既不充分也不必要条件
